x2－x＋x－1＝0
分解为（x－1）（x＋1）＝0。同样的，我们需要在x4和＋64之间插入0，现在特别之处是要加和减一个完全平方，希望这样可以得到两个平方的差，这样就可以分解因式了。这种技巧是它的无名发现者仅存的成果。但是使用哪个式子呢？另外的一个无名氏碰巧找到了幸运的多项式：16x2－16x2。如果把它插入x4＋64＝0，可以得到：
x4＋16x2－16x2＋64＝0
这看上去不是特别有用，除非凭经验重新排列多项式：
（x4＋16x2＋64）－16x2＝0
一分钟之前我们刚遇到过前面的式子，就是（x2＋8）（x2＋8），即完全平方式(x2＋8)2，而且
16x2＝（4x）2
x2＋8是r，4x是s，即r2－s2 ，因此因式分解为（r＋s）（r－s），
（x2＋8）2 －（4x）2 ＝0
分解因式为
（x2＋8＋4x）（x2＋8－4x）＝0
这就是为什么0允许我们分解因式
x4+64=0
从我们的椭圆向窗口看下去，0消失了，轻轻的敲打出更难解决的表达式
x4+x2+1=0?
插入这样0的形式x2-x2,重新这样排列：
x4+2x2+1-x2=0
也就是：
（x2+1）2-x2=0
分解因式为：
（x2+1+x）(x2+1-x)=0
那么x5+x+1=0如何分解因式呢？这儿添加的0的形式有一点庞大：
（x4+x3+x2）－（x4+x3+x2）
最终你将算出分解因式后的结果是：
（x2+x+1）（x3-x2+1）=0
现在我们看到，0，是分解因式中的精心的舞蹈策划家，它在微积分中学中大显身手，进入最难理解的数学分支：数论。在这里，它帮助我们设计难以破解的密码。呈现出各种各样的伪装，它本身被想象力伪装。它也已经帮助我们理解了想象的本质，这是真的吗？威廉·布莱克说：“当你说想象根本无法在这个世界上找到时，你是明显无疑的在犯错误”也许，当他这么说的时候，他是对的。对我来说，这个世界是一个连续的充满想象或者幻想的世界。
第三部分 费尽周折第26节 令人愉快的天使(4)
不要在身后留下破坏
设想和事实的区别是：设想或许是你所期望的，而事实是世界所期望的。那么在数学上，什么情况下我们的假设与这个世界是相吻合的呢？思想的是不是犹如膜通过内外表面的交换而进行流通呢？是不是不知为什么，却盖上了同意的签章，以我们的经验，让数学比其他任何事情都肯定吗？我们做出的结论，既不是因为忠诚也不是因为权威，而是由审稿书的最后几行得出的。有时它们像肖邦华尔兹那样欺骗性的简单，有时又像贝多芬四重奏那样雄伟，然而这些都是音乐而不是数学。
约翰逊（Johnson）博士曾经说过，计算的好处在于它让在心中长期不定的事变得肯定。计算法则所依赖的基础是什么呢？现在分析一个方程式，复杂的问题最后归结为：如果ab=0，那么a一定为0，或b一定为0。这个事实来源于何处呢？让我们继续下去，不是顺着时间，而是随着已经作出的广泛探索，一定会有惊人的发现。
我们试图证明如果a不为0，而ab为0，那么b一定为0。让我们来看一下跷跷板的简图，有关方程式的所有恐惧心理均会被驱散掉：假设ab=0意为跷跷板平衡得很好，ab在一端，0在另一端。
为了保持跷跷板的平衡，无论你在一端做了什么，另一端也需要得到相应的处理。设定a不为0，即要证明b为0。既然a不为0，我们就可以对其进行分割——即一直向前走，把两边都分为a份，我们知道a/a即为1，因此左边即为1·b，也就是b。最后一步是另人满意的，0/a是(1/a)·0的速写。既然我们假定a不为0，则1/a为某个数，但是任何数与0相乘后均为0。平衡的跷跷板告诉我们b=0，而这也正是我们所希望的。
没有不懈的追求根本就称不上是对真理的追求。我说 因为任何数与0相乘皆为0。为什么我们把它认为是一道法令，难道就不能问一下为什么这是真的吗？顺着楼梯往下走，我们要从根本上说服自己，对任意数n（或者是a，或者是k，或者是任何一个匿名起诉人的化名，我们只是想在说到任意一个数时直接联系到其他数），n·0=0。我们知道两个相当深的真理。第一个是，任何数减去自己后就没有了：k-k=0，k为任意数。另一个真理是关于乘法和加法的：两个数的和与另一个数相乘，将两个数分别与第三个数相乘所得结果再相加，这两种算法的最后结果是一样的。即d·(e+f)=d·e+d·f，这就是分配律，很奇怪既然是基本原理，却很难记住和应用，孩子们总是将5·(7+13)做错，因为这个答案应该是5·20=100，这与5·7+5·13是一样的，而他们老是在一个数上忘记乘以5。
但是我们不会忘记。我们将这两个真理摩擦后即会迸发出火花，即n·0=0。既然0和k-k是一样的，我们就可以将n·0改写成n·(k-k)。现在应用分配律：n·0=n·(k-k)=nk-nk，nk仅为某一个数，于是nk-nk即为一个数减去自身，即为0：n·0=n·(k-k)=nk-nk=0穿过等式的桥梁，一边为n·0，另一边为0。
我们最终肯定是0吗？你认为在乘法中，0是个无效因子吗？对人类特性的考察始于法国革命的整肃，纯洁的人总是发现有人更纯洁。难道我们就不需要更基础的原理来支持以上的两个规定吗？如果我们做了，难道就不需要前提，顺着没有尽头的螺旋物到达火苗没有熄灭的地方？对于一个比从罗伯斯比尔（Robespierre）和革命群众那里得到的更加深刻的事实，推理所要求的确定性是达不到的，这是由推理思想本身的特性造成的。为了结束无限的回归，我们不得不在某一点上说：“我们掌握的这些定理是不言自明的”。
这些就是分配律，以及对于任意数来说k-k=0。如果你愿意（用希腊语意为认为值得），称这些最后的归结点为公理；或者仅仅因为出于论据考虑，接受罗马法庭的气氛，称之为基本原理；或者赋予它们额外的推理地位，就像直观的或赘述的定理；或者称它们是我们正好碰上的一场游戏的专断规则，或者是相关定理；或者从一开始就折射出了我们特殊的大脑工作的可能性：所有这些都承认我们没有其他的法庭去上诉，对我们自己而言，这些定理是显而易见的。
在我们所见到的建筑物的背后，我们是背景的转换者和操纵者：在世界从何来又向何处去的问题上，是不见其人的伴侣。这种抽象是伟大的典型不可避免的结果，永远的真实与永远的不被忘却是等同的。在这种稀薄的大气压力下，0将承担另一个变形体，那就是使自己适合苦行者的生活格言。
由于印度数学家将重点从它们是什么转移到了它们做了什么，我们看到了0变成了像其他数一样的一个数。后来，由于它们变得在解方程式中有价值，因此它们的地位得到改变，在谈到结构时，在语言中开始出现迹象，数字不再是抽象的事，而是一个实在的物。我们不仅可以说“四棵树”，而且可以只说4；不仅可以说是0个千，还可以单说0。现在由于我们试图明白这些数字是如何工作的，我们明白（用我们的格言）把它们放在一起就比它们本来单独存在时要多：如果我们完全理解了加和乘的操作，把数字相加或相乘的结果，就犹如在夏日里水果会成熟一样另人深信不疑。
分配的原理告诉我们加法和乘法是如何相互作用的。应用牛顿的观点我要思考什么，因此得到了其他的原理。牛顿研究万有引力，他停止问这是什么（流体、物质、力），而是问它是如何工作的。随着他的关注中心从古老的问题上转移到更加抽象的力学问题上，在重力的影响下，他发现天体间的相互吸引力与它们之间的距离的平方成反比。最终证实这对于理解这个世界，以及预测天体在宇宙中的位置非常有用。
用同样的精神，数学家们逐渐地不再追问加法和乘法是什么，而是坐下来开始整理它们是如何运算的。考虑到避免被无关的运算名称和符号所误导，遂用中性符号“*”表示，也就逐渐形成了以下原理：
1.将任意两个数a和b相加或相乘，将得到另一个数c。即a*b=c
2.a和b的顺序并不重要，结果是一样的，即a*b=b*a
3.当你对三个数a、b、c进行运算时，无论你如何组织它们，结果是一样的：a*(b*c)=(a*b)*c
4.有一个特殊的数，我们称之为e，对于任何一个数a与e相加或相乘，其结果均为a：a*e=a
5.对任意数a，还有另外一个数a’，当a与a’相加或相乘时就得到了这个特别的数e：a*a’=e
这些原理告诉你关于加法和乘法的所有规则，但是我们感兴趣的是加和乘，+和·。用*其结果是什么呢？奇怪的是，似乎都可以描述。加并不是乘：2+3≠2·3。经过这种严格的区分，我们还不简化自己吗？
0的出现拯救了时代，如定理4中所描述的那个特定的数字e是什么呢？对加法来说，e是0：也就是说a+0=0。然而对于乘法来说e是1：a·1=a。0因为卸下历史加在它身上的布袋，成为加法的助手，为被加数本身。同样1也被分离出来，所有的数与1相乘后总是被乘数本身。重新回到*，我们必须区分它的两个形式：0≠1。
这个认识促使原理5也需要修改，对加法而言是对的，如果将*换为+，e是0：每个数都有其负数a’，我们记为-a，因此a*a’就转化为a+(-a)=0。在没有日期的评判方法之前，0表示界于过去与未来之中的现在。在复式的簿记上，0表示借款与贷款的平衡。正数通过这个神气的环，正数的求助于负数，尽管温斯顿·邱吉尔餐后的观点是这样的：
对数学我曾经有一种预感，我明白了它的全部，深奥的和浅显的都向我展示。有人可能看到了维纳斯像，甚至是市长阁下的展览，而我看到无限数字中的一个数，且看到它从正到负改变着自己的符号。我确实看到了这是怎么发生的,为什么背叛是无法避免的？但这是在晚饭后，我也随它去了。
但是对于乘法，原理5就不再完全正确了。我们说任何数除了0都有其倒数，通常记作 ，因此a*a’=e，即为 。0或许是加法的助手，而乘法保留了它的反叛地位。
顺便说一下，分配律意识到了加法和乘法中的不对称特点，它告诉我们a·(b+c)=a·b+a·c。但是你不能改变这里的+和·的作用：a+(b·c)=(a+b)·(a+c)这就不正确了。
沿着光荣足迹走过来的我们,非常困难去重新理解那些只有0和1是实数的规律，所有的其他数字以及其它行为都要受到这些规律的支配。那些回到过去并对这些规律提出质疑的人必须等到这些规律提出者回来，并遵守诺言保持这些规律。但是莱克格斯(Lycurgus, 9世纪斯巴达立法人，被认为是斯巴达法典的创立者——译者注)再也没有回来：这是他给予斯巴达的礼物。
第三部分 费尽周折第27节 无穷小(1)
懒洋洋地走向伯利恒（Bethlehem）
只有选择遗忘过去才能让我们继续前进，将曾经不确定的东西作为确信的最平常的东西，将通过努力得到的东西作为我们生来就有的权利。对待零也应该这样。他被说成从一个位置符号浓缩为我们字母表中的一个字母，在数学的初级读本中把它作为一个解决等式的量。
到十七世纪，我们关于等式本身的态度改变了。当我们的兴趣从事情是什么转移到他们如何得来时，世界的动态变化映射关系是服从函数关系的。零的绝对的本性毫无疑问担负着最惊人的转换。
聚于焦点的问题是运动的问题。如何预测行星的轨道或完成一个炮弹的飞行轨迹？困难在于两者沿弯曲路径运行，而从希腊的几何学开始，我们所有的理解依据都是直线。例如，如果我们知道一条曲线上某点的斜率，我们仅仅可以说出它在哪里开头——但是在曲线的一个点处它是怎么有一个斜率呢？把曲线放在一个坐标平面上是有助于说明问题的（很幸运它已经被费马（Fermat 1601-1665 法国数学家，他有系统地阐述了现代数理论和概率论）和他同时代的笛卡尔(法国哲学家、数学家,1596-1690)发明出来，我们可能已经知道他们）。
坐标平面
因此它看起来就下图：
但是斜率是属于直线，如下所示，从A到P的路径，在产生一个水平距离x的同时上升一个垂直的量y——我们说他的斜率是比值y/x（因此一个1比10的斜坡每前进十个单位就上升一个单位：对于汽车来说可以忽略，对于骑脚踏车的人来说令人疲乏不堪）。
通过画曲线的切线，即使冒险猜想一条平滑曲线在某点的斜率是什么的，也一定会引起一些人的暴怒和另外一些人的嘲笑。晚至十九世纪，叔本华（Schopenhauer，1788-1860, 德国哲学家）还依然踌躇在半悲观之中，他引用一个幽默作为他愚蠢的理论的证据（这个笑话好像是讲这里既有角度又没有角度。它一定是他讲述的方法）。
这个问题的令人吃惊的解决方法依赖于由来已久的思想：希腊人的思想不时的产生出新的思想；小书写体(minuscule，一种在7世纪至9世纪之间从安色尔字体发展而来的小的手写字体，用于中世纪时的书写——译者注)的秘密，随后复兴并且被修改；艺术家对衬垫和齿条欣赏；我们对除法的日渐熟悉和对除法得到的余数的关心。在17世纪早期，人们开始广泛玩弄像这样的概念。被讨论的曲线由一些方程式或公式给出。我将用我们现代的叙述方法和现代的符号来说明一个函数f(x)的曲线图，并且我使用二次方的函数作为示例的模型，f(x)=x2。我想在曲线的某点P找到它的斜率。
曲线上的点P在x轴上的投影我称作r点：距离0为r的点。当r代入函数时，r点上部P点的高度和函数的值相同（它的路径就是曲线）：在我们的例子中，P点的高度为f(r)，也就是r2。如果现在我们画出从r到P的直线，它的长就是f(r)。我们现在有P点的两个坐标值：水平坐标r，垂直坐标f(r)（在我们的例子中，是r和r2）。
因为切线是一条直线，两个点可以确定它。我们知道P点是其中之一。如果我们知道切线在哪里与x轴相交——我称那个点为A——我们将知到从A到r的线段长度（这个长度为k），因此我们知道比率f(r)/k，这就是曲线在P点处的切线的斜率：我们想要的斜率。
