这个能产生奇迹的符号在他传到印度的时候能被压缩为一个单个的符号ɑ吗？
研究数学历史的历史学家卡尔•朗•科恩伯格（Karl Lang-Kirnberg）在这方面作了大量的工作，他把发明零的桂冠从印度人、希腊人甚至巴比伦人那里拿走，给了公元前3000年的苏美尔人。你还记得，在他们开始用铁笔尖写字以前，苏美尔人用芦苇在湿粘土上做记号——他们表示10的符号是用芦苇一点也不倾斜的印出符号：О。通过使用一些技巧朗•科恩伯格让我们随着他继续向前，这个符号使放在它左边的数字增大10倍，这时它就变成代表0了。他肯定地说：“如果本身没有代表10的含义，О不能使一个数字乘以10。”但是零的这个来源在过去的几千年一直藏在了哪里呢？又为什么隐藏了几千年呢？或者为什么它能选择它该出现的地点和时间出现呢？——在这一点，朗•科恩伯小心谨慎的保持着沉默。
你是否开始感觉到世界上每一个小的社会都可能是零的发源地？你是否开始小心地认为，在梵文中表示省略的单词和音节的符号理所当然的是一个小的 º？在鞑靼人（Tartars, 鞑靼人,在中世纪入侵西亚和东欧并居住于中亚的突厥和蒙古部落的成员）的文章中多余的部分用椭圆圈掉，这也是零的起源吗？或者，公元1150年，印度的一个数学家为了区别两个数字中被减掉的一个数，在它的上面画一个小园来做标记，这也能称为零的起源吗？这个圆圈被扩展并用到了其它的各各地方？
或者你是否已经得出这样的结论，原本我们就没有很多的可以很容易的书写和发音的符号，但是有很多伟大的想法和工作需要符号，我们应该能够很幸运的通过上下文来来帮助我们数数和计算，我们应该能分辨出来这个符号到底是该读作度数、单子（monad）、70米瑞亚德、减去的数、奥卜尔、多余的单词、省略的单词、小石块或者拿走小石块后、70或者1或者20或者10或者根本什么也没有。区别这些可是困难的。
从历史现象本身出发，关于零的起源的推测大量的涌现。我们试图从现在保留极少的遥远的过去的档案中重新找到那时发生的事情。当时的线索是很少的，但是我们的思维有创造性，我们抓住任何一个可以照亮黑暗的火花，让我们来创造性的想像当时发生的事情。你希望下一个证据或者推测不再是增加关于零的起源的那个列表的长度，而是开始去寻找它们之间的联系。再次听一下塞佛留斯•斯堡胡特主教的话，你的愿望就将实现。
他说，印度人有计算的方法，这种方法超过了单纯的描述。你是否想知道为什么有那么多符号和单词混杂在一起还有那么多的同义词，其实我也很想知道。答案是他们并不用这些单词计算，而是像希腊人一样使用一个计算板来计算，所有的这些文字系统仅仅是为了保存结果。关于他们的计算板，我们知道些什么？一些令人惊奇的东西是：在计算板上有一薄层细沙覆盖着！事实上，常说的“更高一点的计算”是“沙粒的工作”，铺上一层沙粒，看起来更高一点。因此，我们寻找的支持我们关于О的猜想的证据，是来自于印度的灰尘或者沙粒上拿走圆形筹码后留下的压痕。
第二部分 灰尘第11节 灰尘
但是为什么印度人要在他们的计算板上撒上沙粒呢？我认为似乎最合理的解释是用沙粒作为一个存储器：在你计算结束以后依然可以看到你计算时用的数字痕迹，这样你还可以核对结果。举个例子，如果没有沙粒，在一个计算板上计算47减去34看起来就是这样：
计算前计算后
想改正一个匆忙造成的错误，你几乎没有任何办法。但是如果下面有沙粒，你将会看到这样的结果：
计算前计算后
计算板的起源可能是在沙滩上的垄沟里面，后者是偶尔的当场计算，当计算板被固定在木头或者岩石中时，传统使沙粒留了下来。
如果事情真的是这样，这个推测应该有一些小的伴随结果。为了计算，垄沟被手或者小鹅卵石抹来抹去，很快就变得模糊不清了，这可能是一个足够的理由来使人们思考一个方法，在计算的时候你书写一个可以擦掉的数字而不打乱这一列，这样就有了一个通向位置符号的通路。因为我们回到古代是想知道塞壬唱的是什么歌，让我们再加上一些吉尔伯特（Gerbert）的尖体（apices）作为证据也没有什么不可。为计算板准备的筹码是用牛角制作的，是修道士吉尔伯特在大约公元967年设计发明的——这个时间在他成为西尔威斯特（Sylvester）II世主教以前。他们的名字是拉丁文的顶点（apex）的意思，好像这些筹码是圆锥体的尖端——也许是来自早期堆砌起来的筹码的形状的变异。它们特别的地方是每一个尖体上面都刻有一个不同的数字，因此当你表达上面的47时，你仅仅需要按下
由于他用的数字是西方阿拉伯数字，在这个数字系统中，2、3和7被写成这样 和 ，看到我们的数字2、3和7和旋转后的吉尔伯特尖体很相似，这是令人高兴的事： 变成 ， 变成 ， 变成 。他带给了我们这样推测的灵感，这些尖体是使用单个筹码表示数字和书写数字的中间过渡阶段。当然，我们将不得不肯定地说，吉尔伯特仅仅是重新发现了这种方法，因为，这个这种做法在他很久以前就已经出现过。
这个推测的最后一个伴随结果就是：吉尔伯特——或者他的弟子们——有一个表示零符号的尖体，写得像这个样子： 。他说，他的名字是桃花心木（sipos）。也许这是希腊单词中表示鹅卵石的一个错误单词，应该是 ，psephos？如果是这样，又一次展示了这些筹码表示位置和零时的相近关系和混乱性，筹码的缺少就是表示零——就像阿亚亥塔的“kha”。这也可以解释为什么吉尔伯特受到和邪恶精神交流的犯罪指控，本来涉及数学已经是足够的糟糕了，他还让虚无的状态存在于那个文明所不允许的领域。
撒满沙粒的印度计算板的影响再暗光中飞驰。西塞罗（Cicero）说到的博学的灰尘是指那些数学家在它上面画图表的沙粒——但是那并没使他们的表面成为一个计算板；因此当他轻蔑的说：“你从来没有了解过数学，”numquam eruditum illum pulverem attigistis（字面意思是，从来没有接触过博学的灰尘），他这么说很可能是因为你不了解几何数字或者那些在第二章出现的三角形或多边形数字。瑞米吉尔斯（Remigius）在公元900年这样描述计算板，计算板上面铺上了绿色的和蓝色的沙粒，这让人听起来很想拥有一个这样的计算板，——但是，由于他说上面的数字是用一个带尖的棍子画上去的，这样的计算板应该还属于传统的计算板，也曾出现过用蜡状物做的计算板，霍勒斯（Horace，罗马人公元前65-公元前8年——译者注。）曾经使用这样的计算板挂在他的手臂上给村里面的孩子大声的上课。但是，罗马计算板上用的计算筹码（或者说算珠，小鹅卵石）是整齐的串成一串一串的，也被撒上沙粒。希腊人称计算板为“算盘”，“abacus”， （abax），这可能不是来自“无腿的工作台（legless table）”而是来自闪米特人（Semitic，闪族人，指古代的犹太人、阿拉伯人、巴比伦人和亚述人——译者注。）的“灰尘”。
希腊人用中空的圆来表示零，最大的可能是来自覆盖了沙粒的计算板上拿走计算用的小石头后留下的痕迹。如果有单词来表达“可能(possible)”和“很可能(probable)”之间的微小差别，我们可选的一个单词应该是这些其中的一个：将要（would），应该(should)，可能(could)。如果没有这些单词，就让我们永远也不要去推测古人的事情，以免发现我们自己有教古人该怎么说话的嫌疑，就像一些匿名的学者在公元11世纪对波伊提乌（Boethius，罗马哲学家，被误判叛国罪处死。在狱中写成以柏拉图思想为理论依据的名著《哲学的慰藉》(Consolation of Philosophy)——译者注）做的一样。为什么不谈到公元五世纪罗马人关于几何学的一本大百科全书似的专著呢，作者自己一定做了很深的思考，包括数字0到9通过阿拉伯人很快传到了印度；如果我们同意这样一个陈述，事实上计算板是毕达哥拉斯的工作台，用毕达哥拉斯来修饰——以至于后来的读者将会把深奥的传统和神秘的流言与那个在狱中写下了《哲学的慰籍》的权威人士联系在一块，然后就可以推论出来，毕达哥拉斯是从东方漫游后回希腊的时候带回了计算板。到此为止，我们希望发生的事情已经证明为真实发生了的事情的一部分。
我们弄清楚了上面的灰尘却使另外的灰尘显露出来。西班牙摩尔（Moorish）文化中(公元950年)，有一种数字，阿拉伯人称他们为“灰尘数字（带点的数字）”。这些数字是什么呢？他们起源于那里呢？为什么会有这么奇特的名字？他们是1到9的数字，没有0，人们认为他们的名字来自印度的满是灰尘的计算板，被一些商人而不是学者在旅行返回时带到了他们那里。和我们的故事有关的（好像半路里突然出现了一个神秘的不可信的新鲜事物）是这些灰尘数字使他们自己有某种奇特的灰尘点在他们周围，一串圆点表示他的位置值。如果数字上面没有圆点就表示这个数字代表个位；数字上面1个点代表10位，2个点代表百位，等等以此类推；因此（用我们现在的数字系统表达这种方法，而不用他们的数字系统来表达。） 就表示8030，而 就表示8 003。
这些实心的圆点几乎扮演了零作为位置符号的功能：这个实心圆点是中空圆圈的压缩吗？或者，这个实心圆点是零的一个完整起源的踪迹，这个完整起源的“家族财富”就是我们一直寻找的零的真正起源吗？这个实心圆点就是那个“懒汉叔叔”，突然出来宣称自己对“财富”拥有所有权？因为，如果我们在大脑中想像这些圆点，我们将会发现这些圆点无处不在：扮演零的角色，以某种方式作为无效的、丢失的、缺少的、模糊的和不可见的标记。
研究历史的一个似是而非的方法就是我们通过看现在或者将来的东西来了解过去的东西：看到现在分散的结果来推测发生这样结果的原因，看到子孙后代中相似的地方我们就应该知道祖先应该有的特点。因此，让我们跟随这些从一些作品中发现的实心圆点，跨越巨大的时空，关注数学方面的问题，来看看这些实心圆点是否可以带领我们进入这个问题的重要部分。
当发音（音标）从希腊语、拉丁语、梵语和其它语言中分离出来的时候，至少在公元前1世纪的时候，他们已经变成了可区别的符号了：鼻音、Gs和Hs失去了他们的共同特性，不再发音，它们大部分以圆点、某种形式的笔划或者曲线的形式出现在其它的字母上——某个语言学家说，字母零表示什么也没有，因此能够很好的作为一个标记来修饰字母使发音更强。零的这种听力上的角色转换成了数字中的数值零了吗？在希伯来语中，当元音字母出现的时候，它们往往就是扮演这种角色，像实心圆点一样被标记在其它字母的上边或者下边，其作用可以帮助初学者或者防止模棱两可的情况出现（或者，当这些元音字母缺省，不再被标在字母的上边或者下边，也是一种解释形式，这时的发音明显不同，表达了不同的意思。）在这种“点彩派画家”氛围下，前辈们带“灰尘”的数字出现了。
在这些修饰性符号中，实心圆点是用的比较少的和神秘的，在圣经旧约的前五卷和希伯莱圣经三个部的第二部中总共只使用了15次，大部分是在单词或者字母的上面，偶尔出现在下面。进一步的证据是进入公元2世纪后，但是，它们表示的东西充满了学术上的争论。这些修饰性符号破坏单词的意义了吗？评论家拉什（Rashi）说了这样一个例子，这些圆点可能倾向于表示那些没有写完全的单词。要么给它赋值为零，要么就把它从计算板上拿走。另外一类点可能表示的是生和死不同，这是因为它是一个写在安息日（Sabbath 安息日犹太教徒和一些基督教派认为星期六为休息和拜神的日子即安息日。）大写字母上的点。但是，如果我们使用一个单一的字母来缩略一个单词，事情会怎么样？观点有分歧，这样做会不会导致犯错误呢？如果这样做，那我们如何知道一个单一的字母表示缩略单词的意思呢？拉什做了这样的评论，一个圆点可能用来区分一个普通的字母和单词的缩略字母，这是一个简单可行的方法，而不用花费太多。
但我们再来看印度那时期的文章的时候，我们发现一个小点是代表一个誓言——完成一项艰巨任务的誓言，但是，有时在题词或着手稿中也代表一个空缺（想一下，如果我们留给读者三个小点（英语中的省略号）来代表我们完整的明显的思想，差不多是表达这样一个意思：用单词来表达这个思想实在太难了，但是你知道我想要表达的是什么。）在梵文中，当零（这里应该叫做kha）代表鼻音n时，它常常传递着神秘的信息，表示可以和湿婆(Siva，印度三大神中司破坏之神——译者注。)取得联系。
给了表示零的点在语音上、句法上和语义上的意义，我们是否可以从阿拉伯的灰尘数字中找到一些线索，这些线索有关于印度数学上的零（实心圆点）？更详尽的这方面的知识在《列表的书》（The Book of Lists， ）中可以看到，这本书是公元987年艾本•阿比亚•丘布拉•南蒂姆•（ ）编纂的。他独自一人描述说，印度人也使用相同的方法来表示数字，只是他们把点画在下面（一个点表示10，等等依此类推），这些把点画在下面的数字是早于和不同于阿拉伯的数字的。如果这些点（写在上面或者下面的）早于中空的圆圈，他们可能无法解释，为什么它的书写大小总是其它数字的一半？或者它的这个细微的区别是否也证明零的符号（像一个点）同字母和数字都不是一个级别的？它仅仅担当起了一个修饰者和分隔者的角色，就像我们现在所用的冒号、逗号和分号的作用。如果你想获得印度人在圆点和中空的圆圈之间的更多的信息，你可以去看卜哈斯卡瑞（ ）的关于圆圈的使用，在1150年，它把一个小圆圈放在一个数字的上面表示这个数字将要被减去：在比他早5个世纪的卜日马古普塔的书中，这个小圆圈是一个小圆点。当然对卜哈斯卡瑞，他既使用小圆圈又使用小圆点，这两个符号舒服的在一起使用：正如他的一个评论家所写的那样，“……位置，当9个数字中的任何一个数字都不表示位置的时候，位置就用一个空白来代替，为了避免错误，这个空白就用一个小圆点或者小圆圈来标明。”
然而，重要的问题是：把圆点作为零的历史有多久？在你试图回答这个问题以前，这个问题看起来似乎很简单，但事实并非如此。在阿拉伯文中提及的印度的这方面问题总是被这样一个事实影响着，那就是在阿拉伯文化中零一直被写做一个圆点，因为，对于阿拉伯人，他们把中空的圆圈用来表示5（在他们的数字列表中没有符号“0”）。在1881年印度西北边境线上的巴卡沙里（ ），一个农名挖出了很多白桦树皮，在这些树皮上面写满了算术符号，不过很遗憾被烧毁了很多。在这些树皮上用圆点表示零的地方很多——这里我们也称作空白——但是，它们属于哪个年代呢？人们曾经认为它的年代应该是公元三世纪，甚至有可能是公元二世纪，但是这些推论是基于刻上去的算术符号比白桦树皮分解的快得多，当前比较流行的观点是在这些白桦树皮中的符号零是出现在公元七世纪。
出现在大约公元620年一本著名的书中（ ），你可能会找到更好的证据和吸引人的想象。在这本书中，作者这么说到，天空中圆点似的星星就像是一个个的零，因为这些闪亮的星星代表着一个无效的生命轮回（流星代表着成功的生命轮回），上帝在蔚蓝的天空中用月亮的光线作标记来数这些星星的总数。把时间回退一个世纪，你是否还记得瓦哈米黑瑞和他表示零的同义词？在他的同义词中，其实还有一个词叫做“点”（bindu，虽然它仅仅是用名字，没有符号）——这看起来好像是我们所能确定为正确事实的最早时间了。在这以前几乎没有历史性的事件出现，在我们看来是混乱的神秘状态。
几乎没有？但并不完全。公元270年，一个名叫斯非吉瓦加（Sphujidhvaja）的人写了一篇文章《希腊人的占星术》（ ，The Horoscopy of the Greeks）,这本书是翻译公元150年的一个梵文散文。在这之后希腊人的原创几乎当然是从亚历山大大帝才有。在1978年复原的这本书的一段中，我们发现60被提到了两次：第一次是 ，第二次是 ，这两个单词表示的意思也就是“6和0”，即60。你可以看到，表示零的单词，第一次使用的是“bindu”(点)，第二次使用的是“kha”。公元150年是希腊天文学家托勒密《天文学大成》(Almagest,公元二世纪时托勒密作的天文学数学名著)的出现时间。在这个时间（梭仑（Solon）和波利比奥斯（Polybius古希腊历史学家）也曾这么说过），出现在粘土上的记载文字——一个小球或者珠子——在不同的位置代表不同的值。有更好的证据来证明表示中空圆圈的“kha”和表示实心圆点的“bindu”是从希腊传到印度的吗？
第二部分 灰尘第12节 表示未知数(1)
现在看起来，所有的东西都很清楚，似乎想当然的是这个样子……其实，当你想想，我们是在用一些细线似的证据来架起一座证明一个很大的问题的桥梁，这就好像使用一个钢丝绳来拉住尼亚加拉河(在加拿大和美国间)瀑布不让他往下流，然后把这个钢丝绳再用一根细线连接到一个飞过它的风筝尾部上，所以，我们的证明是那么的脆弱。我们能否架起一条牢固巨大的快车道呢？斯非吉瓦加的那篇文章一经复原，那个句子中表示零的单词就成了问题的核心。一个学者这样认为，表示圆圈的“kha”和表示圆点的“bindu”的出现是相互作用的结果，一个的出现相应的就会引出另一个的出现。
