第一篇 数 字在古希腊，没有社会保险号码，没有电话号码，没有人口调查统计数字。没有选举后的投票数字，没有统计数据，也没有1099个表格要填。当时，世界还没有数字化，但数字在希腊知识分子的头脑中至关重要。确实，在公元前6世纪，萨摩斯的毕达哥拉斯通过研究数字创立了一种宗教，因为，他不仅把数字看成记数的工具，而且看成神圣、完善、友好、幸运及邪恶的符号。数学的一个分支称作数论，研究的是整数的性质，就是由古希腊人开创而且至今不衰的。

以下3章专谈数论。在这几章里，我强调指出，某些最古老并且听起来是最为基础的问题仍然悬而未决。虽说其原因尚不清楚，但至今悬而未决这一事实本身却赫然耸立，从而排除了认为数字不过是某种刻板活动的看法。数论曾被视为数学最纯的分支；似乎对现实世界毫无实用价值。然而近年来，数论已变成密码学的一个强有力的工具。不过，正如我在第四章“比尔密码之谜”中所探讨的，至今还存在着数学分析无法破译的传奇密码。

第一章 邪恶的数和友好的数现为麻省理工学院大学生的米歇尔。弗里德曼，1985年在布鲁克林高中毕业班就读时春风得意，获得了当年的威斯汀豪斯科学天才奖的第三名。为了他这一获奖项目，他不想用海虾、果蝇或扁虫来弄脏自己的手，也不想处理随便任何一个多年遗留下的理论上的问题。不，他只是挑选了堪称数学上最古老而未决的问题来对付。那是困扰着古希腊人和自那以后的每个人的一个问题：即存在奇数完全数吗？

毕达哥拉斯及其好友认为，整数的完满性，即完全数是任何其所有除数之和（该除数本身外）等于该数本身的整数。第一个完全数是6.它可被1、2和3整除并且是1、2和3之和。第二个完全数是28.它的除数是1、2、4、7和14，这些数加起来为28.希腊人所知道的就是这些，尽管他们做过尝试，但没有发现奇数完全数。

圣经评论家注意到，完全数6和28反映在宇宙的结构中：上帝在6天内创造了世界，月亮每28天绕地球一周。然而，使这些数字成为完全数的是其本身，而不是凭经验所了解的世界的任何联系。圣。奥古斯丁是这样表述的：“6本身是一个完全数，并不是因为上帝在6天内创造了万物才如此；倒不如反过来说才对：因为6是完全数，所以上帝在6天内创造了万物。即使不存在6天工作一说，6依然会是个完全数。”

“数学的整个领域都极其散漫，”坦普尔大学数学教授小彼得。哈及斯说，“我研究完全数是出于闲散的好奇心，因为它可能是最古老的未决问题。研究它也许意义不大，然而这一问题如此古老，没有人认为对之进行研究完全是浪费时间。如果这一问题是5年前第一次提出来的，那它是决不会令人感兴趣的。”

无论在哪一领域，达到完善总是很难的，偶数完全数也不例外。但是，人们至少知道它们是存在的。我们已发现了30个偶数完全数，最大的是一个由13万位阿拉伯数字组成的庞然大物：2216，090（2216，090-1）。也许第三十一个完全数不会出现了，因为早在2300多年前数学家就已知道有无穷多的素数（即只能被1和它本身整除的数），但在同一时期，他们却不能决定完全数是不是无限的。

要是在俄国茶室或“四季”咖啡馆里喝着可乐会见米歇尔。弗里德曼我会很高兴的，但他宁可让我们在斯替韦桑特中学他的校长办公室中见面，而该校是曼哈顿数学家和科学家的中心。传说，爱因斯坦不能做加减运算，但可在睡梦中研究高深的数学。米歇尔的情况也可以这么说。在选择我们会见时间这种简单的事情中就体现了出来，因为这位杰出的小伙子不适于将中学时间——“第三节”和“第五节”——转换成我们常人所遵照的小时和分钟。然而一旦我们真聚到了一起，这位腼腆的天才就口若悬河地谈论起来，一下成了使人兴趣盎然的人了。

米歇尔告诉我：“去年我为一位数学老师写一篇论文，我知道关于奇数完全数的问题。这问题使我感兴趣，因为它很简单，可还没人找到答案。”接着，米歇尔首先回顾了完全数的历史。

古人只知道4个完全数，它们是：6，28，496和8，128.欧几里得认识到——大概只有古希腊的神祗才晓得他是如何知道的完全数 ………… 位数1. 21 （22-1 ） =6…………1 2. 22 （ 23-1 ） =28…………2 3. 24 （25-1） =496…………3 4. 26 （27-1） =8，128…………4 5. 212 （213-1） =33，550，336…………8 6. 216 （217-1 ） =8，589，869…………056…………10 7. 218 （219-1） =137，438，691，328…………12 8. 230 （231-1） =…………19 9. 260 （261-1） =…………37 10. 288 （289-1） =…………54 11. 2106 （2107-1） =…………65 12. 2126 （2127-1 ） =…………77 13. 2520 （2521-1 ） =…………314 14. 2606 （2607-1 ） =…………366 15. 21，278 （21，279-1） =…………770 16. 22，202 （22，203-1） =…………1，327 17. 22，280 （22，281-1） =…………1，373 18. 23，216 （22，317-1） =…………1，937 19. 24，252 （24，253-1） =…………2，561 20. 24，422 （24，423-1）=…………2，663 21. 29，688 （29，689-1） =…………5，834 22. 29，940 （29，94l-l）=…………5，985 23. 211，212 （211，213-1）=…………6，751 24. 219，36 （219，937-1）=…………12，003 25. 221，700 （221，701-1）=…………13，066 26. 223，208 （223，209-1）=…………13，973 27. 244，496 （244，497-1）=…………26，790 28. 286，242 （286，243-1）=…………51，924 29. 2132，048 （2132，049-1）=…………79，502 30. 2216，090 （2216，091-1）=…………130，100这4个数是由公式2n-1（2n-1）当n=2，3，5和7时推出来的。算式如下：n＝2，21（22-1）=2（3）=6 n=3，22（23-1）＝4（7）＝28 n＝5，24（25-1）＝16（31）＝496 n＝7，26（27-1）＝64（127）＝8，128欧几里得看出，在全部的4个算式中，2n-1是素数（3，7，31和127）。这种发现促使他证明一个重要的定理：当2n-1为素数时，那么公式2n-1（2n-1）则得出偶数完全数。

欧几里得的证明使得完全数理论有了一个兴旺的开端。但由于其他数学家的短视，这一理论进展缓慢。许多思想精微的人自以为他们看出了数字模式，其实这些数字并不存在。如果他们看得更远一点，他们就会发现这种模式是虚幻的。