注意到f(r)和k是直角三角形的边，直角三角形的斜边AP是我们切线的一部分。这里就是魔法开始的地方。在x轴上r点的右边取任意一点，距离r点为h——因此这点在x轴上的坐标就是r+h——并从该点垂直地画一条直线，交切线于C点，交曲线于D点。从点P画水平线与这条新的垂直线相交于B点。显然它的长度也是h。
我们不知道C点的y轴坐标，但是我们知道B点的y轴坐标和P点的y轴坐标相同为f(r)；并且D点的y轴坐标为f(r+h）。
在我们的例子中,
f(r+h)= (r+h)2
就是
r2+2rh+h2
我们为什么做出如此复杂的新图形呢？因为在这个图形中三角形PBC相似于三角形ArP，它们的边的比率 是我们想要知道的。
现在我们知道，相似三角形早在欧几里得（Euclid）以前就是几何学者的惯用手段，并且他们知道对应边的比率相等。因此，在这里 ，因此如果我们仅仅知道BC的长度我们就可以求得结果。但是，当然我们不知道。我们知道BD的长度，可是：它是从x轴向上整个线段的长度（f(r+h)）减去从x轴到B的长度（f(r)）。简而言之，它是
f(r+h)—f(r)。
这就足够好了吗？不，因为C点不是D点。但是我们可以看到我们想要的比率 和 差不多。因此，如果我们拿起的点r+h并开始缓慢的向左滑动，朝r的方向——缩短h，那也就是——垂直的直线将和它一起移动，并观察：CD的长度将变得越来越小，直到最后消失！三角形PBC和图形PBD将变的完全相同。
但是这里的魔法陷入了严重的麻烦。我们已经将h缩短到足够消失。那将使h=0：并且你知道我们不能用零去作除数。
数学使思想变得敏锐起来。我们仅仅考虑我们的例子，一直使用的平方函数上，希望提前找到一个解决的方法。在这个特殊的例子中，比率
就是
因为我们不能让h在分母的位置为0，让我们运算分子上的平方，并分解我们式子。我们得到
消掉r2和-r2，我们就得到
现在，随着我们的运气向前摸索，从分子中提取因数h得到
奇迹！消掉h，留给我们的仅仅是
2r+h
现在让h缩小到0（费马说，对于一个点来说就是简单的：“移动它”）那么留给你的就是2r。2r就是是f(x)=x2在点（r，r2）的切线的斜率。因此，例如，在点（3，9）处的切线的斜率是2·3=6。尝试一下：你会发现你的测试确认了我们的结果。并且如果你感到有精力，尝试说明f(x)=x3在点（r，r3）处的斜率是3r2。
绝妙的、革命的——并且也非常有争议的。只要我们在适当的时刻，我们是否可以真用0去除呢？我们能否符合逻辑的搞清楚我们的移动和缩小，以及一个三角形在最终和一个曲线形边的形状相同的问题呢？并且“最终”明确的意味着什么呢？
在十七世纪晚期开始的答案是充满异议和反证的，这种情况延续到以后150年，从客气辩论上升到到相恨的争吵，形成并归结于无穷小的知识和语言。如果精明的农村人知道很多个多构成更多量；如果仅仅是看不见的鬼怪和很少的一部分神话传说中有超于我们的力量存在；如果较少就是较多——那么为什么最少不能是最多呢？为什么这里不引用相同的比喻并重新认为零是某物存在的微小量呢?这就是在17世纪被一个接一个的数学家分别引用的方法，恰好被熟悉的运动弄得前景迷惑。利用数学的和人类的术语中，这个故事太复杂以至于什么事情都不能做，只能在这里浅薄地叙述它。依照爱默生（Emerson）的建议，当在薄冰上溜冰，速度是你的助手；因此，只要我愿意，我不会逗留在仅仅望着远方模糊的东西而冒着把闪闪发光的结论撇在远处的危险，从而偏离通往它们的路径。
当h变得很小时，曲线和它的切线变得愈来愈接近；毫无疑问，考虑它的每一个人都赞成这一点。因为问题在于“很小”和零的区别（你可以用第一个去做除数，但不可以用第二个去做除数），对一些人来说，它成为用微小的点来填补两者之间间隙的物质；对其它人来说，它成为静态景象但是令人鼓舞的物质。
在刚才操作中（事实上我们把三角形PBC始终叫做“巴罗的微分三角形”），艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的老师艾萨克·巴罗（Isaac Barrow）用几何学方法证明并得出这样的结论，当三角形PBC“足够小时”它可能安全的等同于PBD。他说，几何的方法可以“免除讨厌的计算负担”。这是一个生动的评论，因为计算开始于在一个板上移动小圆石，这里正在发展的微积分学将超过那个：不可再小的圆石的运动，概念上的沙子的颗粒，那将告诉我们那些微积分学从未能做到事情。
然而如何搞清“足够小”的意思呢？一些人说，想你喜欢的那样小，把负担推卸给批评家；“不确定的”和“确定的”小，另一些人说，把它还给认为由原子组成的世界。或确实存在原子（在他们的思想里，原子是绝对不可分的，而现代科学中原子可以继续分下去——译者注）——不是每个东西都可以永远分下去的？但是离开的一个极小量仍然说明它们是不同的，而且我们想要求的曲线的斜率不是接近P点而是在P点。
由此，在倡导“极小量”的概念的那些人中，又一个手段发展起来：微分量是小于任何你指定的数量；或者当与它较大的邻居比较时（当我们展开（r+h）2并得到r2+2rh+h2，当h变小时我们忽略了h2，因为h2变小的更快），很小量可以被忽略。1691年，约翰·柏努利（Johann Bernoulli）说：“大数量是象天文距离的，而无限小量象你在显微镜下看到的微生物”——因此“一个减少或增加一个无限小量的数量既不增加也不见少”。
这让人想起弗莱恩·欧卜森（Flann O’Brien）在他的惊险小说《第三个警察》（The Third Policeman）中，由警官麦克克鲁斯肯（MacCruiskeen）制造的逐渐缩小的柜子的情景：
“六年前，它们开始变得不可见，玻璃的或不是玻璃的。没有人曾经看到我制作的最后五个，因为没有玻璃足够坚固可以用来把它们做得足够大，以便象曾经做过的最小的东西那样真实。没有人能看到我在制造它们，因为我的小工具是看不到。我正在制作的这个几乎小得和不存在差不多。第一个柜子以容纳它们一百万个之多，并且，如果将它们堆积起来，还有剩余的空间可以存放一双女人的马裤。亲爱的人知道它在哪里停并结束。”
“这个工作一定很费眼睛，”我说。
一气儿追溯到至少是梅斯特·爱克哈特（Meister Eckhart，1260?-1327?德国神学家，被认为是德国神秘主义的创始人。他的著作影响很大，内容主要是关于个人灵魂与神的统一——译者注），无穷小的概念等价于没有，如果要我们相信他的翻译者：“……（对）爱克哈特而言，在不定的人类和永恒的上帝之间的差别可以随心所欲地变小。”它仍然和我们在一起，象在银行的出纳员，他通过每天从许多客户的账目中汇集细小的几乎没有价值的千分之一进入他自己的账户就能富裕起来。如果一个曲棍球守门员在七次比赛中六次使对手不能得分，并且在持续整个冬天的赛季中有一个3小时51分54秒的不得分长跑，他就将被赞誉为零先生，就像弗兰克·布瑞穆斯克（Frank Brimsek）, 1938年胜利的波士顿熊队的队员就被称为零先生。
一个角色从所有被极小量说服的那些人中脱颖出来：高特瑞德·威廉·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz），1646年出生，德国外交官、律师、语言学家、哲学家、历史学家、地质学家和微积分学的创始人之一。即使当一个三角形的那些边消失时，他还不时说到三角形边的斜率依然存在；他时常从他的计算中删除可以忽略的小项。他说到他称dx为“无限接近”的两点之间在x值上的微分，但是也将它描述为一个“初始的量”。他说，他的零不是绝对的而是相对的。另一方面，他谈到它们作为正式的工具有同样的能力，就象虚数在代数学中成功地运用一样。
第三部分 费尽周折第28节 无穷小(2)
你必须求助于他的哲学来认真谈论这个dx是什么：答案令人震惊。莱布尼兹主张宇宙的最终要素不能被合成——如果是合成的，它们就不是最终的：你可以将它们分解成更简单的部分。但是在时间的任意时刻，空间的任意点总是可以被细分，至少在观念上可以。然而，我们每个人确实知道一个不可分割的最终的实体存在：也就是，本身。他称为“单子”（单子莱布尼兹学说理论中认为是构成物质世界存在的最基本的和不可分的单位——译者注）的这些点是概念上的或形而上学的点，你在你的内部，我在我的内部——或者更确切的说，我们每个人是一个单子。当你想到你的朴实、无亲无友的本身：纯洁的内涵，这时你能感觉到他是什么意思。也许这就是他为什么将说单子“没有窗户可以打开”的原因。对莱布尼兹来说，不可见的单独个体就是真实存在的单子——并且通常的单字只能靠想象。
而dx，是数学的无穷小单位吗？象他的单子，它也是活动的，不是呆滞的：每一个都作用于世界，动词多于名词。他更进一步，并称数学的点是他的单子的“观点”。对他而言，可见的空间世界实质上是单子的不可见结构的“平移”形成的。在我看来，单子是dx后想象的概念或它所预示的概念。更进一步，在他致力于发明基本原理的字母表中，dx也许已经表示“单子”。
如此形而上学的观点——在其中，零已经已经进入我们每个人的内心世界——是怎样引出一个充分描述并预测外部世界的数学呢？莱布尼兹会说，因为事物事先建立起来的协调。然而，与他的立场不协调是那些坚持运动只能根据运动来理解的人们：一个无论多么小的微粒，不是世界的本质，而变化本身才是世界的本质。另一个微积分的创始人，艾萨克·牛顿，在这里远远地盯着我们。
在清洁、传统的肖像中，他是第一个理性时期的思想家。约翰·梅纳德·凯恩斯（John Maynard Keynes）读完了牛顿贮藏起来的论文，前来探视他，他的最深奥的本能，他的不可思议的目标：揭开上帝藏在布满星星的天空中的宇宙秘密。作为莱布尼兹的对手，他不过是一个活的单子，神秘的、内在的——并且只有最窄的和最稀少的窗口可以通向他的著作。1665年，当牛顿20多岁时，瘟疫席卷了伦敦和他所在的剑桥大学。他将自己藏在自己家的农舍内并开始解决运动的秘密。后来他确实说这是他一生中收获最大的两年。象他的老师巴罗，按照无穷小量来考虑，从一个精明的苏格兰人詹姆士·格雷戈里（James Gregory）那里引进符号“o”。因为他使用这个“o”的方法和前几页我们使用h一样——用它来加、乘、除——所以，当你甚至在比的分母中也看到他用小零时是多么可怕呀！
一旦回到他在三位一体（圣父、圣子、圣灵合成一体——译者注）神学院的房间（他住的地方，具有讽刺意味的，他是一个秘密的唯一神教派(基督教的一派, 认为上帝系单一者, 反对三位一体的说法——译者注)的信徒）——被他的天文和炼金术的工具、他的镜头、曲颈瓶、密封的课本和计算凌乱地包围着——他轻微地但是有意义的改变着自己的状态。他仍然做着我们以前看到的他做的一切：从他的等式中删除（或者象他说的那样，用“擦去”这个词）可以忽略的小项；但是他逐渐想到的这些不是象空间上的无穷小量而是时间上的无穷小点，称它们为“瞬间”。从不可分割的学说中去处粗糙的东西，一个更有生机的观点正在出现。这是连续的发生呢，还是一眨眼工夫就发生的呢？我们所有的就是这轻轻的一瞥。
最后一个问题令人震惊：他拒绝忽略涉及o的项，因为“在数学中”，他说，“最小的误差都不应该忽视”。取而代之的是他忽略了整个无穷小量这个概念，包括空间的和时间的：“我将数学的量作为一个连续的运动来描述，而不是作为很小部分的组成来考虑的”。实际上，曲线是由连续运动的点形成的：“这些现象必然真实地发生，并且在物体的运动中每天都可以看到。”他以前为变量（variable）（“变数（fluent）”）和它的变化量（change）（“微分（fluxion）”）发明的名字现在盛行起来，随后像他的x’s和y’s一样也很盛行。“巴罗的微分三角形”变成“无限小的”。正象一个错误在一个透明的证据中处处显露。牛顿追寻事物如何作用而非它是什么，他对此的坚持与将运动作为基本原理是一致的。
无论如何，这里成熟的是微积分的对手学派，是从我们一直追随的把零想象为一个物体还是一个作用之间的对抗中成熟起来的。就象伊萨克·迪内森（Isak Dinesen）的爱情故事中的恋人，他们被锁在不同的匣子中，每个人拿着对方的钥匙。
每一方都不能用希腊数学中建立的阐述标准来测试它的过程。相反的，他们在自己内部争吵并被各方面的批评轰击。你还想从声名狼籍的任性的少数人中获得什么呢？德语中的o’是一个错误的光，因为它致使旅行者迷路。伯纳德·尼温梯基德（Bernard Nieuwentijdt）,荷兰内科医师，1694年写到他不能理解无穷小是如何不同于零的，或者无穷小的和又如何能达到有限。他说，这些方法同时导致了正确的和荒谬的结果：在它们表达清楚的地方，它们是矛盾的，在这个地方拒绝无穷小量而在那个地方却不拒绝。在他有名的小册子，《分析家The Analyst》（“讲给一个异端的数学家”）中，伯克利（Berkeley）的主教在1734年说这些无限小的增量“……既不是有限的数量也不是无限的量，然而也不是零。我们也不可以称他们为过去数量的幽灵吗？”并且他问：“是否人类可以用科学的方法正确地继续进行，不用清楚的考虑他们熟悉的目标，计划的结果，和追求它的方法？”