达芬奇（da Vinci）在老年的时候，一遍又一遍的在帆布上潦草的书写：“告诉我是不是任何东西都是完美的？”，我们也要像他那样在我们的帆布上乱写吗？我们应该把问题减小到同几个点一样简单吗？不：再一次被否定。“bindu”毕竟意味着一种突破，也意味着“发展过程中的一次突变，就像滴入水中的一滴油滴，慢慢的扩大它的地盘。”这样我们对这件事的理解就有了这样的发展：这些能告诉我们一些问题的东西——不管是否是印度人首先提出了用圆圈或者圆点来表示零——更重要的问题是，当他们拥有零的时候，面对零他们是如何思考的。非常明显，对于他们，这个圆点不仅仅用来表示零，还用来表示未知的东西，我们现在用x来表示未知的东西。因此在巴卡沙里的手稿中，一个问题我们可以这样理解：“当27/8和32相乘时结果是多少，”或者表示为：
（因此，x=108），他们在书写的时候就是这样的方式了：
（在点下面的1表示一个未知的数）。
这可能并没有使你感觉到这个表示未知的符号有什么用，因为这个问题太简单了：这个问题也就是 是多少呢？但是在巴卡沙里手稿中的另外一个数学问题就会使你重新进入学生时代那熟悉的困境当中：
B是A的2倍，C是B的3倍，D是C的4倍。这四个数在一起是132。那么A 是多少呢？
这个手稿中解决这个问题的方法是很聪明的：
用1来表示这个未知的数。那么就有A=1，B=2，C=6和D=24。它们在一起的和是33。132被33除，答案是4，这也就是A的实际的值。
（我们现在的解法可以这么来算：用x代表A，那么B是2x，C是6x和D是24x。因此x+2x+6x+24x=132，或者32x=132。因此x= =4。）
我们不能讲清楚使用这个圆点来表示未知的数有多么的早。卜日马古普塔在公元630年称它的变量为“ ”，缩写为“ya”(当他需要使用更多的变量时，就像我们用x，y和z来表示多个变量一样，他使用颜色来表示多个变量：黑（black），蓝（blue），黄（yellow），白（white），红（red），缩写为：ca，ni，pi，pa，lo)。但是当一个印度数学家（通过一个传奇故事了解到）认为把“没有东西（noting）”和“某物（something）”都叫做“空的（ ）”毫无问题的时候，一个时代来临了，这个用法也固定了下来。这是怎么回事呢？美国的逻辑学家威拉德•奥曼•奎恩（Willard van Orman Quine）这样指出“没有东西”和“某物”都是虚指的存在，从语法上看是一个名词而从逻辑上看不是名词。他这样写道，名词命名事物，举个例子来说，一个东西不可能既是红色又不是红色。但是，如果我们说“某物是红色的”和“某物不是红色的”，这又都是正确的（奎恩讲这样一个故事，当一个钢琴家为自己演奏莫扎特的作品敲错了一个音符而道歉的时候，奎恩认为他仅仅是演奏了一个其它更好的作品）。
什么东西可以在这一秒的时候是“没有东西”而下一秒的时候就是“某物”，又在代替任何事物的时候出现？这听起来好像是在一个晚会上，为了减轻某一个人的忧虑说出来的一个答案具有双关意义的密语，但是，事实上这是令印度人感到迷惑的“空的（ ）”。这个问题的答案是我们一直在用“空白（void）”或者“空的（empty）”来错误的翻译“ ”这个词。在印度教徒的眼中没有绝对的空白或者虚无状态。和我们现在的物质守恒定律具有同样的思想，物质不能消失，仅仅能改变它们存在的状态和性质：物质充满着整个宇宙，相对于“绝对元素”，它既不能增加也不能减少，“绝对元素”和佛教中的“绝对存在”是扮演着同样的角色。
或者这么理解：它好像是藏在外表后面，有一种东西，它没有特性，但是却呈现出和它的环境相似的性质，可以让我们来解释它，就好像是龙涎香(一种脂肪物质,用以制香料，加入香水中以减缓挥发速度——译者注)保留着香水的气味，给我们散发出香水味。“ ”不是十分的空白，作为一个容受性很强的东西，就像是一个中空的子宫，准备好了去膨胀。它的伙伴“kha”来自动词“去挖（to dig）”,因此这个词含有“洞”的含义：一些东西将用来填满它。
在计算板上零是这样的：存在着一列，但是这一列上没有一个计算筹码。这时零作为一个位置占有者的符号，本身不代表任何大小的数值，但是它的存在却给其它的数字赋了数值。这些同样的性质是变量也有的，未知的数字：在不同的方程式中就可以代表不同的数值。在不同的地方背景的改变就会使筹码的值改变，它的周围数字个数的多少就会使他隐含的值表现出来。因此有人在布瑞斯（Bris）的典礼上为以利亚（Elijah,旧约全书中记载的最伟大的一位先知，他寻求废除偶像崇拜并重建公平。据圣经所述，他并没有死而是乘着燃火的马车上了天——译者注）准备了一个空位。当他再来的时候，他可能以一个乞丐的身份来，也可能来宣布世界末日。就像挤牛奶女工哼唱的歌曲中提到的克利须那（Krishna，黑天毗湿奴的第八个和主要的化身，经常被描绘成一个吹笛的英俊年轻人——译者注），他可能根本就不会来。歌曲中这样倡道：“我对他说，来吧，来吧，来吧，来吧，来吧，来吧。他忘了来了。”
“ ”的含义和马哈韦日的一些同义词的逻辑很和谐，它表示的重点落在了表达一个不确定的概念上，它可以帮助我们理解卜哈斯卡瑞写在一本关于数学书的开头的一些话，他说：“我崇敬那些看不见的原始物质……因为它是可见物质的唯一组成元素（这个元素的概念不同于现代意义上的元素的概念——译者注）……所知道的物质质量……是建立在未知物质质量之上的；并且……将要解决的问题似乎不能被任何人理解，没有应用未知物质的质量，这一点也不影响我们的理解……”
难道我们的那些圆点到了印度？零和变量不是真的诞生在这里，是 的孪生子孙或者是印度人对“空的”奇特理解方式？也许最终施彭格勒（Spengler）是对的，只有印度文化才适合产生这些符号。
但是像一个沙漏，漏斗再次打开时圆点漏到了古希腊。用字母表示数字的问题是你需要使用一些特殊的标记把表示数字的字母和单词区别开来。你在第二章看到的希腊人画在一组数字上面的线条经常被分割成短的线段，甚至最后变成了一个小圆圈，然后画在各个字母上面：因此， 或 表示600。一些人使用一个或多个原点写在字母前面和后面来代替：用 来表示600； 或者 来表示318。想把一个数字增大1 000倍，他们使用的标准方法就是在字母的左下方书写一个小的标记：例如， 表示2，但是 就表示2 000（偶尔，这些符号也写在字母的上边： 和 分别都表示1 000）。他们的嗜好是不给这些标记定界限。分数有时在表示的时候是把标记放在字母的右上角，因此， 表示3，但是 （或者偶尔是 ，甚至是 ）表示 。阿基米德书写 的方法是： （ 表示分子10；o表示70， 表示1，因此， 表示71，那个右上角的小标记表明这个数字在分母上）。你会对此感到十分惊讶，阿基米德竟然使用这种方法进行他所涉及到的所有计算。
公元二世纪和三世纪的亚历山大时期有三个伟大的数学家，他们是希罗（Heron），派帕斯（Pappus）和黛尔芬特斯（Diophantus），他们的工作被证明对印度的文化有很大的影响，他们使用的符号甚至也很接近我们现在用的符号。黛尔芬特斯是用符号 放在他的米瑞雅德和单位之间来分开它们。但是他和派帕斯时常仅仅放一个点在那里来代替 。举一个例子， 就表示20 074。事实上，这个点使它左边的字母表示的数字扩大到了10 000倍，这就像是零的一个堂兄弟。希罗是放两个点在表示数字的字母上边来使它的数值扩大到10000倍： 表示1， 就表示10 000。在另外的一个老希腊符号系统中，这一系列的符号被保留了下来，每一个新增加的点都使原来的数值扩大到原来的100倍。希伯来人的习惯是放两个点在一个表示数字的字母上面来是他的值扩大到原来的1 000倍，通过写在字母右上边的小重音符号来区别表示数字的字母和单词，，他们的传统是来自希腊人呢，还是希腊人的传统来自希伯来人？如果回到非常久远的以前，希腊人使用原点表达数值的这种方法在随后的数字表达系统中也出现了。我们已经讨论过印度的数学家使用过同样的符号来表达零和未知数，因为印度数学家把每一个零都看作是一个未填满的容器，可以任意的再填充其他的东西。如果我想把这个讨论的结果也用到希腊人身上，我就不仅仅应该证明他们使用点来表示零，而且还要证明他们也使用点来表示未知数；进一步还要证明他们为什么使用同样符号表示未知数和零，同时还要证明这样做的原因是什么。事实上，未知数——我们该如何说呢？——我们是该说它是被发现的还是该说他是被发明的呢？回到遥远的巴比伦，大约在伯拉图时代，当时有一个叫做塞麦瑞鞑斯（Thymaridas）的人，他是毕达哥拉斯学派的人，他知道了如何解决含有几个未知数的方程组的问题。现在提出这个问题似乎有点迷惑，这个解题方法被称为他的杰作。谁能说明白为什么直到亚历山大时代我们都没有再听到过这个未知数的概念（这是毕达哥拉斯学派保密的一个例子？）。这个概念又在何时被我们广泛的接受了呢？
黛尔芬特斯称它为“数字”，而且定义它作为一个可以表示“一个不确定单位”的数字。他用什么符号来表示它呢？偶尔使用 （在第二章中提到在拜占庭帝国晚期的一些资料中用这个符号来表示零）。但是经常使用 ，时常是 ，偶尔仅仅使用 º ！不仅仅是黛尔芬特斯使用这个符号，和他同时代的希腊人也是用这个符号。这个小圆圈（就像第二章中表示度的小圆圈）在印度昙花一现，然后就使用到了这些亚历山大时期的著作中？当然，黛尔芬特斯的存在是显而易见的：通过把一个未知的数看作１这种解决问题的巧妙方法（你在巴卡沙里手稿中看到的方法）早在黛尔芬特斯的问题中就出现过。
第二部分 灰尘第13节 表示未知数(2)
那么意味深长的空白呢？你会在亚里士多德的著作中发现一些感兴趣的东西，但是空白在他的著作中有两点特殊的含义。他说：“空白是一个碰巧没有物体存在的地方”，这是一个非常普通的概念——也可以说是一个被暂时清除了内容的地方。听起来好像亚历山大的老师已经很好的预言了印度教中出现的“空的 ”。亚里士多德的两点特殊含义中的第一点（这一点告诉你的关于亚里士多德的东西比关于 的多）是他好像已经掌握了它的定义，这是非常好的；虽然它不是希腊人中的一个“普通的概念”，但是这个概念使用在了亚里士多德的《物理》中，因此这个概念在随后的几个世纪中一直使用。虽然第二点的特殊含义形成了一个关于空白的戈尔地(Gordian，按神谕, 能解开此结者即可为亚细亚国王, 后来此结被亚历山大大帝解开，暗指难于解决的问题——译者注)难结，但是，对于亚里士多德来说，他定义了它的概念以后，他就马上证明它又是不存在的！空白是一个物体可以存在的地方；但是对于永恒的物体（永恒的元素组成的物体是永恒的）来说，在可能存在和确定存在之间没有任何不同——因此，所有的地方都是被物体占据着的。除此以外，他使用空白概念的主要目的是向人们证明在解释运动装置时他完全不需要这个概念。事实上，这个概念的存在对他的理论来说是一个障碍：因此，他放弃了这个概念。定义一个被清除掉事物的东西可以产生一个新的定义吗？
很幸运，我们没有必要回答这个问题，因为人们对亚里士多德的《物理》产生的反响相对于柏拉图的《泰米亚斯》 (Timaeus，传说是记载柏拉图对话的书——译者注。)来说是很小的，这种情形直到进入12世纪才有所改观。柏拉图的最后的对话是写于公元前350年的某个地方的，这个对话一直是他的读者想弄清楚的东西。对话的含义是什么，对话本身又是如何表达它的含义的？在他写下这段对话后的一千年内，人们一直认为，如果这个对话所传递的信息被理解，人们就可以进入一个神秘的世界。因此一直把这个对话作为一个可以开启进入神秘世界的钥匙。
《泰米亚斯》——也许是毕达哥拉斯学派的一个天文学家和数学家的著作，也许纯粹就是柏拉图的发明——提供了一个详细的宇宙起源的情景，并且找到了使自己可以重生的方法，这个对话已经被更深的理解了。先前，他说过存在和生成的概念，现在他认识到有三分之一的因素与宇宙的创造有关：
……这个辩论使我们试图去弄清楚并描绘那个模糊的形式，我们必须假想它具有何种性质呢？它又扮演什么角色呢？它不是任何其他的东西，它是一个可以放置物体的容器——按这种状态解释，它是所有新产生的物体的护士。
他发现解释这个“容器”的性质是困难的——就像任何人第一次去理解表示“变量”或者“未知”的符号一样困难。我想在《泰米亚斯》中的柏拉图就试图去解释这个“容器”的性质。他说容器具有接受所有物体的本性：
……它总是接受所有的物体，他从来不以任何方式固定地呈现进入它的物体的任何性质：它的本性是可以作为任何一个事物的母体的，它被进入它的物体改变并表现出多样性，它在不同的时间表现出不同的性质……
为了更好的表达这个符号，他把这个符号与母亲相比，他继续写道：
因此，作为一个可以接受各种各样物体的符号，它必须没有任何性质；就像制造膏药的基质，制造者总是寻找那些尽可能没有气味的液体作为初始原料，这种原料还易于吸收香味……如果我们称母亲或者容器具有不显眼的和平凡无特征的本性，这绝对不是自欺欺人。
接下来，在没有任何征兆的情况下，他突然把“容器”和“空间”等同起来！
……空间是永恒存在的，它为所有事物的形成提供了一个位置，但是它本身却难以理解……根据我的计算，最好让这些成为神话故事：存在、空间和生成是三个不同的事物，它们一直存在，甚至在天空形成以前都存在。
《泰米亚斯》中告诉我们的东西是难以理解的。这段文字的书写时间和丢失的上下文对于理解它也不会有任何帮助，也许柏拉图是故意把这个问题说得含糊不清，目的是让我们自己按我们自己的思维方式行事——或者是为了避免我们自己不努力去理解它的起源。它里面星座的形状依然如旧，它看起来非常像我们已经从亚里士多德学派和印度那里看到的一样。柏拉图表达空间（chora， ）使用的的词含有容器的意思，随时可以被充满物体，就像亚里士多德的“空白（void）”和印度的“空的（ ）”。接下来，柏拉图用于填充它的是——数字！更精确的说是各种各样的元素，这些元素被认为是来自我们在第二章中已经看到的图形数字。
我们很容易想到在代数学中的未知数——毕竟未知数是和代数学紧密联系在一起的：带有数字和未知数的等式；寻求满足等式的未知数的值。但是柏拉图的直觉是几何方法，我认为我们所看到的是代数学上完美的几何方法类比，他是通过有形的数字来填充空的空间。为了和这个“容器”的模糊性质相一致，他说我们不应该称呼这些进入它的元素一个固定的名字，而是仅仅称呼他们“某某事物（ ）”。也许卜日马古普塔用来表达未知数的名字“ （多达……，达到……那种程度）”或多或少也有一些这个意思。柏拉图为了强调他的数学特性，在《泰米亚斯》中提了两次，“这是我如何计算它的”，“这是我如何把它加和在一起的”，这两个表达方法在翻译成希腊短语的时候都是使用单词“psephos”( ,没有合适的汉语意思相对应，但不影响你的理解——译者注)，用作计算筹码的石头，第二个意思与你在第20页看到的被嘲笑的计算技巧的象征逻辑有关。
我们自己总结一下，在古希腊哲学家的的思想传遍印度以前，他们关注的就是找到一个合适的符号来同时表达零和未知数，因此，看到同时表达两个意思混合在一起的符号并不使我们感到吃惊。
有证据表明，在希腊人的符号系统中，人们更多的使用圆圈而不是点，而在印度人的符号系统中，他们常常使用点而不是圆圈。这些符号可的起源可能是独立的，零所代表的含义不是移植过来的，而是在每个文化本身形成的，这是正确的吗？零和未知数为什么可以连在一起出现呢，这可能是最后的猜测——在你的思想中保持这样一个观念，猜测和学识像是生活在同一个房间的两个兄弟，他们性质上的分歧使他们相互的远离。最终它的开始是用吉尔伯特的尖体（apices）。你可能还记得，出于某种考虑他有一个表示零的筹码，在这个表示零的尖体上有一个特别的符号是： 。在中世纪同样的符号看起来很像希腊的第八个字母西塔（theta）——θ，因此（你可以这么想）被称为“theca”。1291年达契亚（Dacia，古代一地区和罗马一省份——译者注）的皮楚斯（Petrus）这么解释他的来源，它可能是来自烙在罪犯的面夹或者前额上的烙印——因为你可能需要一个横着的铁丝来把你的烙铁和把手连在一起；我们可以这么说，失败者是社会的零：我们现在依然称呼失败者为零，法国人也这么称呼。