从结论来证明问题已经正确的解决，这说明这个方法是确实可行的（如果这些权宜之计使用很好），严密不是数学而是哲学应该关心的事情；为了吸引人心，就象优美胜于合理（另外，这里的自相矛盾的话象基督教中的那些一样有用）。“Allez en avant et la foi vous viendra，”法国数学家达兰贝尔（d’Alembert，1717-1783法国数学家及哲学家，他定义了保持均衡和离心力的力学定律——译者注）说，“只管前进而信念就会随之而来。” 辩驳的语言有时是辩论的类比，有时可能歪曲辩论本身。因此，前所未知的天才，布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal），要求技巧运用到这些过程而不考虑逻辑，你看到的它们自身由技巧组成，精炼胜于详细阐述。另一方面，莱布尼兹十分小心谨慎回击尼温梯基德：然而这些让人感到麻烦的细小的微分线段就是他解决问题方法的本质技巧。
不使用罗盘和地图，靠感觉摸索前进，想把自己留在一个从未有人记载过的地方，这些人是真正的探险家。在他们的想象中，他们所在的区域是由无限多的极细的线组成的，或者去除大量的细线后保留它在想象中的形式，这些都是从内心来的信息，他们的能力既使世人感到震惊又使人感到安慰（可以不为他们的冒险担心）。牛顿告诉他的一个朋友：“在数学上，我努力使它变得难懂，避免那些一知半解肤浅的人来减弱数学的魅力。”
直到19世纪中期，最后看起来使人满意的一种理解方法在法国和德国发展起来——一个使人想到詹姆士·瓦特（James Watt）使用旧硬币的方法，他曾经在他的口袋中装着旧硬币，来随时检验活塞和他的蒸汽机上的气缸的配合程度是否合适：必要的缝隙必须小于他口袋里的六便士的厚度。
这个方法是工程师很容易的实现的，给定一个公差范围，想办法实现和检验是否满足公差的要求。无论你坚持它们如何接近一个数值，一个逐渐缩小的数字系列的和（例如我们收缩的三角形的边的比率）有一个明确的极限，通过指定某项或者它以后的任何一项，我都能向你说明它们确实是靠近或者更加的靠近这个极限。1是 的极限吗？是的，如果我能说明这个和可以任意地接近1。在百分之一范围内？只要将前面七项加起来，你将发现这个级数的和仅仅比1少 。千分之一范围内呢？同样如此：前十项加起来的和是 ，这个级数的和接近1的程度比千分之一还要小。
几个世纪以来，人们正通向这个制造的标准。无数的学生努力的去掌握微积分的知识，在教他们的老师中，相当多的老师回避这个精确度上的问题。然而为了它所有的精确和技巧，让我们想起了德国和美国之间开展竞争的一个故事，在第一次时间大战后期，一个美国的制造商给德国的一个竞争对手寄去了一个经过非常精细拉拔的电线，这是他们国家可以引以自豪的象征，他们可以做到很精细的电线。这根电线被寄回来的时候，德国人在这个细线中打了一个完美的孔！
老的极限概念中，靠近和整齐是这里的关键：一系列的数字慢慢的靠近一个固定的数字（在我们的例子中f(x)=x2，6是那些很接近点（3，9）的切线的斜率的极限）。减小必须是连续的：它不能有跳跃或者在通向这个目标时有间隔存在，并且你必须能够从两边中的任意一边减小到这个极限还能得到同样的结果（如果一个上升的山在一个悬崖处结束，就没有意义去讨论在悬崖边的斜率了）。一旦我们注意了这些学术上的细节，并且我们有了表示它们的方便的符号系统，神秘感（也许有一点魔力）就会从光滑曲线的斜率中消失。
一个过程——例如这个h缩小到0——在被严格论证之前就一直在数学中应用：从阿基米德开始，这种方法一再地被使用，因为它来源于直觉却可以被正确结果证明，你可能已经猜到，这种过程绝不是仅仅使用了一次。在所有的数学思想中有两个支柱，第一个就是思维的自由想象，我们观察大量的现象，然后从中发明出一些表达的方法，这些表达方法可以完美的表述它们之间的关系，同时和我们的其它发明不产生矛盾，又能使它们周围的事物变得很清晰，世界上的事物可以完美的和思维的描述符合起来，顺应事物独一无二的行为。
发明完成之后，第二个活动开始了，经历了从观察令人赞美的现象到能够证明思维能很好的描述这种现象。它的支柱集中在仔细、巧妙的考虑上，这样的考虑利用少数演绎法则，从中抽出他们的本质问题，从斯巴达（Spartan）公理的核心出发，使那些结论被世人认可（一个或两个合理的假定可以用这种方法发明，但是一旦它们的推动结束，它们的作用将减小到零）。这样做导致了什么结果？只有在允许一定的误差范围和模糊的概念条件下我们的结论才是正确的，那些遥远的地方和遥远的时间才能让我们去理解。
现在，我们正在使数学的很多深刻的概念变得统一起来（我们只能在20世纪逐渐看到），我们现在正在开展正式的工作，在这个工作中，我们不能使用一个独一无二的参考物：它可以用很多本质上不同的方法来描述（象那些可以自己组装的机器人玩具，一会儿是带机关枪眼睛的鳄鱼，过一会儿重新组装成圆滑的男管家，所有的这些都可以用一个或两个螺钉在操作手册的帮助下完成）。这就意味着我们不能从多数模型中挑选出这样的一个模型和事物存在的唯一方式：用一句不负责任的话说，我们甚至可以得出这样的结论，可能根本不存在这样的模型。我们思想的相对化超越了多数后现代主义者的过度的标记。
也许我们统一化的方法是有缺陷的。它可能也有限制。掉进了它自己相对化了的陷阱，它可能是许多合法方法中唯一的一个，因此另一个最好假定为不同的世界复制品。然而“复制品”意味着原物区别于它的复制品，但是我们在这里不能做出区别。满足形式系统的这些模型中每一个都不相同但都相当于我们的模型。许多模型都在出现，每一个模型看起来都有它的可取之处。
我们需要承认丰富的形式系统必将给予我们的巨大好处。它们排除错误的结论并将符合我们的公理，我们还可以把它们翻译成我们可以理解的语言。在这里，新的语言结构可以结合有益于更多结论的形式系统。你甚至可以继续宣称它的不明确是良性的，因为系统的一个隐藏的内容可能暴露出来，正象一个抵制几何学家的奉承问题可能屈服于代数学。
我们还必须承认这个系统的伪装阻止我们寻求事物存在方式的唯一性。那些结论通过我们无法描述而且确实不能掌握的方法中获得，并且他们天生的不能被形式化。对伯克利主教质问的回答，事实上，我们在开始的时候回答得很好，这个时候我们的目标、对象、和方法还不是很成熟，我们还在为确定问题的范围浪费时间：事物存在的唯一方式属于上午，因为，这个思想仅仅存在于上午这一半时间内——因此，我们当然不能期望他能经受起下午的严酷时光而幸存下来。世界可能不是仅仅比我们想象的异常，它可能比我们能够想象的更异常。
第三部分 费尽周折第29节 无穷小(3)
两个胜利，一个失败和遥远的雷声
和微积分一块出现的不仅仅是一个方法，这个方法可以抓住并控制变化，还有一种新的解决重要问题的思想。或者说这种思想不是新，我们仅仅是重新更新了这个思想，这个思想已经等了很长的时间来复兴？一个变化的模糊概念，就是我们最初在秘密交换复式簿记时听到的，此时在沿着一条曲线的切线滑行中嗡嗡作响。这个声音来自概念“极限”：一个作用（缩小的过程）指向一个目标（这个极限）——但是这个作用和目标的组成都是一种：数字。只要现在用等式符号标出这个模糊概念，我们可以例行公事地前进，就象进行和存在是相同的。极限必然伴随着过程，揭示它的形式：“A象B”中的B用来解释A。牛顿必须是最后一个魔术师，因为在他之后，已知的知识不再用来解释未知东西，而是用来（这种解释方法可能会花费伟人很大的努力来揭示它）解释自己。
微积分的宫殿摇摇欲坠，甚至一些最基本的问题都出现了漏洞，研究微积分的人们不得不加固这些基本的问题来托起这个伟大的宫殿。从微积分出发，自然世界的一个又一个领域都试图用微积分理论来解释：光学、流体力学、机械学；还有更远的，生物学、经济学——所有的科学，理论的的应用的。甚至我们的一个老谜团也由它的力量解决：因为这是我们对数字理解的一次革命，这次革命给不确定的 一个明确的意义。
我们这里的故事有一点欺骗。十七世纪晚期的一个人——我们应该叫他纪尧姆·弗朗克斯·安东尼·洛必达（Guillaume Francois Antoine ）侯爵？——考虑两个连续变化的函数，f(x)和g(x)（例如f(x)=2x和g(x)=3x）。他们的比率对于差不多任何x都有意义。在我们例子中，如果x=17那么f(17)=2·7=34而g(17)=3·17=51，因此 。对于你选择的几乎任意其它x，它都是2/3。几乎任意——但是不包括x=0，因为那样我们将得到 ，我们的老敌人。
然而，注意到的是：如果这些函数中的每一个在临界位置（我们的例子中，就是在x=0）都独立的有一个斜率——并且如果g(x)的斜率在那里不是零——那么它们斜率的比值就和这些函数自己的比值相等了！
把这个过程放进极限的语言中来看我们的例子：因为，当x接近0时，f(x)和g(x)的极限都是0（当x接近0时2x和3x都接近0）；并且因为f(x)=2x的斜率处处都是2而g(x)=3x的斜率处处是3；当x接近0时， 当x接近0的极限等于它们在（0,0）点的斜率的比值：这里就是2/3。一个函数的斜率的速记法是在它右上角处打一个小的垂直破折号（老的希腊用法的影子）——因此f‘(x)表示f(x) 在变量x出的斜率。那么我们将这个新发现简写为炼金术（化学式）的形式（用“lim”代表极限）
换言之， 是一个假象——在这个例子中，是 。
侯爵因为他的这个基本原则的发现而名垂千古，到现在这个发现还沿用洛必达法则这个名字。涉及我们历史的唯一问题——那就是我在开始告诉你们这个故事有一点欺骗的原因——是公爵先生既没有结论也没有证明这个问题。两者都是他的老师的杰作，约翰·柏努利（Johann Bernoulli），他显然甘心拿侯爵的利而放弃名。因为说到“洛比达法则”比“柏努利法则”多无限的小乐趣，我怀疑公平曾经充分给予这个著名胜利的作者。
记住， 的投降是有条件的：它仅仅是当斜率存在的情况下，它们的比率才有意义。否则，在我们成熟的数字世界，用零去除永远不可能。这不是把我们带回零本身是有问题的时代——除非你生活在宾夕法尼亚州（Pennsylvania）。因为在1998年五月，中心县的委员们投票来决定废除一项关于全部用零评估的所有的税收。因为这让当地学校伙食痛苦地缺少收入，他们通过他们的律师控告县政府，声称零不是一个值。他的证据是零让县里的估税员试图在他的便携计算器上用零去除。只有表示“错误”的“E”出现。
对于我们余下的人，零是——或者有——一个值。不管它是否是过程胜于目标，它是我们通过这些篇章一直追求的《难捉摸的她》。但是你能用零计算吗？这一定相当难以捉摸，因为科学作家迪克·特雷西（Dick Teresi）最近访问麻萨诸塞 (Massachusetts)技术学院，询问数学系人员的正是这个问题。当这个问题在走廊中回响时，他一直手持电话，直到最后回话说没有人能够真正明确地回答；总之，他们仅仅对1972年以后发明的数字感兴趣，因此他最好访问哈佛大学。
另外一个问题，你回忆一下，已经等待革命性的东西来回答它：00是0还是1或者是什么的问题。从我们的新观点出发，我们能够巧妙地归纳出什么导致我们的两个猜想。首先我们看这个极限，当x缩小到0，就是求x0的极限，我们相信答案必定是1：
更准确地说，缩小是从大数字到小数字：当x接近0时，我们从右边取极限，并且我们用书写表示：x→0+。因此我们的结论是
我们求0x的极限（这次也是当x从右边接近0），并且这次，通过明智的例证，它应该是0：
表面上的每一个方法似乎同样正确，但是至少一个必须是错误的。
也许差别存在于结构的不对称：一个底数是变量，另一个是指数是变量。为什么不让二者同时变化，并在x从右边接近0时取xx的极限呢？通过灵活的应用——我们应该称它为什么，柏努利法则？——我们找到了一个明确的答案：
！
代替完全利用灵活方法，让我展示函数f(x)=xx的一个图像：
f(x)=xx
当沿x轴从右边向0移动时，你可以充分肯定曲线从凹处升起并接近1。
但是还要保持镇静，不要忘形。你记得几页前我说一个极限必须从任一方向逼近才有意义——而在这里我们看起来在我描述的悬崖处确实有一个上升的斜坡突然结束。
哎，你说，只要完成y轴左边的图像，将负值代入xx，并通过它们向x=0接近。我希望我能这么做。我们在做的过程中遇到的四个截然不同的现象强烈抵触使这个想法不可能实现。第一，当采取我们的方法时我们必须找不到间隔：我们的图像必须是连续的。但是（第二和第三）当你试图代入x=﹣1/2时，看到发生了什么，例如，代入函数f(x)=xx。 意思就是（当我们正在款待天使时看到的）：
因为指数1/2代表取平方根，并且它的负号迫使我们将结果放在分母位置。如果它是实数，它在那里没有妨碍——但是 是什么？它是虚数；而这第四个现象意味着我们必须停止一下，并且我们被从实数甩到更宽广更复杂的，也包含虚数的坐标平面内：那些数，象 用字母i表示，你在实数中找不到它，但是你可以想象它在自己的一个轴上并垂直于实数轴。
综合坐标平面
在这里我们可以描绘任何实数加虚数的组合，例如3+4i，用一个平面上合适的纵横坐标表示（在这个例子中，（3，4）——象下一个图表中显示的那样）。
我们想通过慢慢地朝0滑动找出00是什么。但是既然我们是在一个平面而不是一条直