在巴思(Bath，英格兰西南部的一座市镇)有一个博学的人名字叫艾德拉德（Adelard），早在12世纪早期，他离开英格兰到劳恩（Laon）做了一名家庭教师；在法国女王的面前演奏西塔拉琴（cithara，一种类似竖琴的古代乐器）；历尽艰辛来到西班牙，在托莱多（Toledo，西班牙中部临塔哥斯河的一座城市）努力学习；他学会了一些阿拉伯语，并伪装成一个伊斯兰教徒来到科尔多瓦（Cordoba）；像很多他后来的英国人那样，他出发去了东方。我们看到他不再在萨勒诺（Salerno，意大利南部一城市）外和一个老哲学家谈论奇妙的磁性；他扬帆航行经过希腊；努力的到达了西里西亚（Cilicia，托鲁斯山脉的南部、地中海沿岸、小亚细亚东南的古老地区）和叙利亚。在那里，他观察到光的传播比声音传播的快。同样是在那里，当地震来临，把黎凡特（Levant，地中海东部沿岸诸国家和岛屿，包括叙利亚, 黎巴嫩等在内的自希腊至埃及的地区）内的许多城市夷为平地时，他正在安提俄克(Antioch，古叙利亚首都,现土尔其南部城市)附近一座被震坏了的桥上。
当他最终回到家乡的时候，他的精神被文艺复兴前的精神感动。（他说，“如果你想从我这里听到什么事情，请平等的给我你想听的理由。”）他随身带回来了珍贵的手稿，东方的真正财富：一篇关于用混合颜料来炼金的论文（虽然，它也包含了一个制造咖啡的方法），一些关于如何在水下建造地基和如何建造拱形结构的著作。以与他的侄子对话的方式，他写了一本关于猎鹰训练术的书。在他晚年的时候，他写了关于一个占星家的绿色斗篷和绿宝石戒指的书，并计算了斯蒂芬国王（King Stephen）星象。
他当然也带回来了数学著作（麦寥麦斯百瑞（Malmesbury）的威廉称它为“撒拉逊人（Saracen，阿拉伯人的古称——译者注）的危险魔术”），这些书是他和他后来的爱尔兰学生从阿拉伯语翻译过来的：13本欧几里得(Euclid，约公元前3世纪的古希腊数学家)的著作和伟大的天文学著作《 》的表格。在这些翻译的著作中，我们找到了三个表示零的不同的符号：θ（theta），常见的 和 ，他称这些为“teca”。
“Theca”不可能是“theta”翻译过来的形式，现在又出现了“teca”。有更合理的解释吗？有。在希腊语中“Theca”意思是——一个容器；当你用大写希腊字母书写它的时候它看起来像是这样： 。看他的第一个字母，theta，一个点有一个圆圈围绕着它。大约在1100年，劳恩的瑞道夫（Radulph）也曾使用过这个符号，并且他使用这个符号来代表什么数字也没有，他说它的名字是“sipos”(桃花心木)——记得吉尔伯特用“sipos”来表示零，看起来很像希腊人表示计算筹码的“psephos”（艾德拉德称它为“sipocelentis”）。同时代的拉比·本·以斯拉（Rabbi ben Ezra）同时用“sifra”和“galgal”（在希伯来语中表示“车轮”）来称呼它——在“kha”的意思中，也有一个意思是，在车轮中心的孔，车轴穿过这个孔运转。
通过1 000多年前的黑暗时代，我们已经看到了一丝光明，在这束光中，我们的两个符号合并成了一个——或者顽皮的零正领着我们走入歧途呢？
第二部分 灰尘第14节 零的形式上的变化(1)
历史不同于传奇之处在于它在一定程度上是真实的。创造零并猜测它以什么形式出现，这些想法是很冒险的，我们知道我们一直在做这样的冒险游戏；但是就像女王的钢琴家一样，我们也许与此同时极出色的完成了另外的一些事情。在通常意义上讲，我们了解到的所有东西都是这样的：不管零扩展数字王国的能力有多大，我们仍要将它当作一个数字本身来对待。零是从一个标点符号发展而来的，并长期保持了它的数字之外的属性，它不仅是一个数字还是一个字母。甚至在十二世纪的印度，卜哈斯卡瑞和他的弟子们仍把九个数字的诞生归功于仁慈的造物主；但是，同他的发明和位置系统不同的他使用这9个数字来表所有的数量，同时，零——是一个点呢还是一个小圆圈呢——放在没有数字的位置属于为了“消除错误”(就如32页所见)。对零，我们最常用的词是“空（null）”，来源于中世纪的拉丁语nulla figura，“没有数字”，而且，一个法国人在15世纪的著作中很好的表述了这种流行的观点：“就像破旧的玩具想成为鹰，驴想成为狮子，猴子想成为女王，零装摸做样地假扮成一个数字。”
在因果循环的过程中，一些因素使零不同于其他数字。每个数字都与特定的事物集合相联系，但是,零根本与任何事物无关。由此，它很容易与“变量”的符号及“变量”的概念联系起来。这种联系又加大了零与其他数字的区别。并且，我们可以注意到零经常来源于减法和负数存在的环境(这样卜哈斯卡瑞在所减的数字上画一个小圆圈也并不是偶然的)。任何五岁的孩子都会说负数根本不是数字，任何人都要花费一点的时间来认可负数。是因为否定比肯定更难以描述和掌握，才把零引入一种似是而非的危险境地的吗？让我们面对下面这个问题：减法的可逆性使得本身已经很困难的计算变得彻底令人迷惑不解。如果你曾受骗相信你有十一个手指，你就会明白这个问题（左手五个手指，并且往回算，10、9、8、7、6在右手上，所以6+5=11）。然而没有减法的话，我们就不会有下面这个完美的谜语：4个人进了一个房间，7个人离开了。事先必须有多少人已经在这个空房间里面？答案是：3个。
零在加减法中的应用使它与其他数字所代表的实物之间的差距进一步增大了。这不仅仅是把计算筹码从一列中移开的后果，因为这些后果还不是很清楚。零像我们以前所看到的，比宾语更具有能动性，比名词更具有动词性。马哈韦日积极评价了这一点，他说‘零和与它相加的数变得一样’。
但是马哈韦日和我们所知道的一些印度数学家，经过六个世纪的时间，做了比给予零短期的热爱更重要的一些事。他们描述了零与其他数字一起时的表现，及数字间的相互作用。
这些描述采取控制数字间相互作用的定律形式出现。这些定律不仅使零与其他数字联系得更紧密，并建立了一个理想的数字王国，也许还会出现更新类型的数字王国，谁知道呢，但这是他们自己最好的成就。
获得数字王国公民权的要求是什么呢？考虑一下词汇和思想的处境。新的词汇总是象小狗一样在我们周围欢快的跑来跑去——一个月之内，人们用“弹道导弹”的速度来传播和使用它，下一个月就变成‘邮递的’速度了——但是几乎没有新词能在几年时间内一直得到广泛使用，而几乎更少的词汇能达到人们耳熟能详的程度，这一切都在于我们。而思想，伟大或者渺小：五十年前是人们的一种信仰，现在它在哪里呢？弗洛依德（Freudian）的喜爱与厌恶学说慢慢成为一切事物总的原则，但这种学说很快就分崩离析了，现在谁还谈到情结或把性欲作为景仰的对象？
但数字王国比语言或思想领域更为保守：瑞士（Swiss）不愿接受新的成员，一旦成为一员后，就不许离开。考虑到无理数，毕达哥拉斯学派罪恶秘密的暴漏动摇了希腊人对数字的信任。2 500年后，没有他们我们将不能做很多事情，虽然我们对它们之中存在的理性依然还有争论。喜欢冒险的数学家开始考虑到希罗和黛尔芬特斯时代的负数平方根。当方程的根是负数的平方根时，根叫虚根，并称方程无解。然后在文艺复兴时期，人们开始计算虚根。1673年伟大的思想家约翰·沃利斯说虚根是可以假设的，但他们和负数一样是不存在的；即使他们已经和实根分开，虚根仍带有和他们名字所表示的含义相同的标志。
数学特有的运动是：要成为数字必须与已经存在的数字相互联系，或至少与其他数字地位是一样的，所以我们必须明白如何用零加、减、乘、除，这正是印度数学家所做的。代替了一系列杂乱的要素。当计算方法发展成为一种著名的理论时，零和其他数字相互联系建立起来了。
这些变化慢慢地发生，并经常隐藏在一些将过时的用法中。所以，公元600年卜日马古普塔简洁地说出，一方面零的相反数仍是零；另一方面，谈到零与数字的加法时，他总结到：‘零与负数相加仍是负数；与正数相加是正数；两个零相加是零’（从1817年以来，这种解释保留了卜日马古普塔的一些缺点，即描述同一事物的不同的词之间缺乏距离）。他更关注于写出减法的规则：
零减去负数得到正数；减去正数得到负数；负数减去零仍是负数；正数减去零是正数；零减零是零。
这就象音乐家必须知道G是C调的属音，C是F调的属音，A是D调的属音等，却从不注意属音总是音阶的第五音。
数学家们总是追求完美。五个世纪后，卜哈斯卡瑞以完美而简洁的语言重新表述了卜日马古普塔的论述：“加上或减去零，正数和负数的值保持不变，但是被零减去之后，正数和负数变成他们的相反数”。他在36岁时写了一本书《魅力女孩》（Charming Girl ，Lilavati）以及这一定律——可能因为它充满以下这样的问题：
美丽可爱的女孩，她的眼睛象古罗马神话中的农牧神！如果你擅长乘法，请告诉我135乘以12是多少？
他们没有再写过那样的数学书。
马哈韦日在大概介于这两者之间的中间领域，取得了很多成就。830年左右，考虑到零在与其他数字发生作用时保持不变（这并不很好的符合耆那教的逻辑法则 ，在那里他们的实质与表现没有区别？）。他也继续说“一个数字乘以零是零，那个数字将保持不变当它……减去一个零的时候。”卜日马古普塔在前，卜哈斯卡瑞在后都同意以上观点。
但我遗漏了一个问题，在这三个方面他们的观点严重不一样：正数、负数、零除以零。我们自己有多么确定这个问题答案是什么吗，并且是为什么呢？马哈韦日说：“一个数除以零这个数保持不变”。他的翻译极力解释这个错误，他说马哈韦日显然是认为除以零与根本不做除法是一样的。我认为，因为乘法可以看作流线型的加法（5×4可以看作5个4相加），可能他将除法看作流线型的减法（20÷5等于将5从20中减去4次）。假如这样的话，当除以零时可以看作将零从这一数字中减去，结果仍是这个数。这种类似性也可能让他陷入将0从20中减去多少次这一问题。但是就象你所见到的，减法中的可逆性掩盖了这一想法。
卜日马古普塔是很谨慎的：
正数或负数，除以零，即，是一个以零为分母的分数[他将这称作“khacheda”，来自表示零的单词“kha”]。零除以正数或负数是零或可以表达为一个以零为分子以有限数为分母的分数……零除以零是零……
对于 来说他是完全正确的，a是一个正数或负数；并说（就象他开始所做的） 仅仅是将一种概念从一种类型转变为另一种类型，但并不能得到结果。但 仅仅是一种结果而且是错误的。
现在看看卜哈斯卡瑞的结论，卜哈斯卡瑞的说法与卜日马古普塔的是非常相似的，他说：“一个数，被零除则成为一个以零为分母的分数。”但他继续说：
这个分数被定义为一个无穷数[“khahara”与卜日马古普塔所说的“khacheda”是同意词]。尽管可能要加上或减去许多数，但这个数以零为除数的情况是不变的；就象当世界被创造或毁灭时，无数的生物产生或消亡，但无穷和永恒的上帝是不变的。
这重要的一章——以一种使人联想起婆罗门的词汇来描述 ——引起了评论家们极大的注意。在16世纪末，评论家中的一员，试图用日晷仪（日晷仪指示某地太阳时间的一种仪器，通过一个中心突出指针在围绕刻有标准刻度的日晷上的阴影来指示时间——译者注）获得的图案来解释卜哈斯卡瑞的意思。他说，在日出和日落时，日晷指针的影子总是无限长的，无论日晷的半径和指针的高度是多少，情况总是如此。
你可能经常听人们说 =∞，但确实如此吗？这种假设的等式意味着什么？ =4是有意义的，因为它是数字之间的一个等式，这一点在《魅力女孩》中可能已经告诉你了。但无穷大不是一个数（就象孩子们认为的将拉丁文Infinitus est numerus stultorum翻译成：无穷大是蠢人的数字，它甚至不是一个蠢人想出来的数。）那么，我们把 假定为什么呢？这个答案将告诉你很多关于数学的技巧。
第二部分 灰尘第15节 零的形式上的变化(2)
认为所有的数字都是一样的，这样的想法极其不合常理。例如经验告诉我们6不是17，（不管是不是经验，我们思想中的这些区别看来是本来所固有的）。但假如数字可以除以零，那么所有的数字都会变成相同的。为什么？印度数学家能告诉我们：所有的数乘以零是零，所以，6·0=0，17·0=0，由此可见，6·0=17·0。如果可以用数字除以零，就可以得到 ，零可以约去，所以6=17。他们是不相等的，所以数字除以零是不合理的， 毫无意义。
这种反证法从古希腊就开始应用了。为什么需要它的时候没有一个印度数学家使用它呢？确实，一部分原因是因为证明就象艺术作品一样并不按我们的命令出现，而是来源于尚未完全弄清楚的人类的洞察力；还因为印度数学家的风格，他们赞成原理却不去证明他们；另外也许是因为说一些事物毫无意义几乎等于说你不知道它是什么意思。一个阿拉伯旅行家这样评价他遇到的印度人：
……他们讨厌用坦率的话语“我不知道”，公开承认他们的无知，无论什么情况之下，这句话对他们来说都是困难的。
另一方面，印度人将这个阿拉伯旅行家说成：“尖酸得醋与他相比都变甜了”。
不仅仅印度人继续他们关于零的其他运算（卜哈斯卡瑞正确的宣称，02＝0和 ）将计算扩展到无理数的范畴之后，例如 ，仅简单通过声明无理数可以象整数一样考虑。在巴卡沙里的手稿中，制定了任何种类数字计算的规则，所以卜哈斯卡瑞可以问：“听着，博学的先生们！告诉我‘乘以五’减去1的结果和‘乘以3’加上2结果相乘，结果是多少，或者可以叫做（5x-1）（3x+2）是多少？
当不考虑虚数（甚至不考虑正数的负根——人们并不赞成卜哈斯卡瑞有民主精神的说法），卜哈斯卡瑞可以得出如下等式：
给人印象更深的是，他可以解这些方程：也是对于这一点，从内心深处汲取力量是一回事，而让这种力量随叫随到则是另一回事。
你所看到的是一种正在形成中的数学和几何语言，这种语言的发展有着意义深远的结果。数字间存在令人不舒服的差距，他们代表不同的事物。当焦点从数字间的差距上转移之后，零所表示的范围也不会缩小。这些行为表现在方程中——方程的解，即，使等式成立的未知数的数值。可能是零，也完全可能是其他的一些数字。因为x的未知解可以是任何一种数字，所以这意味着零和其他数字的差距进一步缩小了。但从公元500年到1 500年间的几个世纪，零的形式转变是这样的：一种更为抽象的结构代替了人们思想中固有的、一些数学家的说法。因为定数有许多名称，它们的关系也都很容易记忆。现在这些名词都必须简化为写出来的符号。这样使得数字立刻具体起来，对没有基础的人更难以使用。因为它们简化了它们所代表的事物，但也可以让你说出一些以前没有想到的事。x2+2x-22=0表示把面积（x2）,长度（3x）和22（常数）放在一个句子中。这是很难以想象的。但现在你可以很容易的写出x4+3x-22=0并解这一等式。但是如何描述x4所代表的量度呢？难怪麦寥麦斯百瑞的威廉说这是危险的撒拉逊人的魔术。
数字符号的神秘使这种称呼具有吸引力，并强化符号超自然力的特征及权威。但是在数字神殿中还有更重要的一些事情。像零一样，数字都变得看不见摸不着了：不再是物体的描述物而是纯粹的物体本身。“三（Three）”一度像“小（small）”：它可以修饰鞋、船或密封蜡。但它现在已经与这些在很短时期内与它相联系的乱七八糟的事情离得很远。数字获得了自己的形容词：正、负、自然的（整数或计算数字的官方说法），有理的（来源于‘理性’一词，因为这些是分数），实的（有理的和无理的），并且在一定时期这些形容词也会变成名词（有理数、实数）。数字在计算过程中改变形态并证明自己的存在，对这一点来说形容数的词汇也变成表面现象了。我们所看到、所感觉到的一切包括数字的起因及影响。他们是位置保持者，是容器，可以让计算筹码匆匆地随地乱放。通过将我们自己与数字融合在一起——通过找到麻雀下降过程中的控制方程——我们至少能将所有生物的情况纳入考虑之中。
在第四章里我描述了概括抽象如何成为数学的素材：一旦你将所有事件都纳入一个有条理的网络中，你就将这一网络概括为另一个更笼统网络上的一个结点。让我们应用这一过程。表现出来数学形式上的巨大变化，这一变化发生在大概公元前5世纪开始，大约在几千年之后完全确定下来的变化过程中。象所有有力量的变化一样，这不过是重点上的一个变化：也就是我们语言中重音落在何处的问题。
我们生活中充满比喻。我们的语言充满了比喻，我们的论述和信仰通过明喻得以继续下去：A像B。在这一转变开始之间，我们的比喻用来美化并闻名并不清楚的问题。如果我们说这正像其他一些事物，“这”是需要说明的，然而其他一些事物，B，可能是非常生动的或让人们更熟悉、更容易理解的：
就像一头狮子在一群人中犹豫、害怕，无论何时他们在周围形成的都是危险的圈，因此珀涅罗珀（Penelope，奥德修斯的忠实妻子, 丈夫远征20年, 期间她拒绝了无数求婚者——译者注）坚持自己的思想……
上面的是来自荷马的话，下面是维吉尔(Virgil，古罗马诗人,公元前70-公元前19——译者注)的话：
死亡充斥在四周的时候，疾病就象秋天第一场霜之后的落叶。
慢慢的，重点开始转移了。直到“A像B”用于使人们透彻了解所重视的问题。B使我们无法了解、无法触及的。我们所看到的是真实事物的模仿或暗示。德国浪漫诗人哈德林（ ）在他浪漫的诗歌中写道：