复合坐标平面上的点3+4i
线上，我们必须确信我们能够从任何方向接近00。到目前为止我们已经命名我们的函数f(x)=xx，因为变量x表示任意实数。为了强调这些“复数”由实数（x）和虚数（yi）部分组成，让我们改变变量的名称为z，这里的z=x+yi。我们想看看当z接近0时发生在f(z)=zz的是什么？——也就是说，当x和y都接近0。
发生的事情极其奇怪。无论我们沿那条路线接近（0，0），函数的值陷于混乱。它们随即显示每一个你能叫出的数字，我们越接近就越来越混乱。它们从来不稳定，从来不集中于任何特定的值（不及1）。对于zz在（0，0）点的极限是世界上最坏的噩梦。说它在那里无论取什么都没有值是一个巨大的掩饰。
我们可以继续至击败它，但是我们将挥舞所有胜利的旗帜继续下去。关于它们其中之一的设计是在实数平面的基础上，左边象限的这些点的一个模式，在这些象限，代入xx的是负数，我们确实得到实数的结果。象你想象的那样，这种情况很复杂：正象﹣2是﹣8的一个立方根，当x是一个有奇数分母的负有理数时，我们会到处发现实数结果。然而，对于任
f(x)=xx的完整函数图象
何的输入，我们都会得到复式的结果——例如平方根、立方根、四次方根甚至更多，在实数结果中处处存在间隙。但是最终我们可以这样说：对于这些负的输入值，当函数的图像一圈又一圈的缠绕，它缠绕的结果看起来象一个纺锤——因此在所有这些混乱中有一些规律。
第三部分 费尽周折第30节 无穷小(4)
f(x)=xx的纺锤
又一面旗帜在从熟悉的方向刮来的微风中飘扬：数学中一个抑制不住的迫切要求产生了。如果函数f(x)=xx有如此有趣的病理，一个函数 怎么样，或者另一个 怎么样呢，或者越来越长的变量的变量的变量的……的指数，直到你发现自己爬到就是混乱的塔顶？答案（它来自洛必达法则的重复应用）是具有讽刺意味的：当x从右边趋向0时，如果在塔顶x的数量是奇数，极限是0。如果是偶数，极限是1。
当然这对00异常兴奋的魔鬼来说，这算不了什么：我们尽力企盼，我们尽力去做，世界的结构对于它的具体化来说太令人惊讶了。但是思维有它自己的奇迹，并从我们进退两难的局面中找到方法。如果你看任何一个多项式，你看到它以一个常数项结束：
17x3－8x＋3
或者
102x19－14x8＋5x5－7，
或者甚至是
x2＋x
在它最后有一个默认的0常数项。
为了使计算更方便，那么（当我们将多项式相乘时特别有用）排列这里的每一项，将x的幂从最大逐渐递减；并在每一项中显示变量。在我们第一个例子中x2在哪里呢？暗含在那里，零又一次成为救世的化身，就是作为系数。如果我们完整的写出它就是：
17x3＋0x2－8x＋3
而在每一个多项式的最后一项中变量在哪里呢？再一次，但是（一致地随着幂的递减）使用零次幂，因为我们知道x0=1。因此再次重新书写我们的例子就是：
17x3＋0x2－8x＋3x0
最后一项无疑是3，并且必须保留x的任何值——甚至它应该带上值0。因此，将常数看作x0的系数，并规定无论x是什么，x2=1：甚至当x=0的时候，00=1。
“规定”，是为了推广这个符号，并且应用：与将指数从自然数引申到0、负数和分数时候相比，我们有更多的余地，这时我们发现我们不安起来。如果他们必须适合旧规定，那么，唯一的途径就是我们必须定义新的用法。现在，看起来在符号00中两条路线的收敛性没有实质的意义，并且我们可以在语法或美学的条件下为它选择其中一个。
这挫伤了象莱布尼兹（对它的符号如此细心）那些人怀有的希望，从形式化产生的新的语法结构应该符合原来的语言习惯。显然符号和讨论对象要能更灵活地结合，并且我们要在需要和惯例之间取得一致。
胜利之后就是一个有益的失败。但是我们现在得到零在发展我们的知识时的最大成功。感谢微积分，在我们使用任何约定时，零处于支配地位并且用最少的努力完成。同样，在理解事物的运动时零也处于支配地位，因为虽然这也许不是所有可能语言中最好的那个，但在结构上它是最优的：在特定的环境中是最好的。
为什么说零是关键？因为“世界上什么也没有发生，它的意思不是某一最大值或最小值的意思”这是牛顿之后数十年最伟大的数学家利昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）指出的。阳光的照射、商品的价格、印度豹的行速、翼翅的形状、一片树叶、一场山洪、所有的往返和继续、细小精致的修补，均是一个最优化问题的解答。我们如何预测涉及我们的过程在什么时候达到它期望的最值？拿出一个连续变化的描述这个过程的函数，画出它的曲线图；注意到曲线的峰顶和谷底处的切线的斜率是——零！
峰顶和波谷的水平切线
事实上我们甚至不需要画曲线图；我们从最初读作函数曲线图上任意一点的斜率中导出另一个函数：以前叙述过的函数f‘（x）。这个新的、导出的函数取零的地方，它的输入值就是f(x)取最大或最小值的数字（决定它时需要一点注意：最大值出现在——从左边到右边——斜率从正变到负，最小值出现在从负到正的转折处。另外，当你被悬挂在礁石上，你可能被误导进而认为你已经到达了山顶或谷底。表示这样一个零斜率的左边和右边的符号让你一直奋力挣扎）。
最大值、最小值和拐点
如果有几个极值点，我们通过比较原函数在这些点的值找到最大或最小值。
最大值
在零存在的情况下，你希望摇摆不定的值重新回来。这里，零作为被一系列递减数字接近的极限，在微积分中的新概念产生出再没有如此害羞的角色：更确切的说，真实的零在变化过程中扮演的角色就像一个出席舞会的少女的女伴。认为所有工程和科学是专门用来引出并解释它的符号的看法一点也不夸张，因为如果欧拉是对的，这些符号将指出世界的意义。
书写一个胜利者的历史是多么轻松和愉快呀，展示必须出现的事件——逐渐增长的对极小量的忽视、将变化作为基础这个观点的胜利、十九世纪将极限概念合法化的努力——为他们最佳化的努力，如果没有它们，我们也许仍旧陷在世界是存在于沙堆之上的形而上学的思考之中。然而我们又一次看到达芬奇潦草的笔迹在岁月留下的釉面（烧制陶器前附在陶器表面上的一层着色的、不透明或透明的材料——译者注）上扩散：告诉我是否任何事情都完成了？因为我们总是处在两个战争之间，并且胜利都仅仅是相对最大。收缩的观点被轻视和忽略这么多年之后，当它们的最新支持者对牛顿建造的城堡组织一场复杂的攻击时，你可以再次听到无穷小量汇聚起的此起彼伏声音。
这些复兴的无限小量停留在我们追寻的两个主题的交点：零是目标而形式是正确性的保证。我提到，新的理解可能来源于为给我们的理解加盖肯定的印章而创造的语言结构——并且正是大约五十年前开始的，一想到来自德国的流浪者亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson），这件事就发生了。虽然他在加利福尼亚开着最新款式的红色赛车，但是他的思想在一个极其不同的模型中飞梭：新近流行和强大起来的那些绝对的抽象概念建立起来了许多公理的连贯性。
这个设想是这样的：举个例子，如果你有一系列的控制来使钟表工作，当你试图建立这个控制的时候，你发现一个控制需要一个杠杆下降，而同时另一个控制却要求它上升，那么你会看到你的控制是相互矛盾的：它们导致的冲突意味着它们的模型不能建立。因此如果你能建立或发现一组控制的模型，那么这一组控制一定相互协调。当然这个模型不需要用雪松木甚至轻木和棉纸来建立：它的组成部分可能全部是概念上的，它是智慧作品的集合。回忆第十章结尾部分定义如何加和乘的公理：有理数，或实数都是它们的一个模型，只要它有一个要素的基本数字。同一系列的公理可能有本质上不同的模型，这个事实——我们在前几页的发现这个事实令人讨厌，当它否定了关于世界的一个独一无二的观点——给罗宾逊提供了线索。
他所作的就是建立公理的一个“非标准”的模型，这些公理统治着微积分（或分析学）并包含所有的实数但是也确实有一些很特殊的数字：比零大但比你能叫出的任何实数都小的数。这些几乎什么也没有的数就是他的无限小量，利用它们，罗宾逊和其他人简洁轻松地证明了所有传统的和部分新定理，十九世纪愚笨的方法永远无法处理这些定理。他们恢复了莱布尼兹的荣誉和我们思考变化的方法。
这是最终的胜利吗？斗争仍然激烈进行，因为，如果莱布尼兹的无限小量是过去数量的幽灵，那么罗宾逊的看起来就是语言表达的而非数量的幽灵。这些无限小量在正式逻辑的语言中的存在多于在世界上的存在，甚至在语言中，他们也更接近标点符号而不是字母、音符和单词。你可能回答说，我们平常的零刚开始出现的时候也是纯粹作为一个标点符号灵活使用的。确实，我们不能预测这些无限小量将可能如何发展进化。然而罗宾逊自己坚持认为这些无穷小量不是实数而仅仅是非常实用的工具，并且提醒我们，莱布尼兹也同意这个观点。非常值得注意的是，他声称自己没有发明新的事物，而仅仅是发明了“新的推理程序”。
好像你已经决定我们语言中的连接词（“和（and）”，“或(or)”“但是(but)”等等）也是事物的名字，并且在被这些创造物丰富起来的新世界中，你发现以前模糊的概念突然清楚了。你可能不愿意放弃这些洞察力，因为仅仅是一些不确定的中间物使这些概念清楚了。你可能甚至开始反复考虑“但是”和“或者”的原意——不知何故——象他们代表的目标和过程的名称那样，是存在的要求：这是信基督教的德国诗人摩根斯坦(Morgenstern)在1905年第一个从下面的诗中发现的一个观点：
曾经有一个尖木桩围城的栅栏
栅栏上有间隔可以让你看到从“因此（hence）”到“从此（thence）”。
一个建筑师看到此景
某夜突然接近它，
消除掉栅栏上的间隔
并且用他们建造了一处住所。
无论你认为它的通风的围墙是由无限小量还是由运动构成，自从发明微积分后，零居住的房子就远离了苏美尔人烘焙泥土的世界。再提出我们的引语问题已经没有意义了：零是多么的靠近零？现在我们可以毫不畏缩的提出这问题。
第三部分 费尽周折第31节 它是超脱的吗?(1)
大自然不喜欢真空，我们也是如此。在我们看来零，已经与我们的思想错综地交织在一起，但是时而不时会产生一种让人们在思想之外的物理世界中寻找零的原形的诱惑；就像喧闹绿洲之中一片沉寂的沙漠。我们也许会失望。地理大发现时期的地图制作者用风和蛇状焰火来填充他们地图上的空白处，并且改写处女地；像他们那样，“这里是妖怪”，我们现代恒星系的航海家——天文学家在你认为没有事情正在发生和将要发生的地方，假定了能量的短期激增和准量子的瞬时爆炸。
就像我们的最空旷的空间，因为充满了看不见的射线，所以是拥挤的（你仅仅需要打开适当的接受器——收音机、电视机——就能使它们出现），无数星星的光亮、来自宇宙大爆炸的背景声音、逐渐微弱的无数往事的回响在每一个地方相互交错延伸，使空荡的黑夜显得幽静恐怖。即使你不依能量而是依物质而言，并问：一定没有任何一个地方——无数的地方——根本没有物质吗？——你会从天文学家那里听到一个含糊的回答。理论显示而且测量结果间接证实了，空间本身是一个实际粒子的一个大的来源：数学为了反映零的持续趋近和间断趋近之间的竞争，空间理论看起来是在辅能真空和除了物质之外的事物的海洋中摇摆不定。
因此当以太的传统理论居于主导地位时（将光线解释成普遍存在的，稀溶液中的波），你可能已经期望——在非此即彼的条件下——一个相反的假定已经出现，这个假定认为天体的万向轴承充满着空间：而且你对了。图书馆中没有年轻人并且几乎没有老人去的那个角落内收藏着写有过去肯定的理论的书，它们陈词滥调的脆弱的魅力仅仅会被它们提到的曾经时髦的权威所破坏。这里你会发现——几乎是不显眼地塞进去的——奥斯本·雷诺（Osborne Reynold）：《宇宙观的转变》的缩写本。
这本书作于1903年，书的作者——一位英国工程学教授——使我们深信我们对他的解释有最充分的信心，他的成功获得了“从泰利斯（Thales，希腊“七贤”之一）到柏拉图时代开始的这个理想已经激起最大的哲学兴趣”的评价。他自信的理由是他认为他的“观念的转变”完美的解释了基本的物理现象。（光线的吸收、折射，重力等），并且“考虑到这些现象中没有一个曾经得到过机械的解释，它显得无限小”（零是一个模型）“对宇宙来说一定有另外一个结构满足同样的证据的可能性”。
他的解释是什么呢？为什么没有真空空间，而是宇宙充满极其微小的颗粒（它们的直径是紫色光的波长的七千亿分之一），沿着很短的轨迹以大约每秒4/3英尺的相对速度相向移动。它们组成一个无限延伸的弹性的介质，它们的组合解释了我们所认识的一切事物。雷诺可能要问：“所有的事物是否都变得更加简单？”例如，他的理论解释为什么在晴朗的夜间天空是黑色的：光线运动的能量消耗在加快微小颗粒相对运动的过程中。它将重力解释为微粒不再紧密结合的结果。它甚至解释我们是什么：微粒组成的宇宙中的波；“……我们称之为物质的东西：奇异的外观是什么——是波。我们都是波。”
О阿基米德，这非常令人奇怪！你的罂粟种子在哪里，还有佛陀，你的微粒在阳光中跳舞，现在呢？真空在宇宙中消失——并且不仅仅是真空，还有奥斯本·雷诺：“在我手中有，”他写到，“第一个试验的模型宇宙，一个软橡皮袋……”并且有一张宇宙的照片（标记为W），号码是九，攥在一只从白色袖口伸出的手中，白色袖口连在黑色的袖子上。但是照片在肘部之前结束了。没有另外的东西。这是我从奥斯本·雷诺和他的宇宙之间得到的唯一一个相似点。
二十五年之后，当量子力学出现之后，又一次观念转变认为带正电的粒子是所有难以探测的负粒子海洋中的孔洞。这是P.A.M.迪拉克（P.A.M.Dirac）保存以他的名字命名的基本波动方程的方法，方程从一些重要的后果出发描述电子如何运动（例如电子的负电荷增加，并在这个过程辐射出无穷的能量）。它是一个方法，象一个物理学家指出的那样，“非常杰出但缺乏可信性”，并且在负的环境中把正看作零，这肯定是有依据的。然而，当负能量解释后来被重新考虑为一个不同粒子的正能量态时，迪拉克的负电子海洋重蹈了雷诺的覆辙。
现在，当我们理解它时，在空间最最深处的冰冻大约是绝对零度以上2.7度，标志着那里存在粒子的运动。更多的（或更少的，因为更少的就是更多的）：甚至一无所有的真空仍然是一个汹涌的能量海洋，这种能量以变化的电磁波形式存在，就象在没有负电荷的盘子上施加一个力所显示的一样（这个假想在1948年由荷兰物理学家亨德瑞克·科斯密尔（Hendrick Casimir）提出并于1996年被罗斯·阿拉莫斯（Los Alamos）最后证实）。根据现代理论，这种“真空能量”的数量是（令人烦恼地）无限大的；但是看起来只有少数飞碟中的人才能应用它。
如果我们在巨大的开放空间都不能找到空白，又怎么能在家中的狭小空间、钟形的玻璃容器这些空间内找到呢？1670年英国化学家、炼金术士罗伯特·波义耳（Robert Boyle）——一他和他的同事是自然哲学团体的发起人，他们将其称为“看不见的大学”——把一只鸟放进一个玻璃杯中并抽出空气。在一百年后德拜（Derby）的画约瑟夫·莱特（Joseph Wright）中，你看到鸟在拍动翅膀：家中的小女孩转过脸悄悄哭泣；他的哥哥用滑轮吊起笼子；大人们或面面相觑，或看着试验或陷入沉思——只有仪器中有着光滑羽毛的鸟透过玻璃紧张怀疑地看着我们，而我们也死死地看着它。
“够了吗？”他似乎在问。是的，如果只是要杀死那只鸟的话，够了。如果他想得到完全的真空，那还不够。一代代安静的、善于用新方法解决复杂问题的工作者们已经把我们带得更近。你不会猜测，在实验室外面的大街上遇到他们，对于他们来说为了多一个零的十进制的完美结果，世界也消失了。他们以工作为生：威廉·费尔班克斯（William Fairbanks）——长期是近零研究者的元老——迎着寒风开着窗户睡觉并且在早晨时弹掉被褥上面的积雪。
目前物理学家用激光来阻止铷原子在它的轨迹中湮灭，并在一个空的玻璃热容器中将原子超低温冷却，再开动一个磁触发器进一步冷却它们，直到绝对零度的的十亿分之一百的范围内。在这一温度，这些原子成为一个整体；甚至当温度正好零度时令人惊奇的是它们的能量仍不为零。这是从量子力学得出来的，量子力学的核心是海森堡（Heisenberg）测不准原理，这个原理是说：当谈到电子时，你可以在任何时刻知道它在哪里或者它运动的速度是多少，但是速度和位置这两个值不能同时得到——但是你可以大胆地认为宁可以马哈韦日的未知数原则为中心，并且这个几乎空无的微观宇宙同时也是真实的、虚幻的和无法描述的。
按照康德（Kant, 德国哲学家, 1724-1805, 古典唯心主义的创始人）的理论，很明显我们可以假设没有物体的空间但是不能假设没有空间的物体。但是在它的微观和宏观的极端上，现代物理学似乎已经证明我们不能认为实际的空间是真空的。难道它没有沿着银河系弯曲、没有成为微粒产生和消失的地方吗？根据我们对印度教中的空无的理解，它不是真空的而是充满物质的吗？
如果我们在那个范围之外寻找一个更简单、更纯粹的零，我们必须在不同的假设下寻找它。在特定微粒的集合中怎么样？一些物理学家深信提出一个光子团或一个引力子团是有意义的，并且这个团是零——但是它不是他们能够证明的任何东西。
谈到零在时间上刻上的烙印：时间，所有事物中时间最适合固定的移动者的称号。然而我们在这里很可能受挫：我们从庆祝第一个新年的嘈杂声中听到是一个宇宙大爆炸理论，对我们的耳朵和思想来说，十亿分之一秒后我们不能再感觉到它了。它或者不仅仅是一个瞬间——在宇宙诞生之前，有十亿年乃至无穷长的时间吧？
我们一直努力为之奋斗数十年的宇宙哲学理论陷入危机：反对的事实把它击碎，成了像人们认为相互拥挤的宇宙一样多的拼凑起来的的假定，仅仅像是啤酒泡沫中的气泡。象约翰·科利尔（John Collier）的故事“魔鬼，乔治和罗斯”讲述的，它也许注定被一个消沉的名叫普赖尔（Prior）医学学生击倒。不要担心，魔鬼说：“……在他的嘴唇碰到玻璃杯之前的时间将有两亿亿年，因为一个年轻的女人用她的目光牵绊住了他，当他喝的时候所有气泡都会消失……”
一些天文学家认为时间没有起点，一些认为在虚幻的宇宙内部和外部对时间的认识是不同的，在更长的宇宙的循环时间中，一些天文学家把我们特定的虚幻时间看作线性的。而另一些人把宇宙大爆炸之“前”的时间描绘成没有前进方向的象空间一样的变化。人们将过时的理论重新整理使之适合新观察到的现象，结果它们再次使你惊讶于语言和抽象的力量，因为时间看起来只不过是我们所有行为的一个条件，所以你想知道你必须站在什么角度上以便从远处考虑它。时间，用来释义康德，是我们冒险地认同的东西。
我们能在一个令人信服的答案(解决相关问题的)中找到零吗？宇宙是从什么起源的？这里和那里的大门上有无数的门环（有无数的着眼点）。一个物理学家说：“有胜于无的原因在于无是不稳定的。”
圣·奥古斯丁（St Augustine）在他的《坦白》中长期苦苦斟酌这个问题，也意识到我们的问题超出我们的能够回答的能力，并且许多不同的认识能够也应该从书中获取。他得出的结论是：地球和海洋，在开始时是看不见，光线不足、和没有固定形态的，上帝一定几乎是从无中制造出来它们的，圣经说：“……不是完全的无；因为结构是不清楚的，所以没有任何的美感”。一个人占据了一个极其敏感的位置，他的思想极大程度上贯穿了我们的思想。那么在十六个世纪之后，当我们发现其他观点与这个观点如此相似时，是否应该惊讶呢？当宇宙大爆炸之后万物冷却时，物质和反物质几乎完全相互毁灭，留下了纯粹的射线。对称不再均衡，然而（它没有任何美感）：对每一亿对夸克和反夸克就有一个额外的夸克，物质的基础——平衡中这个微弱的倾斜发展成了恒星、行星、海鸥和我们自己。
空间的尽头和时间的起点：结果零没有位于我们误以为它在的两个地方之中的任何一个。确实更自然的做法是在事物的结束之处寻找零。这就是零是如何被看作负数，逐渐变得清晰：负数和正数的平衡点；还有，更广义地说，是让我们安全出航和回归的坐标系统的原点。
这个中心在哪里？宙斯（Zeus）通过从宇宙的东边和西边同时放飞两只雕来研究这一问题：它们在特尔斐（Delphi）相遇，在那里一块圣石标志着宇宙的中心。这块石头——或常说的中心点——也许特别是在考虑到我们在中世纪看到的奇特的符号 之后，认为它对零的形成起到了作用吗？宙斯后很长一段时间，亚里士多德非难毕达哥拉斯的追随者，因为他们在纯理论的基础上，将太阳作为宇宙的中心（他们说，火优于土，值得这种赞誉）。他的观测使他确信大多数人所知道的：地球是宇宙的中心——这个观点一直保持很多世纪。
中心的中心被早期的穆斯林天文学家称为“地球的炮塔”——被印度人称为兰卡（Lanka）岛，就是他们的0°经度，而且（令人迷惑）没有纬度。就是在那里恶魔阿凡纳（Ravana ）建造了迷宫似的城堡雅凡纳，他的计划令人强烈地想起亚特兰的儿子们在柏拉图的亚特兰第斯岛上建造的宫殿。但是亚特兰第斯岛因为自身原因沉没海底，一千年前的旅行家奥波尼（Albiruni）说，那里没有这样的圆形屋顶了，他猜测兰卡岛是食人岛兰嘎（Langa）,那里是丁香的原产地，也是天花的发源地。
在1560年哥白尼给予地球中心说以致命打击之前，地球作为宇宙中心的学说就曾遭到一系列变革和巨大的攻击。例如，亚里斯多德几个世纪中的追随者中的一员斯多葛斯（Stoics）认为物质宇宙在无限的空间中漂流。前者可能有一个中心但是很明显整个空间没有中心。布瑞克森（Brixen）的卡迪诺（Kardinal）之后很长时期，接近中世纪末的时候，尼古劳斯·卡散诺斯（Nicolaus Cusanus）声称物质世界就其本质而言是精确的，因此地球和宇宙本身都不能是真正的球体，因为更理想的事物总只是可能存在。从而，因为二者是无限的，它们都没有中心。他说，事实上，宇宙的真正中心与它的圆周相重合并且不是物理学意义上的：完美只属于上帝。因为没有人类可以到这个中心，我们所有相异的观点是等同的——并且都缺少客观性:
从而将这些多种多样的假想结合在一起……那么，运用独自就能实现博学的“无知”的领悟力，你可以理解宇宙和它的
第三部分 费尽周折第32节 它是超脱的吗?(2)
运动不能用一个图形来描述，因为它几乎表现为一个轮子套住另一个轮子，并且一个圆套住另一个圆，像我们看到的那样，没有中心或圆周。
如果你想大致了解在动荡的五个世纪内西方思想的中心是如何变化的，只要比较对这一暗喻的三种不同的看法，卡散诺斯的这个暗喻正表现他们的用意。第一个看法来自20世纪的书《24位哲学家》，在这本书内上帝被描述为：
Sphaera cuius centrum ubique ,circumferential nullibi：
一个处处都是球心，没有圆周的球。
前一段话引自卡散诺斯，写于1440年，接下来是：
好像宇宙的结构处处有它的中心并且没有圆周，因为圆周和中心是上帝，上帝无所不在，而又无处存在。
到1660年之前只有这种结构流传下来。帕斯卡（Pascal）在他的《沉思》中写到：
整个可见的宇宙……是一个无限的球，它的中心处处存在，并且它没有圆周。
因此我们从有限出发，通过无限，到达一个无限的宇宙。
对哥白尼来说太阳是宇宙的中心，五十年后的开普勒（Kepler）也这样认为，以及后来的牛顿亦然。在他们中间，伽利略（Galileo）持谨慎怀疑的态度：“我们不知道去哪里寻找宇宙的中心或者它是否确实存在。”因为表示这样的怀疑态度在政治上是不正确的（并且当时形而上学的丑闻比现在自然学科的丑闻带来更加严重的惩罚）——也许因为伽利略明白自己没有办法验证——他撒手不管这个问题。
莱布尼兹不是那样，他针对空间学说发动对牛顿的攻击。对于牛顿，空间是闪光的框架，它包含了事物之间的关系；对于莱布尼兹，空间只是这些相关事物的顺序，并且不能离开这些事物而存在。不像在爱丁堡（Edinburgh），两个通过窗户相互争吵的女人一样，她们永远不会同意对方（悉尼·史密斯（Sydney Smith）这么说的说），因为她们从不同的前提出发而发生争执；牛顿和莱布尼兹永远不会达成一致，可是他们的前提是一致的：上帝需要最崇高的赞颂。牛顿认为绝对的真空空间，意味着上帝对空间内一切的连续统治；对莱布尼兹，这理解为上帝总是要上紧一个变慢的时钟的发条。
争论本身起伏跌宕，变换条件、修辞和支持者——然后被200年后的爱因斯坦(Einstein)的成功一扫而空。莱布尼兹明白牛顿变戏法似地提出绝对空间是为了（在他的第一定律）谈绝对空间中的绝对运动；但是从来没有这样的运动被观测到，因为你会察觉到没有变化——因此绝对空间的假设是没有必要的。爱因斯坦在它的开始处标上标志：他意识到，一个人从个人认识水平出发观察到每个事物都有着自己的中心、自己的零。只要认识水平不变，或相互做使其相互结合的运动，并且从不同的认识水平出发，对不同的观察者来说事物发生在不同的时间和地点。控制事物的法则——物理法则——可以看作完全一致。这是爱因斯坦的相对论，它既不肯定也不否定绝对空间有固定中心的观点，但使它变的没有意义。
仅仅少数持反对意见的宇宙论就使你完全怀疑宇宙论，或者怀疑它一定是神学的附属品了吗？你担心这种观点隐匿了它自身的测不准原理？而这个原理使我们确定一个位置在哪里或者位置变化有多快。困难在于试图通过连接极少的数据点来描绘出宇宙。举起宇宙的最后一只大象站在一只海龟背上（欧洲传说，宇宙存在海龟背上——译者注）吗？或者大象自始至终在海龟下面呢？尽管奥斯本·雷诺兹（Osborne Reynolds）没有信心，任何解释都将和有限的证据相一致。一个理论出现并繁荣发展可能只能看他们与事实符合的程度。如果时势是审美的，优雅高于纯粹的沉闷苦干，同时光辉不仅仅补偿合理性。甚至一个挑剔的群体的从容的追求可能将它的科学研究倾斜于同科学幻想产生共鸣的假设。
更基本的是，当恰好处于你的领域的边缘时(总是在科学发生变动的边缘)，你就可能相信移民们的想法：远处的世界和眼前的世界是相似的；如此努力获得已知法则在分析方法上的延续，就是为了了解未知的领域，或者像探险家一样，你可能努力追求使自己从褊狭的过去中脱离出来，并为事物奇特的本质而激动不已。.阳光下没有新的事物了吗?那么就超越它!当对于一个灰尘粒子而言，我们都是自不量力者时，我们中的天文学家看起来属于第二个阵营。
当然，移民或探险家，他们最终是科学家而不是空头理论家或文学评论家。他们读自然科学方面的书，却并不从新的或过时的评论、符号学或结构主义中得到益处。他们认为作为人，对有一些事物他们无能为力，并认为这些事物之外的东西，是意义明确的——不像圣经——不依赖于我们的解释的。他们的结论大概有点狂妄，但他们的方式是谦虚的。并且，在他们的内心深处，仍然像科研工作者一样客观、公正的看待事物。对他们来说，已经成文的数学公理对于同一现象有几种不同的基本形式：它们并不是简单地证实事物间的相互关系，而是与数学家的发明相似。而且，我们惊异地发现，这些发明是从事物最奇怪的表现方式中得到的。