这里我们是神灵，但是在别处时，我们并不能使一切都圆满。
事实上，这种借喻方法是浪漫主义的核心。按这一论点来说，它最初产生于二千年前，而不是19世纪。
人们几乎不费什么力气就把差异很大的信仰和哲学统一到同一旗帜之下：“是那里而不是这里”。这与赫拉克利特说的话是一样早的：“神的寓言在特尔裴（Delphi希腊古都）它既不肯定也不否定，但是提出问题。”思想是外界的，事物的表现与它短暂的融合在一起，这是柏拉图想象力的核心。从公元一世纪起，这一理论就体现在佛教徒“四大皆空”的理论之中。他们说事物本身是空的( )(一位学者发现这是 “印度思想的一个新的转折点”)。我们更熟悉的是基督教和伊斯兰教所包含的教义，但是一种更古老的宗教——犹太教，反对这些教义。
当人们问这或那是什么意思，并得到它们字典上的定义时，可以感觉到重点的转移，“是，但是它意味着什么？”在近代，出现了许多像尼采(Nietzsche德国哲学家,1844-1900)和维特根斯坦(Wittgenstein英国哲学家、 数理逻辑学家)所写的评论文章一样丰富多彩的文章。这些评论动摇了比我们世界更辉煌的另一个世界的形象。人们开始怀疑我们的世界“是”全部(或将重音后移成为，我们的世界是“全部”)。
我们所遵循的数学界的变化，从人们开始计算就存在了数字的名字缩减为它们的符号，数字与它们所遵循的法则相比处于次要地位。并且，数字在持续的从数学家们所能制定的最简洁的一系列公理中得到它们的法则的运动中发展起来。在基本形式变化的过程中，数字间的相互作用可以证明数学公理。这就像蹦床的框架一样，这些相互作用从远处将我们的理解线索拉紧。这里深层次的秘密是我们创造了这些公理——他们的创造者有名字，基于公理的争论留下了伤疤——但我们确信这是我们能创造这些公理的唯一方式，所以最后公理被创造出来了。就像它们位于经验之后一样，我们体会这些公理。这同时来源于并加强了这种巨大的形式变化。
当然，这种变化不会一直不停地向上滚动，而是像河流一样向下流动。这种向下运动形成，并将这种变化纳入它自己的领域之中。有前进的人和倒退的人，柏拉图指出了前进运动，但是亚里士多德指出了周围多种多样的情况。黑格尔（Hegel德国哲学家）提出精神来源于物质。泛神论者认为神在老橡树和岩石中。在我们的时代，事物背后的理论持续不再神秘。地狱，与一切事物极其遥远，成为另一类神话传说的来源(就像我们从夜间发生的新闻中所知道的)。亚当的冲动仍存在我们的体内，像孩子时代的达尔文（Darwin）一样，我们希望植物能告诉我们他们的名字并且他们的名字能告诉我们它们的本质。然而，我们使用比喻的方式发生了变化，这也反过来影响了我们自己。相应于它表面上的所有变化，我们想法的重心不可改变的发生转移。在在这一段时间之内，我们可以看到按重要性将事实和从属地位的含义相互协调的过程。
我不能假装将我的陈述称作假设，因为它不可能是伪造的：任何例子或者举例说明了这种变化或者属于阻碍它的后退运动。将它当作我们所说的我们所转变成的那一种比喻。为什么这样看待它呢？因为它激起了使事物有意义的希望（希望是这种转变所激发的）。
第二部分 灰尘第16节 玛雅人时期：计算的黑暗面(1)
表示零的玛雅语的符号是一个带着项链回头看的纹身的男人。或者这至少是令人吃惊的零符号系列中的其中一个。因为他们的文化从大约公元前300年到公元900年在尤卡坦半岛（Yucatan Peninsula，墨西哥附近）繁荣，但是同外界没有联系，他们为零的概念和符号的独
零的同类
立起源提供了清晰的证据。为什么不是这样呢？为什么这个概念没有在其它不同的文化中繁荣、流传，而在许多沉默、窝囊的牛顿的思想中燃烧并消失呢？因为数学是我们的通用语言，这个通用语言被统治我们的与出生时代和地点相关的常用语言覆盖遮掩着，它为什么不用通用的优势来突破那些常用语言的结构表达，但是这种表达关系超过了自然界表达的关系？如果我们必须给出零的血缘关系，就象我们给出马的血缘关系那样，我们可以说：去想象吧，完全没有没有必要这样做。
虽然我们对玛雅人的印象只是一分事实加三分想象（并且在发展上它们被流行势力调和），他们依赖计算就象他们的生活中需要它一样，不相信这一点是不行的；并且他们计算的是时间。在我们的日历中，他们的关于宇宙开始日期是公元前3 114年8月13日。这是他们的第零天。你一定很想知道他们如何得到的这一天的；而且因为你的疑问不可能被满意的解决，它可能转向代替阿马（Armagh，北爱尔兰南部一市区）的詹姆士·厄舍尔（James Ussher）大主教，他在17世纪第一个10年的中期发现世界是在公元前4 004年10月22日晚上六点诞生的。多大一个功绩呀！因为如果你能完全想象宇宙的起源，你必须能够想到那个时刻的两个方面（现在你不能看到那个时刻，现在你要看），明显地在厄舍尔的能力之内的一个任务。我喜欢想象他在烛光照射的桌子前，拉丁人，希伯来人和希腊人的纸张的影子笼罩他；沉醉于计算的困惑之中；计算最后的和；迎望谜团解开的光芒——当然！8月22日！下午六点！在当时和后来他是很荣耀的。对我而言，他专注的努力是古怪的试金石。
玛雅人依据他们的第零天小心翼翼地记载重要事件的日期，考古学家习惯称之为长远的记载方法（Long Count）。为了代替从开始连续计算时期方法的艰难——大脑渴望一种简单的应用模式的——他们把时间分为每个月二十天（kin），每年十八个月（uinal）。那样称一个360天的年为一个唐（tun），这些唐每二十个被他们分为一组，称为卡唐(katun)，因此一个卡唐有20×360=7200天。二十个卡唐依次作为一个巴克唐（baktun），或者说是400唐（144 000天）；并且他们有比这些更大的单位，直到包含64 000 000年的，称为阿拉唐（alautun）。每一个这样的分组有不同的象形文字。为了显示它树立的纪念碑的日期，例如，准确地从第零天开始的1 101 611天，他们会记为：7 ktun 13 katun 0 tun 0 uinal 11 kin (7×400＋13×20=3 060年，每年有360天，所以3 060年就是1 101 600天；并且多11天就得到1 101 611天)。象他们所有的数字，这个7，13和11， 由表示5的横杠和表示1的点组成（因此7就是 ，13就是 ，11是 ）；但是表示零的象形文字——在保持中间缺少的分组中至关重要——有时候象脸，有时候是完整的画像，有时候象半朵花，有时原形象蜗牛壳而有时象我们无法叫出名字的东西。
一些玛雅人表示零的符号
如果没有最后的单位—一天，玛雅人（Maya）也小心翼翼的用零的象形文字记录这些（记得苏美尔人不是这么做的）：这告诉你正在发生的事情对他们来说比得到准确的日期更重要。当我们努力苦苦思索他们的世界的情形时紧记这一点。
360作为一年的长度可能在算术方面是方便，这点的确触动你，但是这并不能和事物本性相一致。以恒星来计算年的长度大致是365.242198天，因此在不到一卡唐的时间内，在你计算天、季、年的长度是时你将有100天对不上号。也许，这就是为何玛雅人有和长远的记载方法同时使用的另外一个日历的原因：一个“民间”年（The Haab），也是有18个20天的月，但是在最后有五天尽情吃喝的“幻影日”，这样它就仅仅比阳历短四分之一天（因此现在人们轻视地称他们的民间年为“茫然的年”。
在确定长远的记载方法(长远的记载方法)中的时间时，零在民间年中担负着新的特殊的意义。每20天一个月的第一天记作0而不是1；第二天是1，以此类推，第二十天时19（年末的5天也称为一个月,也如此计算）。我不知道是否还有其它这样的日历，每月开始的第一天以零来标记。我们很少用这种方法计算年：仅仅当波尔布特（Pol Pot 柬埔寨政治领导人，1975年，他的红色高棉运动推翻了当时的柬埔寨政府。在他的政权统治期间，估计有三百万人因处决或饥荒而丧生——译者注）的凶恶例子出现在我们的脑海中时，我们才感觉有这样的例子。因为他称1975年为他统治的第零年——在这一年他将清除他的敌人。
这种编号方式意味着一种没有开始的开始：一个虚假的开端或序曲（因此，克里斯托弗·罗宾（Christopher Robin基督殉道者，被描述为归依基督教的巨人，致力于将游人背过河去——译者注）开始背人的时候就他一个人）。这种计算隐藏在现代魔术一种独特机灵的诡计中。每位观众将秘密的句子写在纸片上，密封并投进一顶帽子中。蒙着眼睛，具有千里眼能力的人随机摸出一个，努力用直觉感受并宣布它的内容。“是！”观众中有人说，“那正是我写的！”。蒙着眼睛的人摘掉蒙具，打开纸片并宣读内容：正是他已经说的。重新蒙上眼睛，他选择第二个，不知何故并不打开它，用他的第三只眼，也许是这样，能看到它的文字并宣读他们。
让你大吃一惊的是，另外一个人承认了。从表面看，蒙着眼睛的人确认了他的先见之明。并且继续如此，通过一个又一个纸片，直到所有在场的人都知道他们是超自然存在的。是这样么？他们感受到的力量是零。蒙眼睛的人解释的第一个信息是他和观众中的同伙早已经串通好的。那就是零信息。当他取掉蒙具时，他所读到的随机抽取的纸条上的内容就是他将“感觉”的下一条信息。——并狡猾地继续进行，当现在他读替代的纸条时，他宣布前一个信息的内容。
在民间的日历中，前月之神在第零天放下时间的重担，在位的当月之神继续这个重担。对我们来说，这发生在瞬间，就象坚纽斯（Janus）门神把他的星期传给斋戒的法布如斯（Februus）神。对玛雅人人而言，这个交接一定充满了更多的焦虑。检查这些事情的神是零。用来交接的时间是一整天！我想知道在交接时人们做些什么？我们知道在五个幻影日或年末的“无用”的日子中，男人和女人既不洗澡也不梳理，也不干活，以免它交接失败。
现在因为长远的记载方法可以满足精确约束任何日期需要，并且“民间年”使月的循环与阳历相协调，玛雅人还有什么必要拥有另外一种日历呢？但是，他们还是有另外一个日历，并且这个日历对他们特别重要：一个神圣的年，有260天的梯凿肯（Tzolkin）年.。它的特殊结构告诉你很多关于玛雅人对计算的困惑。三个日历的同时存在指向这个困惑的来源——他们处于恐惧中。
对于第三个日历，提及的两个循环我们不能不说：一是，20个天的名字（艾米克斯（Imix）,艾克（Ik）,阿卡堡（Akbal）……），而另一个是1到13的数字。当你了解到13数字第一次与前13个天的名字对应，接着从第14天开始：以便第14天到第20天的天的名字（艾克斯（Ix） 阿毫（Ahau））可以与1到7的数字相对应，你就可以领会到玛雅人为什么对数学家如此尊重。这样，第一个天的名字艾米克斯循环一次再次出现的时候，与数字8相对应，因此第6个天的名字塞米（Cimi）于13相对应。第7个天的名字麻尼克（Manik）就再次的和数字1相对应，——这种摇摆不规则的节凑从开始延续直到到13×20=260天时结束，即第一个天的名字艾米克斯又一次与数字1相对应时，新的神圣的一年就开始了。 任何一个数字和天的名字的组合都能准确的告诉你它代表这一年的那一天——通过你的洞察力或者费劲的培训，如果你拥有了计算的诀窍。
第二部分 灰尘第17节 玛雅人时期：计算的黑暗面(2)
为什么会出现如此奇异的日历？也许因为对于玛雅人来说天堂有13个神，而20是人类的数字（不是一个稀奇的指派，是你所有手指和脚趾的数量）。两个循环的交错可能因此意味着协调了世俗和宗教关系。在玛雅人的万神殿内也有九个地狱之神；他们长着较低的下巴并被死神统治着（Death God）。把轮流统治每一天的9个夜神用9个象形文字代替，把这作为一个循环，当他们还有第四个日历时会是一个奇怪的事情吗？还有29和30天作为一个月的日历；还有第六个日历，以584天相合的金星的循环为基础（它的明显周期是它从太阳的一边运转到太阳的另一边）？
虽然他们的日历是他们用计算复杂化和通俗化的唯一文化特色，的确，我们每个人都曾经被它的强制坚持折服；并且总是诙谐地开始认真地结束，当我们开始计算时需要许多努力去关掉机器，怀疑它并重新回来，迷路了还希望它能够利用，直到我们发现主仆已经调换了地位，并且我们也仅仅只是无情的自动机器的厂房时，我们所做的一切都是徒劳。一些人利用他们的手段已经到达目的：圣·弗朗西斯·高尔顿（Sir Francis Galton 1822-1911,英国人类学、遗传学、气象学家，达尔文的堂兄和优生学之父）计算能看到的一切事物，并且甚至使用10个独立的计算装置来补偿自己的手工，因此，当把商店橱窗内的货物的平均价格加起来时，他还能够不动声色的知道马其顿（Macedonian）村庄中漂亮女人的百分率。另外的人干脆自暴自弃，就像18世纪那个笨手笨脚的农民杰迪戴亚·巴克斯顿(Jedediah Buxton)，他情不自禁的计算他看到的每个物体有多少根头发那么宽；当作为贵宾被邀请到伦敦去观看加利克（Garrick 1717-1779英国演员，剧场经理，因在当时最早出演莎士比亚剧而闻名——译者注）的一个演出时，他在结束的时候准确地说出每个演员在剧中说了多少句话，走了多少步。我们听到把自我主义者与超自然爱好者用计算相联系的故事；我们记得弗洛伊德，在老年时候，他坚持认为，对于同一性来说节奏循环是我们渴望的表现，甚至超越欢乐，而同一性是死亡的使者。
然而，在忍受一些的集体的计算狂时，我们不能够解散玛雅语，因为计算并不是和事物本身那么符合。并且在这里我们又一次不得不佩服他们的数学技巧。如果365天的民间年和260天的梯凿肯年一起开始，他们下一次第一天是在什么时候重合？把这个问题和易于管理的数字放在一起去看如何解决：两天和五天的循环在什么时候重合？显然是在2×5=10天：10是他们的最小公倍数。而四天和六天的循环在什么时候重合呢？4×6=24天是他们乘积，然而24不是答案：它们最先是在12天后重合，因为你必须把那个乘积除以2，因为2是4和6的最大公约数。马雅人懂得因为5是260和365的最大公约数，民间年和梯凿肯年将会在 天后又一次重合，那就是在52个民间年或73个梯凿肯年后重合。这个周期叫做日历轮回（Calendar Round），并且似乎每一次完成都会引起绝对的残忍。为什么？让我把分散的猜想组合起来是我们能感受玛雅人的思想。
他们最大的担心是时间可能停止；因为它把它所有的儿子带到长远的记载方法的脉搏上来，为什么他们的帝国、大地、有无数星星的天空和宇宙本身不应该灭亡呢？为了防止这种情况发生，他们采取了戏剧性的措施，既聪明又恐怖。第一，他们将自己看到的天空中的循环运用到线性的时间中，因此时间不会在一个循环的中间停止——但是可能在其终点停止。很好，开始与第一个同时的另一个循环：现在直到两个循环的终点重合这样的机会很少，时间可能停止——并且在这样一个不幸的时刻（象每个52 农历年），他们用生命的精华祭祀神：血、处女、牲畜的心，这样将死神就会用这些东西来复活他们自己并且愿意重新承担起在零日疲倦地放下的岁月的重担。
困惑的麻烦一旦受他们的控制，没有什么曾经是足够的。循环，再循环，更多的循环，将危险推延到更大的倍数！5个金星会合年等于8个民间年年；405个阴历月等于46个梯凿肯年；在德累斯顿（Dresden）他们的规律列出78的倍数，并且火星的会合年是780天；一个考古学家甚至建议：因为9是地狱之神的数量而13是天堂之神的数量，并且因为9×13=117，玛雅人也一定计算过水星的会合年，那就是116天（记住，对于没有被城市的灯光掩盖的人们来说，夜空一定曾经是多么清晰和有预兆性）。另一方面，还有循环的分界线值得担忧：每五年（一个卡唐年的四分之一点）他们的国王壮观地毁伤自己，这样他的血可以使口渴的神忠于职守。就象一对学者提出它，血是古代玛雅人生活的研钵。
没有什么曾经是足够的。他们的长远的记载方法给了他们保证，时间确实不会因为巨大的跨度而停止。我们在他们的一些纪念碑上发现的一个日期系统担当像随你的新车赠送的优惠券一样的角色：如果你有一个五万英里检查的优惠券，那么你会自信你的车将会逐渐完备。如果在你行驶十五万英里时没有检查的优惠券，一种颤抖的感觉就会笼罩你。他们的这种系统好像显示从时间的开始经过大约2×1027(是由一个人计算的)年这一段时间，他们几乎没有前进。比较起来，我们现在自己文化中的宙大爆炸距离现在也只是微不足道的大约120亿年（1.2×1010）。但是，就像一些在摇摇欲坠桌子的抽屉中的内裤一样的后现代主义小说那样，甚至长远的记载方法本身也被认为不再是线性的（而仅仅是一个大循环的周期），他们的长远的记载方法被认为是这些巨大跨度循环中的最后一个周期，它已经循环回来并经永远循环向前。这样玛雅人好像取得了双重保险，不用再担心了。