那么，为什么天文学家的革新成为旧有理论的中断而不是延续？因为——威廉·韦卫尔（William Whewell）说，大约150年前，一层理论的面纱遮盖了整个自然界的真面目。科学家们看到了，却不能透过它看到自然界的本质：这是一张纸制的面纱，由许多支离破碎的事实拼贴而成。这些事实组成了科学家们最初粗略认同的情况。这是一张当论据彻底枯竭之后，各层之间开裂、剥落的面纱。
然而，零，使这一张理论的面纱出现了漏洞。在它们表示出这一过程的最大程度和最小程度之前，我们看到了一段差距。物理学最深层次的理论写在纳皮尔称为“关于零的方程”之处：守恒法则。这一方程说明了一个系统中总的能量(或电能、或动能、或势能)，保持不变：它的变化量之间相互转化，总的变化量等于零。这些法则至少可以追溯到笛卡尔时代，他认为：上帝将自己创造的东西传诸后世。尽管物理学研究的对象不断变化，变得更加明确，还可能经过时间推移而增加，但表达它们守恒性的法则是它们本身所固有的。这一类法则不是装饰性的：他们是一些最基本的理论单元。通过对事物的比喻，单独就可以使我们建立起一个详细的概念。从而，从外表看来，它们中的一半都是零。
一个生动的例子是：也许研究静止物体的平衡受力并不那么容易(例如,一个滑轮系统)，但这比分析运动物体(摆动、滑动、旋转、反弹、下落)的受力容易得多。显然，任何使动态受力分析转化为静态受力分析的方法都是受到欢迎的。这就是简•李•龙•达朗贝尔（Jean Le Rond d’Alembert，法国数学家及哲学家）在1743年所做的，他是通过一个非常偶然的机会做到的。在方程唯一的形式中，我们再次从语法能够产生深刻理解的力量中获得乐趣(就像宗教，必须修修补补完善自己)。
对牛顿第二运动定律而言，它说明的是，使物体运动的力等于物体的质量乘以它的加速度：
F=ma
这将三个量放入相互定义的怪圈之中。使分析这些力变得极端困难。达朗贝尔仅仅是改写了牛顿的方程，就非常有效地解决了这个问题，写作：
F－ma＝0
然后将‘－ma’本身看作一个力，‘惯性力’：
I＝－ma
所以我们得到
F+I=0
但是，力F和I的和产生了平衡：由此动态转化为静态。当然，包含有特定的力和“惯性力”的方程仍有待解出——但他们现在可以按照相似的平衡问题的方式和有利之处来理解。
如果在分析时加上外加的力和惯性力，达朗贝尔的理论就变成：任何受力系统都处于平衡态。这一理论具有复式簿记的特征：通过一点小技巧，就能达到零平衡。魔术师的助手有其他助手帮助他们。
你可以正确地说出守恒法则，就像说出达朗贝尔的理论一样，这是事物间的相互关系而不是确实位于此处的事物本身。由此，二者都不是法则所涉及的零。在这一章开始时，我们所提到的实际粒子，不仅在被看作粒子的事物中，而且在其它事物之中，也是实际意义上的：物理学家更多地把他们看作数学上的隐喻，能够帮助构思和计算，与微积分学中的微分非常相似，它能够帮助计算曲线斜率，一旦计算结束，它就消失了。莱布尼兹说：只有个体是真实存在的，个体间的联系都完全属于思想范畴。我们应该修正他的说法吗？我们如果将零看作一种处于思想和物质之间的相互联系，就可以使思想和物质都得到解释，并且都具有真实性。确实，这就是为什么渺小的数字零，总是活跃在我们生活中各种事物周围的原因。
例如，温度计上有零：华氏（Fahrenheit）在成为标度之前是一个人的名字。他选择了零作为冰盐混合物所能达到的最低温度。雷内·德·列氏（列式温度计发明者）——在他还没有研究鸟巢的种类或者证明绳子的强度小于其各股强度之和的时候——通过辩论使零成为水的凝固点。安德斯·摄氏（Anders celsius）在拉普兰观察到了北极光——这一位置恰好帮助他设计出了摄氏温度计的零。威廉·汤姆斯，罗德·开尔文，在83年的生命岁月中，一直不停地标定计量单位，最终将零度设为运动停止的温度。
人为万物的尺度。就像全世界所有船只的吃水线，它通过显示安全和危险装载的水平面来挽救船员的生命：当塞缪尔·普利姆索尔（Samuel Plimsoll）挥拳打在迪斯雷利（Disraeli）的脸上，并叫来和他一类的议会反面人物，将可能是声名狼藉的“棺材船”成为非法船只的海报倾入大海的时候，他几乎倾覆了自己的命运。午夜、子午线及所有的度量标度，都是按照一些边界制定的，我们几乎相信这些边界的存在。但是，这些标度却没有显示出它们发明者的个性。
是否仍存在这样一张理论的面纱呢？零，使其出现漏洞。它并不像宇宙一样遥远，然而已足够远，只能像计算外部空间的事物一样计算它。我们会时不时地陷入笛卡尔的空想之中，在这里我们与自己的身体相遇，我们就像是自己身体的搬运工：闲散的头脑中习惯性的思维模式。专业运动员经常以一种奇怪的、第三人称的方式谈起他们取得的成就：用球拍、球和手套来评价胳膊和腿的能力。
我们经常不能完全品味出运动员们每天的训练，例如：投球和跳起投球；伸长手臂接到高压球并俯身准备还击；撑竿跳时轻松的克服重力作用；俯身在冰一样平滑的曲面上并直立起身的过程中所表现出来的卓越技巧。像猫一样，他们是有杰出表现的天才：一种我们在舞蹈或者旋转中所逐渐意识到的感觉，并且这种感觉在每天的几千个动作中是体会不到的。身体中的零就像机器的轴心。你仅仅需要回想一下恐高时恶心的时刻或读到关于人们遭受耳内失衡和灾难性地失去方位感的书籍的时候，就会意识到，零是多么不经意又是多么重要地使我们的各种感觉不至于偏离航线。
像我们偶然看到的零中间有一点(θ)，在思想中，存在这样的一个零吗？它不同于身体中的零，并且使上述符号(θ)产生。没有任何事物比平衡更接近，也许，正位于帕斯卡无限球的中心。这个球无所不在：因为我们确切的知道我们的球是独一无二的中心。我们将它叫做“我”并猜测——在一定程度上，只有运用想象力才能理解——当我们用“我”表示我们时，其他人也通过“我”来表示他们自己。并意识到，他们说到“我”的方式与我们相同。与此同时，这显然将我们与世界联系起来。
我们所适应的是一个从未解释过的、似是而非的理论。所以，当歌手开始练习音阶时，总以为“1（doh）”就是“c”调。当他了解到，在另一种习惯做法中，“1”实际上是任何调的第一个音符时，仍然认为“1”就是“c”调，“我”恰好仅仅属于我们。这样，就违反了“1”可变的原则，并且不加分析地使用了人称代词。也许，我们从未尝试做过比将这些陌生的用法翻译为我们自己的、恰当的语言之外更多的事。
而且，这些自我的零，因为它们不能被感官所感知，所以我们可以认为它们不存在吗？如果这种认识是对的，那么我们真正理解它了吗？零也许是特定的时刻；也许是眼前一闪而过的物体；也许是倾斜的光线中恐惧的阴影，却从未与蛇有关
呼吸并不急促
零却已经无情地揭露了真相
危险使我们了解到我们拥有一些珍贵的东西——却不知道他们是什么。我们拥有自己不能解读的预言。就像希腊的信使，他们携带着缠在一根木棍上写满字的细长丝带。只有当信的各个部分重新全部收集到收信人手中并重新缠在木棍上的时候，信的内容才有意义。
第四部分 有蜘蛛的浴室第33节 有蜘蛛的浴室
零既不是负数也不是正数，而是这两个王国之间最狭窄的禁地。然而，我们惯于分析的思想，曾经急于看到这张中性面孔的符号，现在抓住它空的含义了解了它的能力和前兆。首先，我们寻求当期望最坏时，它是什么样子——在下一章中，我们可以看到同一个空的是如何显示良性的。
在中世纪，你知道零是怎样被看作魔鬼的工作或者魔鬼本身——伟大的价值删略者。多么容易想象，你把自己当作一个废物、不中用的人一脚踢开。苏丹·阿卜杜拉·哈密德二世（Sultan Abdul Hamid the Second），恐怖的19世纪亚美尼亚（Armenian）大屠杀的作恶者，据说，他让检查员从流入他的王国的化学课本中删去任何涉及H2O的部分，以便确信这个符号仅仅用来代表“哈密德二世就是零！”抛弃那些我们拒绝接受的东西也是很容易的，诸如那些纯粹的零，黑洞里的所有物质，个人的记忆，这些东西可以消失得无影无踪。
空心椭圆似乎代表匿名，反映我们害怕与他人——或与任何一个人——或与世界没有差别：“……超过并不留踪迹，” 威廉·麦克菲（William McFee）在《大海的随意》（Casuals of the Sea）中曾经这么写过（它自己留下极少的踪迹；在我看来，仅仅留下的是他在学校做实验时样品台上倾斜玻璃发出的微光的颜色）。
它产生多少个被你遇到并戏弄的零：现在不能叫出名字的老年鉴中那些面孔，看不出任何特征的陈旧住址名册中的那些名字。它们汇集成一团，有时你喜欢作为一个单纯的观众挤进其中——直到冷静的思考来自你自己的名字，你的名字写在放在墙角抽屉里面的那个破烂的地址名册里面，并且还没有被认可。
像零一样生活：多余的人、没品质的人、象亨利·詹姆士（Henry James）的约翰·马凯（John Marcher）这样的人，生死关头已经没有生的愿望，认识这个道理时已经太晚了，他们对热情无动于衷：这种情形经常出现在我们的幻想和事实中，如日本社会的工薪阶层、公司职员、我们办公室中可以互换的角色，他们都逃避家庭中的现实游戏。不像马凯，最大的坏处就是：他们大多数人从未对他们经历过的现实醒悟。
这就是 ，存在主义核心处的虚无：对它的认识不足导致极度的厌恶——就是一个选择你将是什么的时刻（因为所有的选择、生存的选择，是一样不必要的、一样武断的、一样没有优先的意义）。你开始与随机选择一同退出，信奉随机，并在经历过程中理解你的本质：萨特（Sartre，1905-1980, 法国哲学家、小说家、剧作家, 存在主义的提倡者, 曾以“谢绝一切来自官方的荣誉”为由拒绝接受 1964年诺贝尔文学奖——译者注）对本质优于存在的托马斯（Thomistic）主义原则能够灵活运用。因此，一个任意数字被塞到一串零之前，便产生了很大的数值，而这里除了一串零以外，曾经什么也没有。但是萨特死了而且他的真实性稍后随之也消失了。存在主义的盛行已经过去，如今只是在连续的青春浪潮中有所遗留，而且还是在收入和花销开始之前。
至少那些没有觉醒的人们还沉浸在他们的梦中。还有一个更可怕的零的化身：极为愧疚地确认自己的绝对无用。甚至在孩童时期，自我谴责的人就知道他们淘气的语源：它来自零。小声交谈着嘲笑它们挑出来的细微差别；他们像哈姆雷特（Hamlet）一样听到自己在问自己，爬行在现实和天堂之间，自己应该做些什么。当多恩（Donne，1572-1631英国玄学派诗人和神学家）称人为零，无限小于一个数学点，小于假想的原子时，就是针对他谈到的每一个人。但是，在灵魂的黑夜中，讲道坛上一个很大的声音对着确定的存在大声的讲到：零是无尽否定的唯一开始。
放在一起向相反方向运动的两个磨石总是相互研磨：尽可能憎恨你自己，失去它是多么好呀。在意志力的作用下，没有逻辑可以认可，然而幻想沉淀下来，你把没有你存在的世界看作它本来的面目，却象约翰·班扬（John Bunyan）那样绝望了：
……在我自己眼中，我比一只蟾蜍更令人讨厌……我既是自己的一个负担又是一个讨厌鬼；现在，我也不明白，什么使我厌倦了我的生活，可是却害怕去死。
象济慈（Keats，1795-1821英国最伟大的诗人之一）在奄奄一息的时候说的那样，你的名字如何可能成为书面文字呢？它的音节是怎样在物体的嗡嗡声中消逝的？一本关于最新电脑空间密码系统的书告诉我们：
把交谈淹没在一阵喧闹声中，以便无人知道一个交谈是否确实存在。把你的存在消溶至虚无……
当然，作者继续叙述：
……然后把它从虚无中拉出来，这样他可以获得重生。
我们如何确信可以遵守这个承诺呢？你从来没有失去过你电子邮件中的有用信息？ Animula vagula blandula，哈德良皇帝（Hadrian罗马皇帝）这么写到，很少的灵魂也颤颤而去。你的灵魂和奇怪的货物一块贮存，将永远破碎无法弥补，这种无法挽回是多么的不公平呀。或者，它是特修斯（Theseus，西塞期雅典的英雄和国王）的令人迷惑不解的船，每一次睡觉都会拔掉它最小的钉子，每次醒来后，都会在原来的形式之上用新的物体重新建造，这样对你的我就没有我（there is no I to your I），并不继续自我，但是褪去并且最后用疲劳的连续的外观吗？
这些消极的虚无循环可能会在我们头顶悬挂几年——然而象西尔维亚·普拉斯（Sylvia Plath，塞尔维亚1932-1963美国作家——译者注）写的：
我是如何在某一天知道——在大学、欧洲、某些地方、任何地方——钟形的罐子，伴随着它沉闷的变形，将不再重新恢复了呢？
可能存在比这个零更消极的零吗？一个：在其中的宇宙和万物（因此，你自己也在其中）没有任何意义。只是低头看看那小沟就发现它是千年冰川的踪迹；只是把天空的蓝色面纱拉开，就看到因果的盲目扩张：突然，所有发光的东西此时仅仅是闪烁。当在哈佛的哲学大厦接近完成时，一些系想把门口上的题词写成这样：“人为万物的尺度（Man is the Measure of All Things）。”然而，在揭幕式上，他们发现石头上的雕刻是：“人算什么，你竟顾念他（What is Man that Thou art mindful of him）?”