一个奇妙的优势在于重新把长远的记载方法作为自身的周期。许多年后，不但时间停止的威胁将消失，而且一个伟大的统治者的诞生（如果你们的数学家们足够敏捷）也可以证明在一个重要的准确时间出现，比方说，一个虚构的女祖先的诞生——意义就是时间跨度是几个循环的整倍数：民间年和梯凿肯年，也许在火星和水星的会合日期诞生。多个循环的汇合点也就是一个很好的幸运的点，很明显，在这个点诞生就是一个重生：帕克（Pacal）是帕伦克（Palenque墨西哥南部的古代玛雅城市）城的所有统治者中最伟大的一个，就是神圣的女祖先。
一旦你将类比“A像B”转化为“A是B”，想象力就化为戏剧性的深信不疑的事情，禁闭恶魔的箱子突然打开，恶魔自由了。我提到地狱的神，九个黑夜之神，被死神统治——但是我没有告诉你们这个死神是谁：它就是零。它的意义就是民间年的时间可能停止的那一天。它是每个较小的或较大的循环的终点，是一个可怕的中止。现在如果发现一个人能够担当起零的角色——并且如果他经受仪式上的死亡——那么死就会消逝！看样子，这是玛雅人仅仅能做的事情了。在一个穿着像他们英雄的孪生兄弟的运动员和一个穿着像零之神的运动员之间，他们举行一场仪式上的球赛。这个球是一个重要的人质，例如一个被打败的国王，已经被保留很多年而现在被临时捆起来。两个运动员熟练地将他传接、脚踢并拍打他到死亡，或者在最后将他滚下一长段楼梯来杀死他；这场比赛的结果毫无疑问总是英雄的孪生兄弟能够以机智胜过“零之神运动员”而获得胜利。在另外一场这样比赛中，牺牲者将被供奉。但是智取“零之神运动员”还不够。一个人将被戴上零之神的王冠，并被打掉下巴用来祭祀。和多数的宗教信仰一样，仪式的失败并不能改变什么，因为残暴带来希望。
鲁思·本尼迪克特（Ruth Benedict1887-1948美国人类学家，以其对美国土著文化和日本文化的研究而闻名——译者注）之后的另一代人类学家称高贵的玛雅文化是放荡的——但我感觉那是狄俄尼索斯（Dionysus，酒神）的一个污点。这个鲜血浸泡的社会，有其雕刻的智慧、对数字如此聪明、对建筑如此巧妙、理解天文学极其容易；使我想起我的一个聪明而又很神经质的朋友，他某一天出现在我的面前，而没有抽筋。发生了什么？他解释说：“我卖出了我所有的神经病换来了一点精神，并且现在我的生活有意义了。”
第三部分 费尽周折第18节 费尽周折(1)
零的使节
并不是他们独创的残酷方法就能最终使零这个死亡之神不再战胜玛雅人。随着他们的文化逐渐衰落，半个世界远去了，另外一种文化开始传播开来。阿拉伯商人在四面八方传播奇异的货物、传说和技术。我们习惯于只研究他们关心的事情，而他们关心的事情是夜空的星星或无边的地平线。但是他们带来的空的（零）不是原点的一点点（只是在荒野中的他们自己使罗曼蒂克的相遇变得令人失望：对于住在那里的人而言，沙漠中有无数的沙丘和骆驼，充满了意外和事故，而不是罗曼蒂克的背景）。更确切的说，它就是位置记数法中的零，这个位置记数法中的零，阿拉伯商人在印度已经发现，公元773年零同其它印度数字一起在巴格达出现了。因为阿拉伯商人利用这些数字来记录计算板算出的结果，所以它在估计、交易和计算上给阿拉伯商人带来了方便。大约825年，当库霍阿瑞兹米（ ）撰写关于算法的著作时，它们才被直接用来计算。阿拉伯商人的商业不仅仅是原料：带着虔诚的热情，他们对未到之处的各类学问和发明极其羡慕。这些精神的货物，被翻译成通俗的语言，从大马士革（Damascus）、巴格达（Baghdad）以及后来的科尔多瓦（ ）的新学术中心，象丝绸和钢铁一样广泛、迅速地传播。
这个路线可能是迂回曲折的。例如，我们从阿维森纳（Avicenna, 波斯医生和哲学家，名著 医典——译者注）的自传中看出，印度数字大约在公元990年，由伊斯兰传教士从埃及带到南俄罗斯。阿维森纳是一个值得书写的人。他出生于布哈拉（Bukhara, 苏联城市——译者注），在十岁的时候从菜贩那里学习算术，在十七岁前他已经阅读四十遍亚里士多德的《宇宙哲学》(Metaphsics)，但直到花了一便士买到一个小注释后，才第一次理解它。他是中世纪最著名的物理学家，尤其以学术上勇于同感性做斗争而著称。
从阿维森纳的小说《一百个神秘的感觉》（The Hundred Secret Senses）中看到，可能是丝绸之路上的阿拉伯商人，或者是更早时候，佛教徒和印度旅行者把零带到了中国。艾米·坦（Amy Tan）的无知是圣洁的，柯宽(Kwan)的无知却是错误的。
“显然，可能是中国人发明了铅笔，他们发明了这么多东西（此处译者感觉原文错误，“我们”应该为“他们”）——火药，但不是用来屠杀；还有面条——意大利人声称自己发明了面条，其实不然，只不过是在马可波罗(意大利旅行家,商人,1254-1324)时代从中国学来的。另外，中国人发明了数字中的零，在零出现之前，人们什么都不知道，现在每个人都拥有零。”
中国的零在印度的雏形不仅表现为它的形状——点，点可以看作是完美的圈，甚至可以说是圈中有圈——通过发音ling，零的一个特性，有一种留下什么的感觉，例如一次暴风雨过后的最后几滴雨水，或者那些在叶子和雨伞上附着的水珠：记起许多马哈韦日零的同义词中的其中一个，“nabhas”，水蒸气；更精彩的“bindu”本身也是小水滴的意思。
在柯宽的时代，有一次，当学者们漫不经心的摆弄零并认为零起源于道教的空的观念时，它可能与印度的 相互交融（如果你能描绘出一个窟窿和另一个窟窿的混合）——但是那个时代已经过去，像欧芹（一种由培育而成的欧亚草本植物——译者注）一样躺在猜想周围的惯用语——“它可能……”，“我们可以随意想象那可能性……”——已经相互交织在一起并把这些东西清扫一空。
我倾向于认为（我明智地把自己的欧芹移到盘子边缘）：用于被证实为世界上最流行的游戏——曼卡拉（Mancala）（或称为卡拉哈(Kalaha)，或瓦瑞(Warri)，或从阿巴拉拉（Abalala）到尤沃德基（Yovodji）数百的称谓中的任何一个）板，最初是装在阿拉伯或印度商人的鞍袋里，作为计算板它第一次来到非洲。因为，如果它们没有线形排列，而是象你在游戏中看到的几行凹坑，它会支持我的推测，即零使中空的圆圈在这样的低压下显示它的原形：现在不是石头在沙滩留下的痕迹，而是位置本身就存在那样一个凹坑，计算筹码可以放在里面并可以挪到另外一个凹坑内（这样一个凹坑就是零的一个就简便的符号）。对于一个游戏来说，有
一个曼卡拉板
这样一个过去（就是作为检验员的工具和财政署的计算板）当然不是一个意外；因为当不在严格的场合应用的时候——就像书写“阿拉伯”数字的板——它们进入了第二个孩童时期并且又一次变得顽皮起来，这样你就可以把它们作为游戏来玩了。这些古代的曼卡拉板可能使你想知道它们是否跟上或领先于分格计数板（ruled board）。据说这些板被雕刻在卡尔奈克（Karnak埃及中部偏东的一个村庄——译者注）的亚蒙神庙（Temple of Amon，亚蒙神，在埃及司生命和生殖之神——译者注）的柱子上，并且在古代沙漠旅行队沿途的石壁架上也可以看到。我没有把常用的货贝（(从前南亚和非洲部分地区作货币用的）同几乎同一形式的玛雅零相比较，它们是如此的相象，但我还是抵制住了把它们放在一起比较的诱惑：因为，玛雅文化是一个独立的文化，这种比较只能是一种疯狂的想象。
零一定是在970年以前来到西方，或许再早一个世纪，它的名字来自各种各样来源的混合，有的取自它的意义，有的来自它的形状。大部分从语源上显示它们的血统，有很少一部分带着伪装的外表——但是最终全部融进了从中世纪到现在的分支中。
很多西方关于零的名字起源于阿拉伯的 或 ，它本身是印度的 （空的）的一个翻译，但是希腊的“小圆石（pebble）”，作为“计算筹码”，时不时增加了它的含义，还有它们的“容器（receptacle）”，后来也有其他的称呼。那些两种语言之间发音和意义上的巧合也起了一定作用，它们同时给每个新术语一个迷人的共鸣。因此，希伯来语的“sifra”与“ ”相关联，同时可能与单词“crown”和“counting”保持着自己的联系。一方面表示圆（例如rotula和circulus）而另一方面表示空（nulla，nibil），各种各样的中世纪的拉丁名字使它们产生相互联系。春天，无力的西风吹拂着意大利，zefiro，zefro，zevero，逐渐被时间消弱，当它们到达威尼斯时，便变成了我们现在的zero（零）。
第三部分 费尽周折第19节 费尽周折(2)
阿拉伯数字的困扰
象法语中的chiffre和德语中的ziffer变化过程一样，这些名字是表示没有任何数字还是代表通常的数字呢？它们是不是象英语中的“ciphering（计算，算出）”一样代表商人计算的公共艺术，或间谍们的秘密写法（在单词“encipher（译成密码）”和“decipher（译解密码等）”中为我们保持一个低音）？当然，这个困惑代表着前面的麻烦。我猜想这个麻烦的源头有三个，这个麻烦感觉是越来越大：迷信，困惑和不信任。
在西方，在大部分依旧是乡村文化的地方，任何被引进的事物都会受到怀疑。从东方来的所有事物尤其危险，常被视为陈旧的而且十分异端的。这中间被憎恨和害怕的就是摩尼教（Manichaeism，波斯预言家摩尼所宣扬的一种调和信仰的，二元论的宗教哲学，，把世界分为善与恶两方面，或认为物质本质是恶的而思想本质上是善的——译者注），它是公元三世纪波斯（Persian）神话和诺斯替（Gnostic）教派的混合物，通过各种形式延续到中世纪。它在公平竞争的角度看待好和坏，上帝和邪恶在人类的战场上对决产生了它。当结论汇集成为体系时，对我们来说，两个特征始终停留在那个内容上：第一，虚无视邪恶为一体；第二，在存在中可以唤起力量和生命：它们可以通过命名而产生。当摩尼教的二元论被对立的信仰驱赶而隐匿的时候，从黑暗的角落里出现的是临时的庆祝、省去的礼节和需要时候对模糊数字的祈祷。物质变成了迷信，存在的所有更有力证据都没有经过检验。
（此处有一张图片――原书94－95面）图中的每一个单词似乎都可以翻译成汉语的“零”，它主要是讲零的各种各样的形式演化。
因此，在一定程度上，零在形状或意义上与虚无是有联系，从根本上说，必须谨慎的对待它。罗马人在计算的时候总是试图避免这种情况。例如，经度的360度总是从昼夜平分点开始计算的，它位于白羊座的黄道带的标记处。这就是零度，0°。然而，人们通常称它为“第一度”，也就是白羊座1°，大约公元60年普林尼（Pliny）就是这样做得，这样做打乱了他和许多追随者的计算。它可以这样举例：如果你在地上划出四个记号，从第一个走到最后一个，你是迈了三步还是四步？显然是三步；但是牵涉四个记号。为了得到正确的答案，可以称第一个开始的线为“零”，然后你脚踩到的标记数字就相应是你的脚步数。但是，罗马人计算得出星期日后的第三天是星期二；意大利人把第十四世纪称为十五世纪——并且我们所有人仍然称音乐中的C和E之间的两拍为长音的三分之一，从相关的三个音调取这个数字。
当人们把零看的比较神秘的时候，迷信使零和善男信女格格不入。在炼金术中，它的形状就象一个首尾相接的巨龙，一个龙咬着自己的尾巴，形成一个圆圈，炼丹术的转换过程就象一个循环。在魔术中，圆圈无处不在，划分出被符咒镇住的地球。这个圆没有限制在乡下村庄的习俗和宴会中：它再次出现的时候是作为C.G.加恩（C.G.Jung）在治疗精神病时的曼荼罗（mandala，任一种印度教和佛教所用到的帮助禅定的象征宇宙的几何图形——译者注）。事实上，无论何时我们都会对我们自己才智不满，并认为它们与黑暗的神奇力量不相称；无论何时，我们都会感觉古代文明闪耀着比现代知识更猛烈的光；无论何时，事物之间细小的差别都在减少，而且我们认识到任何事物都可以是其它事物，同时它们各自也是它们自己的对立事物——这样，零完美的圆环图案就在我们面前闪耀：零是塔罗纸牌（Tarot，任一种由22张纸牌组成的一套牌，包括一张“百塔”和另外21张画有恶、善、风、木、土、火等几大要素图像的纸牌，用来算命和在塔罗克纸牌戏中用作王牌）中的数字，可以改变你在游戏中的劣势。
阿拉伯数字提供出一套符号，把这些符号写在一起，这样就可以预言你的能力。你可以再次体验困惑的感觉，伴着敬畏和畏惧，就是那种外行人看到一行占星术的拼写时的感受：
这些是什么指令，什么预言？它们仅仅是诺奥麦哥斯（Noviomagus）在1539年写的《数字》中的1到6这几个数字。他声称它们是用于占星术的，但是它们与我们已知的任何数字系统都没有关系。
甚至那些符号和迷信无关，零是一个数字“donnant ombre et encombre”，象十五世纪法国作家描述它：一个模糊、和理解起来困难的数字。它是什么，它如何作用——但是最主要的，他表示什么意思——这是令人困惑的。因为任何有名字的事物（并且零有很多名字）一定是存在的：不仅二元论者相信名字代表真实的事物。然而不存在的事物有名字吗？因为在无和有之间的无限距离不可逾越，所以上帝不可能从虚无中创造世界；对于这个异议，托马斯·阿奎奈(Thomas Aquinas, 意大利中世纪神学家和经院学家, 1226-1274——译者注)无力的回答说把创造看作两种状态（有和无）的变化会使你错误的想象它们之间的差距。
即使你设法忽略零代表的含义，你也不能忽略它作为一个位置符号和它的作用。这对我们这些一直在使用零的人来说是很容易的，但是对于中世纪的多数学家来说是很困难的。想象你自己现在没有零的知识，现在开始学习最早的关于这方面的一本英语课本，The CrafteofNumbrynge（《计数技巧》），这本书大约写在1300年（我已经把书中的单词用现代的英语来书写了）：
广泛使用后这本书被称为关于阿拉伯数字系统的书。并且这本书涉及计数方法，这个计数方法也被称为阿拉伯数字计数法。有一个被称为埃尔格（Algor）的印德（Inde）国王，它开创了这个计数方法……阿拉伯数字系统中，在这个系统中，我们使用印德数字……如果它位于这个规则的第一位，这些数字中的每一个只表示它自己……
如果它位于这个规则的第二位，它表示自己的十倍，就象数字2在这里表示自身的十倍，就是20，因为它本身表示2，2的十倍就是20。因为它位于左边并位于第二个位置，它表示自身的十倍。以此类推……
一个圈表示零，但是，它使它后面的数字代表的更大，同时它自身并失去自身的意义，例如10。这里的1代表10，并且如果去掉这个零而且没有数字在1的前面，它就只表示1，因为它位于第一位置……
也许你现在对埃尔格国王的表达系统没有信心——特别是当你发现也许根本没有这个国王。但是如果你认为我们匿名作者的努力是可笑的，那把你自己放在这个位置，来尝试解释由数学家唐纳德·科努斯（Donald Knuth）新近发明的符号。这个符号在处理拉姆齐理论（Ramsey Theory）中的巨大数字时是必需的。它开始很容易，3↑3表示33，也就是27。3↑↑3可以被理解为3↑（3↑3），也就是 ，，或者327，就是一个相当大的数字7625597484987。那么，3↑↑↑3就被定义为3↑↑（3↑↑3），它就是3↑↑7625597484987，继续往下写就是。
3↑（7 625 597 484 987↑7 625 597 484 987）。
3↑↑↑↑3表示3↑↑↑（3↑↑↑3）并且因为3位于↑3的左边，&……但是，在过去和将来遇到的无穷大之前，可能我们应该到此停止。
然而，可以说你掌握了如何运用位置符号记数的方法。现在，甚至更刁难的东西阻挡你的道路。这些出现时已经不是梭仑(Solon)或波利比奥斯(Polybius)的时代了，当时的情况在统治者的奇想中，差不多就象计算板上的计数筹码,计算者可以把这些计算筹码放在不同的位置来表示大小。秩序是分等级的，从乡村到宇宙；等级制度把你在世界中的位置确定下来。在等级制度中你想寻找平等那简直是寓言。那么从东方带来的这种位置符号能指向什么呢？事后我们可以自信的回答：指向变化。就象画报的空间，它已经被有层次的定制（图形的大小与重要性相一致），然后在通过一个装置从整体来看一下它是否让人满意；因此位置记数法中的零是社会和政治空间的先驱。
当时，如何读它也是个问题，最聪明的脑袋都被这个问题困惑了。甚至晚到1620年，约翰·多恩(John Donne 1572-1631英国玄学派诗人和神学家)在他的讲道坛说：“事物代表的越少，我们知道它的就越少：多么无形的，多么不可理解的一个事物，那么，它就是零！”大约二百年前另一位英国人，托马斯·幼斯克（Thomas Usk）在他的《爱的遗嘱》（Testament of Love）已经得出有点更积极的结论：“在阿拉伯数字系统中，零自身没有力量，然而它却给其他数字以力量。”
位置符号零的一种精彩的理解在十四世纪初期的科隆（Cologne）出现并短暂的闪耀光芒。那时埃克哈特（Eckhart）是德国神秘主义的创始人——一个多明我会（Dominican，多明我会，一个宗教——译者注）的修道士，激进的神秘主义鼓吹者——他曾经这么讲到：所有的创造物都是空无；一无所有将充满这个世界；上帝一定对过去所有的知识和存在撒谎，因此一定是空无，从开始，上帝的创造就确定是无私的，并且现在仍是这样——而且无私的（Abgescheidenbeit）走向零（Nibte），上帝是如此的靠近零，以至于除了上帝什么也不能接近它。这是不是在被上帝抛弃的世界中的一个坚忍抛弃的信息？除此以外：埃克哈特在思想中有一个很不同的幻想，在这个幻想中，他自认为是上帝，并且这么认为，如果任何一个人达到了真正的公正无私，那么他就将成为上帝。在陈述他最后的一个训诫的过程中，他宣布那个瞬间他发现了真理：“上帝和我是同一个人。现在我就是我，并且我既不增加也不减少任何东西，因为我是坚定的原动力，可以移动所有的物体。”当然，那正是零的含义。
即使你接受阿拉伯数字还有它们的零，与计算板相比较，当这些如此难做时，你怎么能相信你的计算呢？一旦你掌握了运算法则，加法相对容易；减法测试你的抽象能力。你是否想“用交叉”，“用折”，“用竖列”或者在对角线上，“通过百叶窗的方法”来学习乘法？无论你选择哪一个都将花费很多技巧（“许多脑力”，就象德国的计算专家亚当·雷斯（AdamRiese）16世纪初说的那样）。
如果你在德国是一个商人，并且把这个事看得很严肃，你把你的儿子送到处理这些事情比较好的意大利去学习，一个在纽伦堡（Nuremberg，德国城市名）的父亲给在威尼斯的儿子写信说，希望他能学会早起，能够经常去教堂并能够掌握算术。在计算板上除法是很困难的——事实上，正是如此困难以至于一种方法被称为“铁除法”（iron division ,divisio ferrea），因为它是“如此的困难以致硬度超过了铁”。但是用阿拉伯数字，当你用勾销的方法去除时，它令人迷惑：你的纸上盖满了一行行缩小不一的勾销掉的数字，结果看起来象正在航行的船只，导致了意大利人称这个计算技巧为“divisione per galea”，也就是“军舰除法”。
在法国用阿拉伯数字系统计算导致错误是很普遍的事情，用阿拉伯数字计算就意味着“错误计算”：一个明智的结论是这样的，当铅笔很少并且纸张更少的时候，你密密麻麻的书写你的计算过程，以至于到最后你没有地方书写你最终的精确结果。如何想象你“飞”过甚至“爬”过这样一个问题的，1489年的教科书着这么写道：
一个人带纽伦堡流通的30便士走进维也纳的一个钱币兑换所。他对钱币兑换员说：“请兑换我的30便士并给我等值的维也纳磅。”但是钱币兑换员不知道他应该给多少维也纳货币。于是他去了钱币办公室，那里的人们建议这个钱币兑换员并告诉他，“7维也纳币相当于9林茨（Linz）币，8林茨币相当于11帕绍德（Passau）币，12帕绍德相当于13维留希芬（Vilshofen）币，15维留希芬相当于10雷根斯堡（Regensburg）币，8雷根斯堡币相当于18纽马克特（Neumarkt）币，5纽马克特币相当于4纽伦堡便士。”30纽伦堡便士能兑换多少维也纳便士呢？
你可能知道结果是 （大约是13维也纳便士，剩余部分建议留作小费）。
一些教师可能没有见过这样的题。Prosdocimo de’ Beldomandi，写于大约1400年，说他在很多不同的书中发现很多不同的技巧，但是在所有这些技巧中，如果你最初算错了就必须全部重来；并且你能在哪里储存半途的结果，如何消除它们？这对他来说都太费力，太苛刻，因此他抛弃了它，在他的书中仅仅保留了对计算完全必要的一点点。
这些技术上的困难，还有把书籍用本国语书写之前，知识传播缓慢，危险的撒拉逊人的魔术增加了阿拉伯数字已经拥有的信誉。甚至当它们开始在硬币和纪念碑上出现来表示日期时，银行仍然不愿意使用它们，并且有很好的理由：零又是一个坏蛋，因为它可以被无耻的人改写称6或9，这些人还可以在它之前插入一个或两个数字。因此在佛罗伦萨市（Florence）参议会在1299年通过一项法令中宣布，当在账本上遇到钱的数量时用数字书写是不合法的：金额必须用字母书写。一本古老的威尼斯课本解释说“老数字（例如：罗马数字）单独被使用是因为它们不象新计算方法中的数字那样容易被伪造”。在帕多瓦（Padua，意大利一城市）大学文具店被要求标明书的价格“non per cifras sed par literas claros”：用清晰的字母而不是用数字。1494年，法兰克福(Frankfurt)市长命令他高明的计算师“禁止用阿拉伯数字计算”。即使是后来到1594年，在安特卫普(Antwerp)的一个教规中警告商人不要在合同或协议中使用阿拉伯数字。我们嘲笑那些不会计算的人——但是在十三世纪他们嘲笑那些会计算的人，因为它们的无用，使“阿拉伯数字”和“阿拉伯数字系统中的零”处于被嘲弄的境地：
一只带角的野兽，一只棉羊，
一个阿拉伯数字的零，
是不是牧师，在这个节日
不祝贺那圣洁的妈妈。
第三部分 费尽周折第20节 费尽周折(3)
今年，明年，有时，决不
正当零努力向西方前进时，这群蛮横的方形脑袋的猜疑将它挤到一边。一个狡猾并且更有力量的关系网很久以前就联合起来对付它，因为随着岁月的累积，知道世界什么时候结束变得更加重要。
因为在公元前一年和公元后一年之间没有零年，所以罗马风格的计算弄混了这个问题；因此千禧年的信徒不得不——象现在一样——费力的计算结束于零的年是世纪和千年的最后一年，而不是下一个千年的第一年(因此对我们来说，2001年1月1日是三千年的开始，而且这年以前的欢庆仅仅是庆祝个别节日的习俗)。尽管经历了无数的日历改革，直到1740年，当掌握巴黎天文台的第二位第四代意大利天文学家雅克·卡西尼(Jacques Cassini)出版了他校正的《天文学表格》（Tables astronomiques）时候（他也一定有把零作为坚定的动者的感觉：就象他的儿子和孙子，他出生在天文台上，在此地，他的整个家庭经历了一个多世纪来探索宇宙和观赏法国美丽的旷野），零年才踌躇地露面。
想知道世界末日什么时候到来：你需要注明相对开始的日期，并理解规定的时间跨度的范围。这就是为什么这种注释和计算的成就建立了基督教年代表，它的目的是——就象研究千年事物的精明学者理查德·兰德斯（Richard Landes）观察到的——“已经注明的是末日而不是开始”。我们已经看到了这些计算，他们的每次精确计算世界末日，都是以一次次失败告终：杜科波尔派（Dukhobors）教徒在循环再判决日的前夜焚烧了自己的房子和世间所有的货物；人们和他们的预言家黎明时在山上的牧场站立，黄昏时又失望地跋涉回家。黑尔·波普（Hale-Bopp）来了——又走了。
然而这些决定性的失望留下了不可计算的价值残余：一种改变了的时间感觉和对历史的清醒目光。
Dies irae, dies illa
Solvet saeclum in favilla —
愤怒的一天，在那天
我们要把数年的财产一起焚烧成灰烬——
如果零日安全过去，那么前时和后时就有新的意义：从零开始延伸为负数和正数，现在不再是时间的终点而是计算的支点。过去的事情要求我们更进一步的研究将来将要发生的事情，兰德斯说，这些破灭的世界末日的诺言导致了寻求“用更长的时间重建一个有希望的未来”：世界末日离我们越远，就越能给我们希望。当然，它不能太遥远而使人气馁，也不能太近而使人失望，但是应该位于适度的时间范围内，至少一代但不超过三或四代。
时间的真实终点：如圣·约翰（St John）预言的那天，在那一天，你将听到一个微弱的声音在说：“一量器的小麦值一便士，三量器的大麦值一便士，”而且天堂就会卷成一个封闭的卷轴，星星将象未熟的无花果坠落下来，四个骑士将在陆地上放纵。实际的这一天是在公元1000年，或者在1260年，1533年或1843年：相信在这一天，在我们中间和周围的魔鬼般的人会焚烧并劫掠财物，因为这里将没有明天。但是清醒的头脑知道，如果明天不是世界末日，明天能够继续到来，那么付出的代价将是巨大的。
不但要避免社会结构的破裂而且要改变人们所认知的世界可能前进的方向，从事物到本质的思想，从前教堂里权威的发言，现在已经变成大声的反对启示录（圣经中的包含预言或象征景象，尤指世界末日迫近和正义者救世的内容——译者注）中的预言。早在马太福音（Matthew，马太耶稣十二门徒之一，传说为新约圣经的第一篇福音书的作者——译者注）和马可福音（Mark，传播福音者）中，我们就被告知天使也不知道世界末日这一天。圣·奥古斯丁（St Augustine）和在他以后的作家们的整个传统（包括比德副主教）就是通过各种各样的方法去除世界末日。从不同的数据，用各种各样不同的计算系统来计算；计算中发现的错误把这个瞬间带得很近。最聪明的是，集迷人的修道士、伪造者和历史学家为一身的安德马（Ademar），故意允许年代表在关键时期变得含糊：安德马在他抄写的年鉴中用诸如“在那些天”和“过一会”的表达来代替精确的日期。
这些惯例——世界末日的先知们在口头上强大一些，他们的对手在文章上占上风——交锋的结果是给日历原本模糊的自然状态上又增添了一团迷雾，在起始点和终点，零不见了，被转移了或者是模糊了它的概念，变成了一些秘密。当它再次出现的时候，几乎没有人再想知道这个答案。
你非常想聆听关于玛雅人的故事——然而两者之间有很大的不同。就象你看到的，马雅人害怕时间是直线的并可能有尽头。为了防止这种情况，他们将一个又一个严密循环的循环强加于它，认为这样可以强制它循环。基督教徒坚信时间是直线的，因此可以在一个末日结束，把他们带到上帝那里并合上帝一起永恒。
那么季、天、周、和月的循环是什么呢？它们既不会在没有宗教信仰的人面前贬值（月亮，在古代他有很多寓意，现在只能和太阳一起对着磨难悲伤，或者支持天空中的圣母玛丽亚（the Virgin Mary））；也不会被重新评价，就象在仲冬圣诞节炉火的燃烧下，在圣诞节共同选择参加耶稣的生日庆典。循环到处游移，所以周就是仿照创造人类的七天，在每周的安息日，通过每周的庆祝，你的灵魂、心和思想变得更好。西方音乐的结构很好地说明了循环对直线的从属关系：悦耳的节奏，伴随着周期性的停顿，通过和谐形式的固定重复，使结束点和开始不相同。从品柱（吉他等的音乐术语）到乐章结尾部，从头到尾，每一段都是非凡的创造。
占优势的信仰线性论（十字架的地位，灵魂的旅程）和属于它的循环符号论（返回周期性和永恒不变性）之间的对比有时导致复杂的妥协或合并：记得艾萨克·瓦茨(Isaac Watts)的圣歌90的译文：“时间，象一直旋转的河流……”——再早时候，象十字架旁边的圆形的浮雕和光环。毕竟，到Compostela圣地的朝拜者运送着干贝壳和手杖。但是，两个观点之间的紧张状态从来没有解决，在零的原始本性上又增加了最后的不确定性，现在，在它们中产生的不同特性的继承者反对把这件事情固定化。
第三部分 费尽周折第21节 费尽周折(4)
它依然前进
尝试借用一些这样的想象，象歌德笔下的人物浮士德说的那样，零在黑暗中劈开一条道路，朝着正确的道路前进。但是历史沿着人类的足迹前进。
1240年，亚历山大·维亚地（Alexande De Villa Dei） 写了“阿拉伯数字之歌”， 1250年约翰·塞克堡斯库（John Sacrobosco ）写了“阿拉伯数字的本地化”。在大学中，每个都十分流行：逐行地传诵、抄写并评论。以速记的形式记录的演讲笔记，从十三世纪一直保存到现在，重复这种科学归功于哲学家阿拉嘎斯（Algus），并用符号 表示零。一些评论员承认自己不理解某些不实用的分类途径，的确，在夜晚的时间里，许多大学学者面对维亚地的诗篇抓耳挠腮，迷惑不解：
Prima significant unum；duo vero secunda；
Tertia significant tria；sic procede sinister
Donec ad extremam venias，quae cifra vocatur。
“第一项是一，第二项是二，第三项是三，并且如此进行到你最后得到的剩余部分，它就称为零（cifra）。”
但是，斐波纳契(Fibonacci，他研究一种整数数列, 其中每项等于前面两项之和)的研究最深、最有影响。他的正确名字是比萨市（Pisa）的伦纳德（Leonardo），但是他称呼自己为俾格莱（Bigollo），一些人后来认为(这个名字)意思是“木头脑袋”，另外的人认为是“旅行家”的意思。他不是木头脑袋，但是他的脸是讽刺家的面孔；12世纪的最后几年，他象商人一样旅行过埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯，观察、询问、比较并带回他所看到的。1202年他出版了标题就让人迷惑的书《关于算盘的书》（Liber Abaci），它根本不是关于算盘（或者说是计算板）的，而是关于阿拉伯数字的问题，这是他遇到的最好的计算体系。
不象维亚地和塞克堡斯库，斐波纳契并没有仅仅转录新的计算系统，而是象数学家那样研究这些工具。这个数列1，2，3……很好：他用另外一个数列做实验，这个数列从1，1，2，3开始，接着是5，8，13，21，34，55——每一个值都是前面两个的和。是一个木头脑袋的愚蠢爱好吗？自然界中处处都可以发现斐波纳契(Fibonacci)数列，从鹦鹉螺贝壳（一种 鹦鹉螺属头足纲软体动物，尤其是 蛛蜂鹦鹉螺，发现于印度洋和太平洋上，具有螺旋形珍珠线的壳，由一系列充满空气的层构成——译者注）到向日葵头上的交叉阴影。一位数学界的历史学家曾经写到：非常遗憾的是，不是世界智慧中心的巴黎大学中的一个教授推定了从比萨来的小商人的精美论证，而是那个小商人自己推定了。
然而，进步看起来好像每前进两步就会倒退一步，好像朝拜者的诅咒或在玩一个孩子们的游戏。卜日马古普塔、马哈韦日和卜哈斯卡瑞把零和其他数字放在相同的地位上的工作没有在向西方传播的过程中幸存下来：斐波纳契谈到了除符号0以外的九个印度数字。零一直没有和其余的9个数字具有相同的地位，直到我们读1300年的《计数技巧》这种情况才有所改变：
…ye most undirstonde that in this craft ben vsid teen figurys，as here bene writen for ensampul， 98 6 321…in th quych we vse teen figurys of inde …
零象一个真实的数字被对待之前，几乎又过去了二百年：1484年里昂（Lyons）的一个内科医师尼古拉斯·恰奎特（Nicolas Chuquet）在解二次方程式 中的x时，通过他的方法 ，并注释“因为4－4=0，2加上或减去0还是2，因此这就是我们寻找的数字”。但是他的著作，Le triparty en la science des nombres，直到他死后才出版，以至于零的地位正确确立前又有很多时间流逝了。
其间，上升的商业趋势提高了对仔细计算和交易档案的要求。正如你看到的，阿拉伯数字被教授给大家用来计算但是不被信任。陈旧但是好用的设备在持续，例如符木棒，在英格兰甚至晚到18世纪还在使用（一个世纪后，着火的符木棒堆烧尽了国会大楼）：长度方向的刻痕记载着应有的数量；然后棒子从中间被截断，一部分由债务人保管，另一部分由债权人保管：它们独特的用途是防止欺诈。面粉厂主通过绑扎绳子的方法显示麻布袋中面粉的品种和数量；而且每一个人，商人和银行家，久经世故的人和文盲，知道如何用手指计算到一百万的和。
但是，计算板仍然是要被打倒的对象。当封建主义离去，在更加动荡的社会中，等级的不确定性又重新出现，对计算器拍马屁者又出现了。起初，它使这里等级制度的稳定性与那里的平等相比较：
对计算高手而言，所有的计算筹码都一样，并且它们的价值取决于他把它们放在什么地方。正是如此，人们在上帝面前是平等的，但是根据上帝把他们放置的位置的不同，他们是又是不平等的。
马丁·卢瑟（Martin Luther，1483-1546德国神学家、欧洲宗教改革运动的领袖——译者注）就是这样。两个世纪以后，一个国家消失了，但是，我们有了下面的诗歌：
Les courtesans sont des jetons，
Leur valeur depend de leur place：
Dans la faveur ，de millions，
Et des zeros dans la disgrace!