对内心世界的隔离留下了单色世界，但零并不隔离，天生就是内心世界的显露。曾几何时，你认为你（也许是自卫地）对自己失去了兴趣……；或者对你曾经爱的人失去兴趣。冷漠自动的传遍你的亲戚朋友和同类人。万物无情地回头看者你。你将你的世间清醒展示片刻；接着一个久经世故的玩世不恭；然后是玩世不恭的大草原；而后的脱离让你陷入绝境，不时被古怪的眼光参观：“你一定是病了，”在杜斯妥也夫斯基（Dostoyevsky，1821-1881俄国作家）的《罪与罚》中斯威追格罗夫（ ）对雷斯科尼科夫（Raskolnikov）说：
有机体的正常状态一旦被打破，人就开始认识到另一个世界的可能性……而如果那里只有蜘蛛，或者这一类型的东西会怎么样……我们总是把来生想象成为超越我们观念的某物，巨大的、巨大的某物！但为什么它必须是巨大的？不是所有的那些，如果它是一个小空间，象乡村里的一个浴室，又黑又脏并且到处都是蜘蛛，而那就是所有的来生，又会怎么样呢？
我想知道，你是否发现幽闭恐怖症比无边的旷野恐怖症更糟糕吗？数学家和物理学家赫尔曼·威尔（Herman Weyl）提出当自负消失时，坐标空间未标记的珊格依然存在——就是你在前面的章节看到的无限的、没有中心的空间，在移动的惯性参考坐标系中，我们在这个空间建造游泳池。在福特·麦道克斯·福特（Ford Madox Ford）的小说《好士兵》中是这样描绘这个空的空间图象的：
……在一个无边的旷野上，悬挂在半空中，我似乎看见三个人，其中两个紧紧抱在一起，而另一个却经受着难耐的孤独。也许我对这个判断的描述是一个黑白的蚀刻版画；只是我不能把一个蚀刻版画和一个摄影的复制品识别开来。而这个无边的原野就是上帝之手，伸出很远很远，在它的上下都是巨大的空间。
无论理解多少，无论理解好坏，所有不同地方的差别都是为了更好的表达意思。只有当它们分裂开，留下一个空白的背景或者没有背景的图形时，不存在才大量地涌来。意思表达需要插入上下文的内容，它反过来需要使两者分离的东西。好象在最近的这些离题讨论中，我们已经错将它的环内的空白看作零，或者将零作为环外围的空间。但这两者都不是零——零是环本身。
第四部分 有蜘蛛的浴室第34节 总是下午的地方
整个空无对这些人来说是压抑的现实，但他们至少安心其中，而消亡意味着这个压抑现实的终结。在多云的九月，他们带着一种满足阅读叔本华（Schopenhauer，1788-1860德国哲学家）的著作，还理解了在东方之神面孔上心照不宣的微笑：万物皆空。对他们来说，零至少不是负的。一个朋友告诉我，在贝克特（Beckett，1906-1989爱尔兰裔作家）写的书中，有一章节得出这样的总结，将万物的微小和相加，它至少比虚无更好。
“真的吗？”其他人惊奇地说：“比虚无更好？何以见得？”
不知何故，作为一个安慰，这种对虚无的渴望，听起来有点虚伪，因为它喜欢你不存在，却荒谬地假设你的存在。这样拙劣的想定成为许多人对涅盘误解的理由，而涅盘一直作为非人类的极乐世界。它部分地解释了斯温伯恩（Swinburne, 1837-1909英国诗人及批评家）响亮的声音。斯温伯恩用简短的感恩祈祷感谢上帝，无论如何没有生命可以长生不老了，而且最疲劳的河流经过迂回蜿蜒，也在某处安全入海。但是在音节中享受的感官上的快乐远胜于众人口舌之争，也许这是善意伪装下不同快乐的一种暗示。难道你不想和赫尔曼·梅尔维尔（Herman Melville）一道对所有黄色皮肤的部落说：“放弃吧”？然而，正如他又说的（有时候一个人喜欢临时替人照看这些可怜的家伙），“也感到不再可怕了；而且喜极而涕”。
甚至更可喜——当我们观察位于中心的零慢慢的从负到正改变它的符号时——是它静静不动：七十年代给予植物这样无意识的生命富有意味的赞许。然而它并不是我们渴望的完全无意识——不是从青春期痴呆到紧张性精神分裂症的变化——更确切地说，拥有象我们一样的智慧但是没有利用。一个地球外的游客会认为这是多么奇异的理想——但是我们自己知道：昏昏欲睡的日子、在海边的日子、喝完一壶酒的日子，一块面包和一本平装本的浪漫故事，一个人和那些吃了忘忧果后只做极乐的梦而忘却尘世的痛苦人在一个总是下午的地方。
它是多么美好呀，聆听潺潺的小溪，
似乎一直半闭着眼睛
在半梦半醒中入睡！
为什么同我们兴奋状态相对的反常状态竟然是美好的呢？过去的解释有时候仍然很合适：显而易见的安逸证实了我们的优越（即使观众只是我们自己）。如果将动机从物质上转移到精神上：潜力看起来总是大于现实的——也许是因为使用象它本身一样轻松伸缩的刻度来测量它的缘故。
迄今为止这些虚无的零很少显示为正的，这是因为它们表达的思想状态都是消极的。我们开始激活它的图象，你会发现零汇集了负荷。当然，当每个人获得了消除坏帐的权力，赎罪的仪式就将岁月的伦理薄记恢复到零。这最终继续的报应多么令人吃惊，仅仅通过宽恕邪恶，善良就可以被重新塑造。
一种被众人认识的不同类型的收获是将它们自己简化为零，贬抑它们的傲慢，消弱它们的体格，最后形同中世纪瘦弱的圣人。但即使这样的宗教仪式首先从深思后开始，例行仪式也会发展成为它自身的一个动力：一种抽象的感觉性提起无力的精神，而且投入的形式渐渐变得比阻碍它们的物质更现实。
羞怯、文雅、还有低级的痴迷混合在一起。福楼拜（Flaubert，1821-1880 , 法国小说家）在无情的细节中描述的那颗令人同情的心，那颗心在百万个充满生活纪念品的房间内跳动，而这种生活是为他人而生活。而且，如果你查询“虚无本身（Nothingness Itself）”，你会交叉引用到尊敬的神父：安东尼奥·马吉尔·耶稣(（Antonio Margil de Jesus），他是这样称呼自己的：拉·密斯玛·纳达（La Misma Nada）。他是三个世纪前美国西南的一个圣芳济各会（Franciscan，1209年由圣芳济各建立的一宗教行乞修道团——译者注）的传教士，他坚信永不放弃的任何事情都将抢走上帝荣耀。他称玛丽·拉·杜纳·纳达（Mary La Nada）为虚无太太。迁移后生活在美国的印第安人和认为零是死亡之神的那些人是一个祖先传下来的。
关于我们道德问题的细小变化，对于那些把谦虚作为超度得救策略的人来说，很容易和玛吉尔神父这样的人区别开来。我们总是卷进一个口头语中：“不象他那样圣洁”，这其中蕴涵的潜台词是：“……但是比你圣洁。”故事讲述的是：有两个富人在一个神殿内相互攀比，抗议他们的低微：“啊，上帝！”一个人说：“与你相比，我还不如一个沐浴在阳光中的蜘蛛网！”“但是我甚至比织网的小蜘蛛还要渺小！”另一个人声称。就在这时候，一个穷人走进来，几乎在丝光闪耀中眩晕。“上帝！”他欣喜若狂的大呼起来：“你们的杰作是多么辉煌呀！，哎呀，与你们相比，我比粘在蜘蛛网上的灰尘细粒还要渺小！”一个富人用肘轻推另外一个，悄悄耳语：“看，他正在宣称自己是什么也没有的零！”
攀登神圣之路是艰辛的，但不知何故，因为零象一个光环那样闪耀光芒，要达到它必须付出相当多的努力，这看起来并不容易。你既不是在事物沉寂之上蹒跚，也不是在平坦的道路上朝它前进，举例来说，象在道教中，或瑜珈派中那样：平静内心的欲望，抑制热情和绝望的情绪波动，使它们处于稳定状态；在这样的状态中，你可以再一次听到自然之音。图象和背景相互颠倒：不是零，而是所有喧闹声渐渐归于不存在，维吉尼亚·伍尔夫（Virginia Woolf）这样生动地描述的棉絮：
每一天都包含着比存在更多的不存在……善良……镶嵌在一种难以描述的棉絮中……一个人行走、吃饭、观察事物、处理必须做的一切；损坏的真空吸尘器；预定午餐；与梅布尔（Mabel）签署定单……那时作为一个小孩，我的岁月正象他们现在做的那样，包含很大比率的棉絮……在圣·艾夫斯（St Ives）家度过一周又一周，然而没有什么在我心中留下痕迹。我听说，必定存在一个意外而又猛烈的打击……于是我观看着门前傍边的花坛；“那就是全部”，我说。我欣赏一个枝叶茂盛的植物；而花儿本身是泥土的一部分，一个圆包围着所有的花，而且那全是真花；部分泥土，部分花儿；这个道理突然看起来很简单。
摆脱生活的棉絮——或者更迫切地，清除这个肮脏世界中无法逃避的混乱：当纯净再次闪耀在地平线上的时候，零的价值在增长。它有各种各样的表现形式。有些人通过洗脸来去除他们的罪过，因为在每一个糜烂的灵魂中，一个禁欲的心试图挣脱出来。另一些人清洗世界展示给他们的面孔，象心理分析学者雇来打扫他们房间的强迫症病人。
然而，对于一些人而言，宗教上的动机都会是美好的。在这里，少就是多的领悟已经在朴素艺术的中心得以公开。例如：迁徙鹤群的最后尾羽勾画出的一个白色日本屏风；在斯堪的纳维亚（Scandinavian）半岛上的白木和白雪的理想；简单的智慧；精炼的旁白。极简单抽象主义的艺术被朴素、暗讽、高雅的格雷斯神（Graces）主宰着，他还领导着哲学，要求他的学徒们净化自己的思想，便于更好地在思想中描述真理。数学家们喜欢将定理的巨大枝蔓简化为少量的基础法则，最后成为一套简明的公理：也是滤除实际意义后的一系列抽象的公式。然而，认为实际意思重要的人们和认可内容和上下关系相互定义的人们知道：当每一个条件被缩小到最小时，少量的条件会强化另外一个——它们之间根本毫无关系是由于把每一件事的每一个细微的存在都考虑进去造成的。
一个空的存在，最终一定会将上下关系汇聚到一个焦点：这就是那些不可见的零的理想。它们的动机各异：躲藏在盗贼的生活之中；在黑暗的笼罩下或躲在单向镜的后面实施真实的或想象的控制；间谍故意假装平凡，记者的偶然匿名。也许，所有这些当中最复杂的就是作家的敏感性：亨利·詹姆士（Henry James）称它为一种巨大的蜘蛛网，似乎看不到但是能捕捉到试图通过它的一切事物，并将空气的脉搏转换为生活的启示。
是不是对这种透明物的尝试似乎太做作、太吃力，恰好解释如何滑进无人的世界？他们听起来更象杰克·伦敦（Jack London）的没有修饰的故事“影子和闪光”中的朋友之间激烈竞争，他们试图通过使自己隐形的方法上战胜对方——一个通过吸收光线，另一个通过反射光线（最后，他们的出现必定暴露给对方）。也许尽你最大的努力使你的存在隐形，实际上的这么做总是意想不到的。爱默生正在勾画这个普通的寒冬黎明：
矗立在空旷的荒野中，——我的头脑充满愉快的气氛并飞进无限的宇宙空间，——所有的狂妄自大都化为乌有。我变成一个透明的眼球；我是虚无的零；我看到了一切；绝对存在的涌流在我体内循环不止；我是上帝的一部分或粒子。距离最近的朋友的名字变得无关和次要：兄弟、熟人，——主人或奴仆，此时，它们不过是无关紧要和多余的干扰。
在理解这段话时，无关紧要的干扰就是“我的”全部：如此反复重申一个自我是多么无私？很奇怪我们每一个人有规律地组成一个客观的角色。在一个课文中，“他（he）”和“她（she）”交互使用，阿里斯托芬的（Aristophanic）的“s/hes”使人联想到虚无的零和巴斯（Barthes）的“s/z”一样，“person（人）”表示地位高的“man（人）”，而“E”或“ha”作为阴阳人出现：我们是否应该说“多萝西·帕克(Dorothy Parker)”并利用它呢？因为她描述一个她已经去过的舞会，这里有七种性别：男性、女性、男同性恋者、女同性恋者、雌雄同体的人、无性的人——和她自己。在整个争吵中，真正的失败者很显然就是零，它——假设它能说话——会比任何人用更大声音抗议这个通常被称为“一”的不真实的自我。
然而，这些不规则的和直接滑行的方式趋向零，由几千年的进化文明完成，与我们每天从事的不费力气的愉快事情相比，它们是什么呢？我指的是阅读的快乐，沉醉其中的人发现自己成为另一个人，又另一个人，又另一个人，或者赛过空中飞翔的天使。这种提高就是看不见的作者献给匿名读者的东西，没有他们，所有看不见的动作都是失败的。有一次在宴会上，亨利·詹姆士回答那些崇拜他的邻居提出的关于他的小说的问题，然后惊异地转向那个邻居说：“如果它可能是——那它就肯定是，”他说，“你是无实体的灵魂的体现，几代小说家已经这么徒劳地祈祷，存在依然是难懂的和不可避免的。简而言之，文雅的读者？我经常想知道你将以什么样的装束出现……”