意思也就是：
奉承者仅仅是计算筹码，
它们的价值取决于它们的位置：
有利时，它们价值一百万，
并且没有什么丢脸。
（持久的暗喻是社会稳定的气压计，这个习惯几乎可以写出一篇评论，你还可以看到希腊历史家普卢塔克(Plutarch)的变化：“在计算上，就象手指有时候价值10 000而有时仅仅是1，国王的喜好可能什么都是或几乎什么也不是。”评述罗马人对零的无知。另一方面，评述法国警句家对计算板如何使用的明显一无所知。）
任何一个人在认识它之前，这场斗争中决定性的打击降临了：它也是对零和西方思想进程的一个决定性的打击。事情是这样的。1340年前的某时间，在意大利，对精确计算的需要引起了复式记帐的发明。象所有伟大的发明一样，概念很简单：在你的交易账目底帐的同一页、平行的专栏，记载贷出的和借入的帐目。如果两者的差别是零，你的收支平衡，表明你的账目保存得精确。那么利润和亏损呢？通过第二个利润和亏损的名义账目，它们双双加入其中；比方说，利润从第一个账目转移到第二个名义帐目，为此，这种转移作为交易账目借入的列出。从第二个账目的不平衡你可以立即看出你的生意做得怎么样。你可以通过将利润转到第三个资金账目来重新平衡那个账目。
零担当的任务符合作为预言世界末日失败后充当的角色：正负数量的平衡点，就象在过去和将来的时间。和这些思想的新途径一起使负数和对应的正数一样真实；它们之间的相互抵消反过来又重现定义零的概念。
但是这仅仅是一个新开始的开始。谈及你处理的事物，为此创造了交流的技能：在交易的过程中你的行为对别人和你的影响情况。玛陶斯·施瓦兹（Mattaus Schwartz）是雅各·富格尔（Jakob Fugger，德国金融世家——译者注）的记帐员，1518年在他的计算手册中写到复式记帐是“你看到自己和别人，问题和答案的一面镜子”。现在，一旦一种说话的风格建立起来，事实上它就允许并鼓励你用以前不可能的方法进行思考。难道这个新技能没有通向物理学中守恒定律的内容吗？物质、动量、能量既不会被创造也不会被消灭，但是可以交换——象牛顿第三运动定律：对于每个作用都有一个相等的反作用。
第三部分 费尽周折第22节 费尽周折(5)
再一次的：仅仅复式记帐法才能很好的工作，1494年威尼斯的卢卡·迫希利（Luca Pacioli）出版了一个重要的总结，把这个问题弄明白了，它给每一个商品用一个数字的值来代替，甚至那些无形的坏帐和好的愿望也用数字来代替，甚至减价和涨价的部分也要算进去。仔细的工作能让你获得的更多。先前，1－9的数字才称为“数字”，而零仅仅称为一个“符号”，从这件事开始，它们都称为数字了。
阿拉伯数字沿着曲折的道路前进，典型的商人都是使用这些阿拉伯数字在他们的计算板上来计算，然后再把结果转化成罗马数字或者单词才写到他们的帐薄底帐上。这些新的阿拉伯数字符号慢慢的驱逐着罗马数字和单词：你发现这些新符号出现在商人帐薄上，这些商人来自普拉托（Prato）、弗朗西斯科（Francesco）等城市，在1366年，罗马数字和单词表示数已经一次又一次的被人们抛弃。这些阿拉伯数字在秘密的途径中徘徊，从发票到记帐本都在慢慢的引入它们，但是那些小心谨慎的人依然按老的方式来处理他们的问题。在卢卡·迫希利的时代，罗马数字就仅仅主要用在书写日期和正式文档上的印章——但是，最终结果的书写方式与它的计算过程的书写方式不同。
使用计算板和计算筹码的算盘使用者与使用阿拉伯数字来计算的人们，这两大竞争阵营一定是早已经形成了，我们从13世纪初的一个流行的德国民谣中可以找到一些证据：
Nun ist auch hi gesundert
Lot vurste von Norwige
Lchn wiyz，mit we vil hundert
Ob Algorismus noch lebens plege
Unde Abakuc de geometrien kunde，
De heren vil tzo scaffen
Solten se ir allen tzal da haben funden。
现在看看这里
罗德（Lot），挪威的王子
我不知道他有多少财富。
如果懂得阿拉伯数字的那个人一人活着
那个洞的算盘的人也活着，他精通几何学，
他们也要花费很多时间来计算
计算他们所找到的一切
曾有半心半意的尝试合并这两种方法。你回忆一下，吉尔伯特的带数字的计算筹码，制造出了关于两者流传很久的荒谬的话（到十二世纪，用算盘者被称为吉尔伯特的传人（gerbertistas））。在法国计算板上的线一度被特殊的、不起眼的可以显示位置值的计算筹码所代替（是不是这些，或吉尔伯特的尖体，导致了法国诗人误入歧途地把筹码看作零？），同时，在英格兰，计算筹码被捆成柱形换取英镑、先令和便士，通过这种方法显示它们的价值。或许你也可以从这些安排上体味出这些行为古怪的人的偏爱程度。
随着斗争的升级，更精明的作家在两个方法上都下了赌注。1493年在德国，阿尔瑞奇·瓦格纳（Ulrich Wagner）发表第一个算法，并且他讲授“在线上（在算盘上，为了方便有对应的线）计算和用数字计算”。这句话在其后出版的众多书中变成了“在线上和用羽毛管笔”，就象1537年在圣·奥尔本斯（St Albans）的《用鹅毛笔和计算筹码来计算简介》（Introduction for to Lerne to Rechen with the Pen or with Counters）中就使用了这样的话。但是一个父亲会怎么做，送孩子到用算盘的人那里还是用阿拉伯数字的人那里学习呢？1529年亚当·雷斯的关于计算的第二本书出现，它的首页显示一个潜在的顾客犹豫不决地看看这个，瞧瞧那个。在书中亚当·雷斯这样评论：
在教导年轻人时，我发现利用计算筹码来计算的人比那些用阿拉伯数字和鹅毛笔来计算的人更熟练、更快。利用算盘计算的人结束计算……并且很坚定自己的结果。 用阿拉伯数字来计算的人完成这个计算有一点麻烦。
这一定很像象现在困惑的父母所面对的，到底该决定他们的孩子是用读音教学法还是用字母识别法来学习呢。
1535年，德国的一个木版画上，显示一个人教一个孩子成长为用算盘计算者，上面显示有这样一个句子：“当这样的监护人犯错时，他也可以从他的监护偷窃。”大约相同时间，在英格兰，有一个叫约翰·佩尔戈瑞瓦(John Palegraves)的这样宣布，他用阿拉伯数字计算能比用计算筹码来计算的人快六倍。虽然用算盘者进行了一场很长的后卫战斗，由15世纪进入16世纪之际，零已经打败了他们。从出版于1503年罗马教皇的一个木版画上你可以看到用阿拉伯数字计算的十进制者的胜利。在这幅画上，计算的灵魂对波伊提乌给予赞许——当时被认为是数字的发明者——波伊提乌笑了，当他指向桌子上的一个零时，他的右手准备继续计算。但是毕达哥拉斯——代表用算盘者——烦躁的坐在他的计算板旁边，显然地仍然在计算2乘1421，此时波伊提乌在飞快的解决一个更棘手的计算。
阿拉伯数字的胜利
1514年，都拉（ ）的成对雕版的线条极佳，我赏识底座上面的两个图形：“圣·杰罗姆（St Jerome）”和“麦林考利亚（Melencholia）”。他们的表情相同，画中明暗分布合理的光线、圣洁的桌子、透视的画法也相同。我们知道都拉很熟悉雷斯奇(Reisch)的书，因为,正如艺术历史学家埃尔文·帕诺夫斯基(Erwin Panofsky，1892-1968德裔美国艺术历史学家)指出，麦林考利亚图形周围的随身用具可以在另外的木版画中找到：与雷斯奇书中的一样。都拉的目的是什么？难道他是为了比较不信教世界的挫折（雷斯奇书中的毕达哥拉斯变成了研究几何学的麦林考利亚）和基督教带来的满足：圣·杰罗姆为了基督教折磨波伊提乌？
然而亚当·雷斯是正确的：算术中，熟练用算盘或用手指来计算要比用羽毛管笔计算速度快（除了那个杰出的约翰·佩尔戈瑞瓦）。那么他们胜利的意义是什么呢？这就是我们很久以前就问的关于身体和思想分歧的问题。无言的操作会把你和锐气与荣誉带到算术的最远边缘——但是你一旦穿过边界进入代数学和所有的数学领域，它就会让你束手无策。在那里，思想通过符号传播，符号被称一种可以讨论自己的语言；提升形式远离他们限制的主旨，变为抽象真实的。它是一种可以让我们详述关系的语言，给我们无声的行动提供持久的支持。
当零作为一种操作用的符号加入这种语言时，这个语言自己形成了一个体系：通过改变阿拉伯数字的位置来改变其数值大小。这就打开了给予表示数量和表示作用于它们的操作的符号以相同地位的大门，反过来，现在全部符号都服从于抽象的作用，而且不断地服从于其它的，每一个都享有特权，定义着这个语言的标记：无论一个操作或关系在哪个层次中，在它们的常用语法矩阵中，它都是用一个和其余一致的符号来表达。作为这个语言中的一部分，这些符号可以看作是超越它们自己的。
第三部分 费尽周折第23节 令人愉快的天使(1)
零的力量
既不是奥维德（Ovid，罗马诗人）传说中的博西斯（Boucis，贫苦老妇，因与其夫菲勒曼（Philiman）款待下凡的神而得到好报）和菲勒曼这对虔诚的老两口；也不只是德高望重的亚拉伯罕（圣经人物，相传为希伯来人始祖）和撒拉（Sarah）；我们中的每一个，个体或群体，都曾经在毫不知情的情况下款待过一个天使。我们只是不知道站在门边的陌生人是谁，不知道在每时刻闪在我们思想的窗口一闪而过的成千上万的信号中的哪一个，不知道我们浏览而且跳过，忽略过的符号中的哪一个，聚集着可以揭开秘密的巨大力量，哪一个指向我们面前四散的光线的焦点。
零一不小心就跌进了文艺复兴时期，这时阿拉伯数字已成为我们计算中不可缺少的。但象所有故事中有法术的助手一样，零是如此谦卑，如此不动声色地清理我们的垃圾箱，我们却很少留意，也不够尊敬。一旦它成为一个象其他数字一样的数字时，总在我们参加舞会时它被用来打扫家庭。
你知道在故事中大人回家时是什么情景：喜欢恶作剧的小孩疾步走开或者藏起来，但看上去总留下了恶作剧的令人不安的痕迹。看看我们发现了什么。我们认为在第七章已经解决了一个问题， 因为太大而不能表达任何东西，它可以是任何一个数字。但如果a是0，它还成立吗？ 和 或 一样毫无意义吗？可能存在这样的环境，所有的数字，象四目相望的眼睛一样排列在 两边呢？在我们的数学思想中一场革命潜伏在文艺复兴的轮廓下，一旦爆发，我们所有的小小怀疑都会一扫而光——或者变成新的确定不疑的事物。
但是直到这种幕后活动的自身向我们施加压力；让我们享受到这项印度人的发现的乐趣，这项发明才在意大利，德国，英国和法国被扩展。他们坚决地阐明了零与加，减，乘，除结合时怎么运作，现在我们理解了它怎样走向疯狂和被迫分开。如果我们仍然不能解决 的麻烦，为什么不转而考察零在幂中的运算呢？这些更复杂的相互作用应该能够弄清楚零和其他数字一样。57意思是5·5·5·5·5·5·5，或者说是78 125；75意思是7·7·7·7·7，即16 807。幂是特殊的乘法，就象乘法是特殊的加。
如果我们使零的其他幂都没有问题，05是0·0·0·0·0，仍然是0，但是交换它们的位置，50是什么意思呢？如果你试图围绕这个问题进行哲学的探讨，就会陷入可怕的猫的发源地。它是5一次也不乘自己吗？如果这样，结果是0或者没有意义？既然51=5，50更小还是0？那么5-1呢，更小，是-5吗？听起来不可能。50是5根本不乘方，只是5吗？那么51=5，会导致不可能的1=0的结果。
走出这个迷宫的数学方法是一只手紧紧地放在困住你的墙上，跟着你的脚步，不管把你带到哪里。我们理解57是什么意思，也理解54。也同样理解57•54吗？当然，那是11个5相乘，7+4个。 呢？写出来看看：
有什么方法来简化这个分数吗？可以免于做完所有的乘法再相除吗？是的。这里隐含着 ，有四个 ，所以1•1•1•1=1，还剩5•5•5。换句话说，
在57•54中把指数相加得到511，同样简单地， 中进行减法7-4得到53。
这是我们需要的线索，接下来回到迷宫深处米诺陶洛斯（minotaur，希腊神话中的半人半牛怪）那里。任意一个数字减去自身都等于零，——比如7。因此， ， 正好等于1，因此50=1。既然5没有任何特殊性，这个规律一定普遍适用：即a0=1，a可以是任何值。这个结果可能奇怪而且出乎意料，却是可靠的。
但是现在我听到一个声音，好象来自主显节（宗教节日，1月6日）的观众。“任何一个数字都适用吗？”它问，“如果a=0，00等于1吗？”很不幸不能使用我们的新规则，因为 ，每个 都把我们带回我们假设成立的问题中了。
零，象远古的混沌初开，又重新松散，而且在指数领域变得更庞大。它看上去更象舞会上挑起争斗的布里多尼海角的亡命之徒：“躺在地板上，谁能把他放倒？”让我们试试。如果是指数使我们陷入困境，或许还能带我们走出困境。毕竟，它们不就是一个用来帮助我们的符号吗？它们带来简化和促进，它们的意义灵活扩展到除数字计算外的领域（象我们所看到的），已经不是我们的老相识丢番图创造它们时那样了。
指数的精彩之处在于，当我们扩展它的含义时，要使新用途与旧有的前后一致，事实证明我们被迫只能用一种方式。事实上，虽然它们是我们的创造，而且我们有自由的想法，但是只能与我们已经创造的那个世界保持一致。这是透过数学对人类状况的伟大洞察。
通过把指数扩展到更一般的数字，象负数和分数，试图来理解什么是00，我们对指数相减的理解告诉我们 。换句话说， ，把每个 变成1，等于 ，所以我们不得不定义 ，同样地， 等等。对于任何a， 。
那么象 这样的分数指数呢？记得53•54指数相加得到57。所以 。就意味着 是自己乘以自己等于5的数字——仅有 这样的数字才能满足。同样 ，等等。得到这样的装备之后，我们可以试试把00从地上拉起来。
你一定同意03=0（因为03=0•0•0），02 =0，01=0。现在我们知道 ，卜哈斯卡瑞证明了 。同样地， 也是0， 等等也都等于0，以这种方式慢慢接近零（使指数趋近于0），这会比断言00=0更令人信服?