当零改变了它的情感象征时，我们已经从虚无的谷底走到颠峰，从绝望走到欢乐。但是能把零想象为有无限价值的，不是来自上帝创造世界的那个零，而是神性自身？所有事物都可以在复杂的思想中找到，而且比在同样起伏的阿尔卑斯山（Alps）更容易找到一个思想吗？19世纪前10年的中期，洛伦茨·欧肯（Lorenz Oken）在羞辱中从本土德国流亡，在外面度过了他生命的最后岁月。他从几个最初的法则，通过纯粹的逻辑推理，推导出了整个生理学、动物学、生物学、心理学和地质学，而且我希望，当他的朋友、导师和祖国抛弃他时，这些理论能够在苏黎世支持他。
我看到他浑身缠满纱布，艰难地沿着巴诺夫斯特瑞斯（Bahnhofstrasse）行走，他的头顶笼罩着微弱的幻想和思索的蒸汽。在这里，总结为一句话：“零是基本和永恒的作用，不断地假定它自己。”他停顿一下——这是什么？哈，一个同路的人，出卖了威斯利（ ）。“因此，上帝就是零，而且零是有无限的力量。”一阵痉挛，瞬间的皱眉——他继续缓慢地移动脚步，而后在一个石狮前突然停止：“但是人是算术全部，是整个数学！因此生活……”他犹豫了一下，悄无声息地向前走——“生活……”——在瑞士他领会了生活：“生活只是一个数学问题——它不断地向上追溯，最后直到人类！上帝是有无限力量的，但是人类是无限延伸的！每个事物都是从海胶（sea-mucus）中创造出来的，因为爱是从泡沫中出现的。负数始终通过黏液向下变得更负，而正数始终向上变得更正，通过零传给人类！”
他转了一圈，而他的思想也转了一圈：“它是如何……”来到街道边，爬上极其干净的城市：“因为人类是完全验证过的上帝！人类是能意识到自己就是上帝！” 对我们来说，这个思维转折的太快，我们无法理解。我们看到他逐渐向上，身影越来越小，又听到一个微弱的回音：“上帝=＋0－，人类=＋∞0－∞……”
正零有一个最后的变化，以其特性，它甚至比欧肯描述的零更加奇特：因为这个零总是存在于正在进行的时间的起点。它就是美国人的零。偶尔，你可以在我们的旅行小说中看见它：“噢，看，”坐在车厢内亨伯特（Humbert）旁边的罗丽塔(Lolita)说，“所有的九正在变成下一个一千。”从仍然用思想唤醒自己的人们那里，你也许听说过它：今天是我剩余生命的第一天。它就是用分界线定义的一个社会中的零：“因为连续周期性的冰碛(由冰川携带并最后沉积下来的石砾、石块及其他碎石的堆积——译者注)是由连续的冰川作用造成的，因此每个分界线留有各自的痕迹。”这是弗雷德里克·杰克逊·特纳（Frederick Jackson Turner）在1893年写的。他列举的分界线的痕迹包括粒度和浓度、丰富的想象、创造力、自私自利和个人主义、过分热衷特权和对教育缺乏热爱；这当然包括冰碛的分界线痕迹和社会分界线痕迹。当然，我们从来没有向历史学习，因为我们每一个人都知道，象托马斯·沃尔夫（Thomas Wolfe）的《天使望故乡》（Look Homeward,Angel）中的英雄一样，我们选择的辉煌是“由历史上的先锋创造的”。
特纳哀叹一百年前关闭分界线——但是它永远没有关闭。这不是边界线已经在空间或社会或技术上展开，而是我们都依靠移动的分界线而生活。我们象杰斐逊（Jefferson）那样矗立在我们帕拉第奥（Palladian，一种建筑风格）型的窗口前，眺望窗外的荒野。轮转的岁月与我们格格不入，从过去就开始的线性时光在将来会激起我们爱争吵的本性。
“美国是零的产地，”哲学家约瑟夫·尼德曼（Joseph Needleman）在肯·伯恩斯（Ken Burns）主持的的关于震颤派教徒（1747年起源于英格兰的基督教组织中的成员，过着公社式的生活并信奉独身）的电视节目中说：“从零开始，我们从虚无开始。这就是美国的观念。我们仅仅从我们的动机、我们的渴望、我们的探索开始。”而兰波（Rimbaud，1854-1891法国诗人）——尽管他是法国人——给我们的格言是：“总是渴望到达，你就能去所有地方。”
第四部分 有蜘蛛的浴室第35节 李尔王是正确的吗？(1)
我们已经渐渐在数学、物理和心理领域熟识了零。它一直都是难以捉摸的，深究其根源就会追溯到作为它的根基的逻辑学上。由于大量的精力从事于研究零，大量的精力又由于它的存在而被节省，我们会领会零，独一无二的零。并且会问：它能单独创造所有事物吗？在莎士比亚的《李尔王》（King Lear）中，当李尔王的女儿克黛利娅（Cordelia）拒绝参加她姐妹们的计划对父亲进行奉承活动时，李尔王对她说：“零将来源于零（nothing will come of nothing）”，然而事实上，剧情的展开就是从她的零上的。
当然了，当0和1联系起来时，我们就会得到所有的数字世界。所有计算器、计算机、电话、电视以及电子设备的运行都是基于以断断续续重新排列的二进制代码0和1来完成的。这种代码是由纳皮尔（Napier）以灵敏的头脑在1616年偶然间发现的，它是很简单的：用0和1来代替原来的10个不同字符，这也充分说明了位置符号系统的重要性。所以0和1后面的数字2可以表示为10（并不同于十，因为它是二进制表示法，叫做“1－0”）；3就是11，4就是100等等。
十进制符号 二进制符号
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
等等
可以这么来理解：在数值构建上苏美尔人基于60的幂，马雅人基于20（左右）的幂上，我们基于10的幂上，但是二进制却是基于2的幂上构建的。举个例子17＝16＋1，二进制表示为10001；即一个24加一个20，没有23、22、21
10001
↑↑↑↑↑
位置：2423222120
如果把1代表所有的物质，那么你所看到的是世界上所有的数字都是由1与0连接起来所创造的：形而上学者的梦想实现了。通过1和0还可以得到负数、分数和所有的实数：例如－13是－1101， 是.01。
0和1既能表示所有正分数又能表示所有正整数，但是它是具有完全不同的非常深奥的规则。它的合理程度展示出在数学大厦中有多么大的空间和我们可以多么灵活的运用它们。在１９世纪，为我们打开通往无限空间之门的数学家乔治·康托尔（George Cantor）这么说道“数学是自由王国”。
离心率从最基本的运动开始。我们研究的领域仅是一条直线，而所有的正数都会一个接一个的在这条直线上出现。通过其两个端点建立并不属于研究领域的两个目标标志。在左端的标志是 ：如果你用它来替代０，这是一个非常容易理解的符号，应为０排列在正数之前。但是不要把 当作０的替代物：不要拿它来替代任何事物，仅仅只作为一个标志：它是一个符号，在运算中这两个数字遵循着独特的规则。
我谨慎的措词是有意要你为理解右边的标志作些准备，它就是 。在以往经历中我们一致认为０不能作为除数，在这里我们也依然不能这么做的。数学是自由王国，为了进行以后的计算我们选择也必须选择这么做，因为你不久就会明白我们在这条直线右端建立这个没有意义的表达式的原因了。
那么现在我们就开始从两端 和 来产生所有的正整数和正分数。计算规则很简单：将二者的分子相加作为分子，分母相加作为分母，那么第一个数字产生了 ，我们将其适当地放在这个区域的正中间。
用同样的方法计算接下来的两个数字：将左边两个数字的分子相加作为新的分子，分母相加作为新的分母，从左到右依次计算，我们就会在左边中部得到 （ ）和右中部的第三个数字 （ ）
以这种奇异的方式我们计算出了起先的三个正数： ， 和 。
你开始明白为什么我们选择这两个记号的原因了吧。如果我们要保持一直为正数，我们又需要用这种方法在某处得到 ，且分子分母都要是其他两个数字之和，那么留给我们的选择就只有１和０、０和１了，这样立刻就会产生 了。
现在我们仍然遵循我们的简单法则继续第三步数字的派生，从左到右计算产生这些新的数字分别为： （也就是 ）， ， 和 ，如下所示：
第四步就会在上步产生的八个间距的中间派生出新的八个数字，从左到右依次为：
， ， ， ， ， ， ，
只要你继续进行下去，从左边开始一直计算到右边，加与其相邻的分子作为新的分子，加邻接的分母作为新的分母，那么你就会在左半部分得到所有小于１的正分数，在右半部分得到所有大于１的正分数。在这个非凡的不断重复的计算中，仅仅使用了１和０就产生了每一个正有理数。为了使你信服这个结果你可以检验 应当是在我们的列表中的第十三个有理数，那么 会在什么时间出现那？
我们在计算中所揭示的数据列表是由越来越多的分数紧密填充的，以其发明者的名字命名为“费瑞序列(Farey Sequences)”。但是这里又一次的显示出——就像洛必达数学家——数学的历史并不象数学本身那么精确。约翰·费瑞（John Farey）是英国的地质学家，他在1816年发表了一篇关于这个排列次序法则的短文，可能超出其能力的原因，并没有给出证明。然而也不排除这可能是他对亨利·古德维恩（Henry Goodwyn）在1818私下传播的一本书进行了抄袭。亨利·古德维恩在那本书里已经给出了这个法则和证明。那我们从今以后应当叫它“古德维恩序列”？不是的：在此14年前就曾这个序列就出现在一个叫赫罗斯（Haros）的法国人的论文里，现在已经失传了。在沉思历史中，克莱奥（Clio）获得了具有讽刺意味的报偿，即她注意到在《国家传记辞典》里，费瑞是由于写的关于木料测定法和德贝郡（Derbyshire）山峰的高度的论文才被简要的记录下来，而没有提到是由他单独提出的以他的名字命名的序列。
无论谁是发明者，这个序列都有些令人难以置信的意味。你可能会认为极小的正分数不会出现(你可以一直都处于任意候选者与0之间的半途中)，因为没有开始位置就意味着不能算出它们。再加上在任何两个数之间又有密集的分数，那么我们去推论说有大量的分数没有计算出来似乎就是合情合理的了。然而我们已经计算出的这个序列展示了这些数字连接了所有的数字，它们的确都能被计算出来： 是第一个， 是第二个， 是第三个等等，依次进入我们的列表。我们使这些数字与将要计算的数字协调搭配的方式可能是奇异的，但是它达到了目的：尽管计算出的数字看起来似乎远少于有理数的范围，但二者确实一样多。它的非凡的理性使通常的判断力失调。而正是这种令人惊奇的结果引导先驱们去数字的自由王国里研究开发，也正是这种令人惊奇的结果使所有花费在数学上的努力都变得值得。客观世界和头脑都是神秘的，但是它们的神秘是可理解的。
从0和1出发我们已经得到所有的有理数并且获得一个极好的见识。但是问题仍然遗留下来，就是我们能够仅用0得到所有的有理数吗？如果我们能够用0产生1，那么就可以用像上面一样的简单过程来完成它。这是那些修道士的梦想，在12世纪有一个修道士写了塞勒姆规则（Salem Codex），他这么写道：
每一个数字都起源于1，转过来这个1又来自0，这里面存在着一个巨大的和神圣的秘密，他从虚无的零中创造了一切，保存着它，并控制着它：omnia ex nibilo creat, conservat et gubernat。
（现在，停下来一分钟，就像吉米·斯图尔特（Jimmy Stewart）说过的。你还记得住在英格兰巴思小镇的艾德拉德先生——大概也是12世纪——有一个学生叫做N.欧克瑞特（N. O'Creat）。但是，我们这里是在用一个精心制作的中世纪的玩笑来代替处理我们的一个意义深刻的双关语吗：男巫师虚无不存在的徒弟克瑞特（nihilo creat）变成了N. 欧克瑞特（N. O'Creat）？纳伯科夫的精神活跃在艾德拉德所住的小镇巴思吗？）
尽快使你自己远离上面插话所展示的场景吧，回到至今更加吸引人的验证1来源于0的前景中。因为用少许的计巧，不需要上帝仅我们人类就能做到它。
第四部分 有蜘蛛的浴室第36节 李尔王是正确的吗？(2)
需要少许简单的预备知识。第一，如果你将数字n乘以某个数后期望其结果仍为n，那么这个数应该是众所周知的乘法单位1。第二，一个集合（称为S）仅仅是物的积聚，将其划分为两个子集，称为A和B。所以无论最初在S集合里是什么，最终都将以A或者B结束。最后，空集中无任何事物，它是任意集合的子集。（如果盒子里有十个弹球，放入一个隔离物以便于将所有弹球分割于其右边，那么你已经划分出了这个盒子的两个子集：左首的是空集，右首包括所有弹球）。现在我们可以开始了。
盒子中没有分开的筹码盒子中被分开的筹码