以下是更加或者同样令人信服的。50，我们自己证明了是1，40和30，20也是，它们每个都等于1，10也是等于1，事实上， 也一定是1，所以 等等也一定是1。因此，如果你以这种方式逐步接近00——指数保持0不变，底数减小趋于0，很显然00=1。
我们怎么办呢？是0还是1，或者两个都是，两个都不是？那些为指数发明出过力的人比比皆是：有一个叫尼科尔·俄瑞斯穆（Nicole Oresme），他是诺曼底主教，大约1360年某个时期创造了分数指数——但是没有0指数。100年后有我们上一章提到的物理学家尼古拉斯•丘凯(NicolasChuquet)，他提出了a0 ，但没有分数指数。在互相向对方说明自己的发明时，只有摇头，因为他们对嘲笑他们的趾高气扬的大人物无能为力。还有路德教会的牧师迈克尔·斯梯费尔（Michael Stifel）：他因为试图揭开圣经中的数字的秘密而成为一名数学家，60年后丘凯明白了如何使用零和负指数。或许他知道如何去做——但我们只听到他说：“关于与数字有关的绝妙事情我可以写一整本书，但我必须避免而且闭上眼，听之任之。”
我们已经拿出了一碗牛奶给零，而且它已经长得结实了，它打算向我们揭示自己的秘密吗？不——但是可能有所转变。零发展成为一种给其他数字赋值的数字已经很久了。现在，在数学向抽象化和普遍性发展趋势的驱使下，它也正在转变为一种知识，给其他知识赋以价值。成为哪种知识呢？当然是零的知识。为了扮好角色，它最初将不得不伪装前行。
第三部分 费尽周折第24节 令人愉快的天使(2)
懂得蹲下
在我们还没有注意到的时候，零的伪装在装备上有了发展：查明数字大体特性的装备。因为数学是一种艺术，它的制造者热衷于为它演出创造新的场景——就象小说家把人物放在特定的背景下，通过人物行为展现情节（因为人物是“命中注定”的）。由于小说是我们现实情形的浓缩，这并不象听起来那么虚假：因为想要知道主人公怎样生活，你只能关注情节的变化。不管怎样，你可能会认为数学象天文学，以很大的尺寸移动，有庞大的数量和无休止的数字。
但是想象一下，一个小孩子吹出的浮在夏日空气中的肥皂泡。不管小还是大的，每个都是一个完整的世界，表面闪烁着象陆地一样班驳的色彩。一个数学家也能创造这样的肥皂泡世界：从一个点，然后循环回到原处。举例来说，如果把无穷大的宇宙压缩到0到11，这些数字会有什么奇异的举止呢？它们自身的更深层的真相也会在这个微观世界得到展示吗？做做加法：2+3是5，1+8等于9，但是6+7呢？不可能是13，因为在这个世界中没有13。6+7又等于1，因为经过一圈循环13与1重合。就好象我们在运用有相同间隔的从0到11的钟表进行数学运算。如果我们从1到12一个单位一个单位地移动数字进行计算，就成了我们熟悉的钟表。那就意味着在这个玩具房子一样的世界里，12扮演着0的角色：把它与任何数字相加，都得到这个数字本身。（3点以后的12个小时是3点，11+12=11）
如果这作为一个太微不足道而不值一玩的游戏打动了你，那些令人吃惊的人，速算者将严肃地演绎它。他们能很快地告诉你一百万小时以后的时间。假如现在是上午10点，一百万个小时包含了很多个12小时，但是都不会有什么改变，减去这些个12，余下小于12的数目，就是正确的时间。一百万除以12，余数就会告诉你答案。由于余数是4，时间就是上午10点过4小时或者说下午2点。心算这个除法似乎不是一个小技巧。观察一下，100除以12余4，继续相除，得到一连串零，余数一直是4。只需要进行一次除法，我们就可以得出答案，是10+4=14点或者下午2点。
如果今天是星期二，一百万年后的今天是星期几？在这里实际上7就是0，我们回到开始的一天。好象日子在一个标有从0到6的钟面上滴答而过，仍然是10 000 000除以7。商并不重要，但是余数重要，它是3，星期二之后三天是星期五，这就是答案。
17世纪的法国数学家是最先组织起来，而且研究这种闪光泡泡的欧洲人。但是玛雅人领先于他们很多，他们制定了复杂的历法，仅仅通过除以很大跨度的时间，13或者20或者别的他们基本时间周期的长度，得到的余数而完成历法的。所有的这些发明都有一个生物学依据，当我们让它自由发展的时候，我们的内部时钟都以24小时的生理节奏来运行，我们周围生物世界的每个和谐个体都有自己归于0的数字——这些不同旋转周期的齿轮充分啮合，才使整个生物个体继续下去，乃至进化。
这些缩小了的世界生动地展示了艺术是怎样从生活中抽象出来而数学又是怎样从艺术中抽象出来的。在法国人开始清楚地表达他们的闪亮小球之前两个世纪，德国和荷兰的木雕家用黄杨木造出精致而细小的山水画：罗德和她的女儿们；有狩猎野猪和兔子的精细场面；希巴女王拜见所罗门国王情形——每个都是手掌大小。在这些坚果壳上，表示数字的图画，任何一个整数都可以担当零的角色，这种做法给了我们关于重复现象问题的答案。
如果在所有这些以不同节奏脉动的“宇宙”之间，在关键的构造上的相似，将是一件精彩的事情。当我们重新审视指数而且看到它们在这些环境中令人吃惊的运作方式，问题便得具体化。例如，最新的密码学的核心领域。现在我们的旅程将把我们从“零”的知识带到“零知识”。
思考一下，我们提到的标有从0到6的 “七日钟”。从它们当中任意选择一个你喜欢的正数（象打牌作弊者所说的）——例如3，并且乘6次幂，即36=729。如果除以7，将没有余数，现在用729减去1得到728，除以7后依然没有余数：36-1在这个时钟上也是同样的0。试另外一个数字，例如2。26-1等于63，又是这个系统中的0，以1，4，5或6的任何一个数字的6次幂再减去1，你将得到同样的结果。
费马
这是一个特殊现象吗？因为使用了“七日钟”或者用作指数的6（＝7-1）才出现这样现象的吗？非常值得注意的是，答案是不。如果你使用有从0到4五个数字的时钟，每个数字乘4次幂减1，会回到0，比如34-1=80，除以5之后没有余数。为什么在这儿停顿？一个有从0到18的19个数字的钟，把上面的每个数的18次幂再减去1，再除以19都会得到0。（如218-1=262 143，等于19×13 792）不经过计算，我就能知道1322-1可以被23整除，而且（如果你真地想要阿基米德的庞大数字）
（273 889 154 767 432）1 111 111 111 111 111 110-1
可以被1 111 111 111 111 111 111整除。我们怎么能这么确信呢？因为法国律师，业余数学家皮埃尔·费马(Pierre de Fermat)的“费马最后定理”最近得到成功证明，这个定理在1640年提出，现在被称作“费马小定理”。如果我们认识到数字的搀杂性理解这个定理就简单得多。5，7，9，23和上面的庞然大物是质数——除1和自身没有其他的因数。任何一个质数（记做p），比它小的任意一个整数（记做a）的p-1次幂再减去1都可以被p整除，费马对这个定理进行了猜测和证明。
这么讲他的结论听起来太难以理解，而且太无实质内容。如果这么说会更生动一点：拿p除ap-1-1没有余数。或者这样更多地让你想起劝戒人的禅语，就把这个谜语放在一边，但是保留禅语嘲弄无知的本质：
在p的世界里，
你不能把ap-1去掉1
与什么也没有区别开来。
看上去我们已经从用零的符号表示各种不同数字的时代，过渡到了用各种不同的数都可以代表零的时代（在它自己的泡泡里），关于费马小定理最令人眼花缭乱的一点是它不仅揭示了循环周期为p的世界中的共同特性，而且还有面对质数的令人胆寒的忽视。我们正在逐步接近零的知识：给出一个质数，我们无法知道怎样得到或预知相邻的另一个质数；我们知道这对所有的数学家都至关重要。但是它们的伙伴（如果它们有一个的话）总是躲避我们，虽然已经有很多人奉献了毕生精力。
这种忽视怎样增加了我们别的方面的知识呢？让我们抽取在各种时期数学上发生的5种不同方式。让你自己保持舒适，品尝一个蛋白稣饼，一盘布丁或者任意一种在伊丽莎白时代称做空盘子的起泡甜食。
据透露，编码人最近发明的一项几乎不可破解的密码，正是继续利用我们对质数的忽视。这个非常令人愉快的小把戏在这里被向各色人等公布，它看上去恰好是解码的关键。两个数字，n和e，当你的部门代理人想要向你传送关于鱼雷导向系统的详细说明书时，她仅仅用n和e对消息进行编码，只有你才能解开。那是为什么呢？因为e在n上遵循循环分布的方式，n是你们自己的两个秘密的很大的质数，我们称做p和q（“很大”这里指大约150位）。任何一个知道他们的人都能够破解这个消息。反间谍活动为什么不从n次幂这方面入手呢？因为n太大了，有些为300位之多，甚至是一系列最快的计算机也不能及时完成它。
不管怎样，在这个程中有一个症结存在，像在一个炖兔子的古老食谱中叙述的那样：“首先抓住你的兔子”。使用这个密码你同样必须找到两个大的质数，p和q。有无限多个质数，而我们只知道其中非常少的一丁点。但是费马和他的费马小定理帮助了我们。你知道如果p是质数，而a是小于p的任意自然数，那么ap-1-1在一个周期为p的循环中是0，这就意味着，如果ap-1-1在这个循环中不是零，则p不是质数！这就给你了一个找到想要的大的质数的途径。随机造出一个足够大的数字作为P的候选者，选择一个a，比如2，乘幂p-1次然后减1，这是计算机擅长做的一类事情，因此，让你的计算机做这个工作，而你可以再吃一块蛋白酥饼。把结果除以p，如果有余数，那么p不会是质数，再做第二次选择（你也可以把这种选择交给计算机来完成），再试试。
如果没有余数，p很可能是一个质数：它是合数的可能性不到1/1013；如果这个几率不能让你满意，用一个不同的a实验一下p，比如3。每一个“证人”a的成功验证（显示ap-1-1相当于0）都极大地改善这个几率。一旦感到满意时，以相同的方法找出一个q。现在使p和q相乘，自己记下他们而公布n和有联系的e，然后等待，这个除了你没有人能够阅读的编码的消息就上路了，游戏结束了（但是,不是你希望的快步舞曲）。
这里有第二个瓶子，装着“零知识的证据”：一个发现某人是否是他自称的人，虽然你自己不知道向他提问的问题的正确答案。在这样荒谬的情况下，略作停顿来品味一下酒的醇香。现在让我们作如下假设（按照神秘的传统），一个似是而非的陌生人声称他是双胞胎安(Ann)和安妮（Anne）失散已久的哥哥。作为被他们雇佣的律师，你不能花费自己的时间来区分她们，但是他应该能。那么，你让他坐在塞得满满的起居室中，让双胞胎之一进来，你问：“她是哪个？”他很快地说：“安”她确认了。她离开后你重复这个过程，“安”他说，又对了。你继续进行。让一个或另一个随机地进来。他一次次地猜对。你仍然不能区分出她们，但是大约三十次成功的认证之后，你知道这个家伙似是而非的几率不到10亿分之一，因为他不是一个陌生人。你使家庭重新团圆，收取佣金，安妮还是安把佣金递给了你？故事的含义是，虽然你既不知道双胞胎哪个是谁，对她们哥哥怎么区分一无所知，但是你知道“正确的事”。
拆开第三个瓶子：一个大酒瓶。由于容纳了太长，太错综复杂而不能检查的数学证明而不得不这么庞大。如果你想知道这是怎么回事——因为一个人的发明，另外的人可以随意跟随——理由是一些最近的证据包含了如此多的事例，而只有计算机能够一一核对，所以我们就会任凭它可能出现在逻辑、程序或执行上的错误的摆布。不管哪一个人能够运行，另外的人只要足够狡猾，就能进行检查。首先在于重写传说中的证据，这样可以找出几乎所有地方的错误，好象错误以一种审讯所惧怕的气势传播。然后你仅仅为计算机编程来随机抽取重写出的证明。如果没有找到矛盾之处，证明几乎是理所当然的可靠（把错误的几率，据一位专家说不到1015分之一）。在这方面，同一个专家偶然间宣称：“在一个SUN工作室中，关于氢原子大小的论证的一分钟的结果，如果用文字写出，可以填满我们已知的整个宇宙。你找不出一个更加引人入胜的例子来证明，思想的所及已经超越机器的掌握——以不知道错误是什么为代价来交换。
第四个瓶子是小的：里面盛着的大庄园的气息使你眩晕。这葡萄酒用一无所有挤出的，但是对事物的判定或者“是”或者“不是”，没有第三种可以假设的情况。如果你接受这个阿里士多德称呼的“排斥中立法则”，就可以接受“矛盾证明”，象你在73页证明“被零除是不可能的”的方法。例如使用这种证明方法来证明，如果你在一个小的密闭的盒子中放入无穷多数量的点，它们可能稀疏地分布在这儿或那儿，但至少有一个点被其余的点簇拥着，不管你多么接近它，都会有无穷多数量的点包围着它。这个点在哪里呢？证明不能告诉我们。为什么其余的点聚集在这儿而不是别处？还是没有答案。这个证明实验只说明了这个特别的点是一定存在的，但没有给你任何关于它的别的最微不足道的暗示。因此，它总是用反证法来证明的，这种情况令人不满意，就象叫住一个陌生人问他：“是否知道时间？”他回答：“是的，我知道。”然后继续前行一样。
瓶子藏在后面，而且是用厚而黑的玻璃制成，所以我们甚至不能判断出是满的还是空的，上面有一个用神秘的笔记写出的数学推理方法的标签。这里有奥地利逻辑学家库尔特·古德尔（Kurt ）在半个多世纪前提出的定理。他们为我们一无所知的一个曲线求一种令人昏晕的旋转方式。因为，我们总是认为我们的确定是黑暗中的一束光线，而且我们相信这种光线已经而且正在扩大，所确定不疑的东西将会扩展直到晦暗变成只是遥远的地平线。
古德尔（关于他有一个标志性的故事，讲他从不说任何错误的东西，由于他认为留下任何未完成的句子都是失败，所以他的言论在完成前总保持连贯）证明：一个陈述的正确性不能在这样的系统中被证明——这个系统本身也不能证明是正确还是错误。很奇怪地，这样的陈述以正确的方式表达却不一定也能证明它们事实上是正确的。即使它们能够被证明，却不是在这个体系中，而是一个自然地充分延伸的体系中（这样就会引起新的不可确定但是正确的命题。仍然可以在新的体系的延伸中得到证明——这样永无休止）。这样的一个僵局印证了棋局的规则；但是这里的走步和规则同样重要。
如果托马斯·尤斯克（Thomas Usk）与我们一道，他现在会正低声说，一无所知无法表示自己，但对其它的有重要意义。
第三部分 费尽周折第25节 令人愉快的天使(3)
观点的构造
这五次前往数学艺术的旅行是在零的精神的指引下，以无知为主干进行的，虽然数学首先而且最重要的是一门艺术，但是它是被科学用来揭开宇宙秘密的艺术。现在零将出列来领导这场揭示行动。所有我们在物理，化学，生物学方面的进步，在工程学和经济学上的成功都来自于对这种悬而未决事物用形状和数字语言的表达上。在我居住的马萨诸塞洲的剑桥，在一个清新的春日，我坐在查尔斯·瑞尔（Charles River）旁边，一个白发老人停下来，坐在我旁边的凳子上，指着安德森桥对我说：“你看到那些拱门了吗？我教了它们三十年。”
那些拱门被设计得能够体面地，安全的承受压力，设计它们意味着首先要确定压力数据，对自然界和装置的数学化一部分甚至在卢卡•迫希利之前就开始了，给可以设定的每样东西赋值。我们征服世界以方便我们自己，确定堆积的方式（使地球表面与石头的弧面互相抓合在一起），这些是通过用数字描述的方程，那些满足最低要求的结构象考尔德动的雕塑一样完美平衡。我们为未知数配对，使之满足我们给予的约束（房子能造多高，位置在哪里？怎样剪裁衣服来适应布料）。
把我们周围的拥挤和喧闹转换成为方程是一半的艺术，解决它们是另一半。这不是在过去时代为数学家呈上的象在今天学习代数学的人面前一样的一块蛋糕，散发着不可抗拒的魅力（他们没有可以帮助他们的老师，在抽屉里没有解答书）。方法来自于千方百计地解方程，用正确的方式提出问题。原因与“芝麻开门”一样。就在这里，零充当了重要的角色。阿拉伯数学家很多年来用象“完成正方形”这样的巧妙方法来取笑他们的二次方程式论。我们的代数学（algebra）一词实际上来源于 的书 的标题，这是我们已经看到的，我们的翻译都来自从“复原与还原（Restoration and Reduction）”到“完成与比较（Completion and Comparison）”
代数学是怎样做的呢？这个原理总是用方程来形象地说明：
X2-39+8X=-2X
用一位历史人物的话说，这个方程象一根金线贯穿了从825年的 以后的四个世纪，现在已经经过了十二个世纪。首先“还原”它，把负项移到另一边，变成正的，就是：
X2+8X+2X=39
然后“简化”成为X2+10X=39，即合并同类项。现在你可以象侏儒怪那样运用灵活机智来逼出未知数，告诉你它的解：这个例子中是3（-13也可以，如果允许负根值）。
唯一的问题是你需要不同的方法，在我们今天看来一点都不清楚明了。奥马尔•凯亚姆有一种解决形式符合X2＋pX＝q类型方程的解法，另外一种是解X2＋q＝pX，第三种是pX＋q＝X2。面对这样详细而且分散的形式，会急切的等待统一。就像孩提时面对词形变化表。类型总要包含一个是否所属的判断，我们没有失望，它带来了一个重要的人物，虽然这在苏格兰，他把这些方程及跟它们类似的整个方程式家族等于零，从而用一种统一的方法来解。
这个人是约翰·纳皮尔（John Napier），爱丁堡附近的男爵。在16世纪晚期，当他的城堡没有被围攻，他没有击退攻击他们土地和邻居的袭击者时，他涉足了一些神秘的研究“可以水下航行的装置”，“圆形双火枪战车”,向鸽子施魔法，着手用巫术寻找埋藏的珠宝，在36个相近的有合乎逻辑的主张预示世界末日的代数学中，推断预言和历史之间的关系，得出结论，最后的审判将在1688与1700年间降临，他还发明了对数。据他的邻居传闻，在十七世纪早期，他是恶魔的一员，他的衣服全是黑色的，一个通体墨黑的公鸡是他一成不变的伙伴，很少理会这些传闻。
纳皮尔
但不管怎样，纳皮尔的魔法是特别狡猾的，或许是因为象圣·弗朗西斯·培根（Sir Francis Bacon）所指出的，历史使人明智，诗歌使人风趣，而数学使人精明。所以，当他的仆人被发现偷窃时，他把他们召集起来（象故事里讲的），告诉他们他的黑公鸡将发现窃贼。他把黑公鸡系在一个漆黑的房间里，每个仆人都要单独进去，拍公鸡一下再出来，这样他就抓到了窃贼，唯一一个手是干净的人，他太害怕而不敢碰被纳皮尔撒了烟灰的公鸡。
纳皮尔对待方程是有魔力的。他把有一些常数项的方程变成另外的形式，通过重复的代数学的传递把所有项都放在左边，仅留一个零在右边。这就是他所说的“等于一无所有。”这个技巧为什么这么重要？这取决于乍看之下不重要的东西：如果两个或更多个因数的积等于零，那么其中一项必须也等于零。转化成数学的语言一定有助于你思考。
如果ab＝0，那么a＝0，b＝0或者a，b都等于0。
但是你马上会指出，在他熟练变换之后，仍然没有因式的积的形式，而是一个有变量与系数的项的积的形式，还有一个常数——这个条件怎么应用呢？即使可以利用，有什么意义呢？
永远不要低估一个术士。如果你看到他把 的方程式变换到x2＋10x-39＝0的形式，就会领会纳皮尔的思想。我们可以把左边写成怎样的积的形式呢？如果有一点聪明的话，我们就会知道x2＋10x-39＝0等同于（x－3）（x＋13）＝0。但若（x－3）（x＋13）＝0。那分两个因素之一一定是零：所以或者是x－3＝0或x＋13＝0。你马上就可以得出x＝3或x＝-13。
这个方法适用于一切，当我们所求的x是一个实数。在每种情况下，一旦你发现因数相乘后得到“等于‘无’”。可以把每个因式依次置为0，从而读出满足方程的x的结果值。这就是为什么我们的大桥可以竖立至今，我们的火箭能够降落在设置的地方。
这给我们带来了巧妙的方法，从这种途径考虑使用零：运用物理守恒的原理，经过一系列变化，结果不便。纳皮尔怎么想出这样一个我们现在不屑一顾地想当然的方法呢？“我的祖先生活在荒诞和真理的分界上。”纳皮尔阁下在1857年说。或许想象力需要这样的昏暗背景，这样的试探性的突破才会欣欣向荣。
但是纳皮尔的理论仍有严重的问题“一旦你找到了因式”——是的，但是怎样找到他们？各个项的移动遵循怎样的原则呢？就像要求把一个太极高手的一招一式用电脑打印出来一样。有些关键的规则是有所帮助的，互换的技巧。但是试图对一个代数式分解因式，会认识到数学是一种冒险，
如果你想要更加接近地审视这些介于工艺与艺术之间的技巧，当你发现狡猾的零一次又一次扮演另外的伪装角色将不会觉得吃惊。透过一个椭圆的窗子展望，远处越来越狭窄，新的发现越来越稀少。在最令人注目的位置，是一个任何一个初学代数者都熟悉的问题：解答
x2－1＝0
如果你放两个圆括号，把项x放在前面：
（x ）（x ）＝0
在每一个后面放一个1，看上去很合情合理。但是
（x＋1）（x＋1）＝0
得到x2＋2x＋1＝0，多出了2x和有着错误符号的1。再试试（x－1）（x－1）＝0，得到x2－2x＋1＝0，只是错误的不同。很显然，既然唯一可以放在每个括号内的整数是1，你需要可以抵消掉中间项，解决方法就是有一个因式内有＋1，另一个因式内有－1，可以得到：
（x－1）（x＋1）＝x2－x＋x－1＝0，
－x＋x＝0，得到了想要的分解后的因式。
注意到这里的零，乔装为－x＋x，为了完成使命很快的出现，然后又消失了，它甚至不出现在可以使这个技巧高贵起来的名字里面。“两个平方的差”（在这个例子中， 两个平方是x2和1,1于12相同）。两个平方的差，r2－s2＝0。现在可以轻松的分解因式为（r－s）（r＋s）＝0。这种魔力一半的功劳要归于我们熟悉的形式。
现在不管你什么时候看到类似于x2－64＝0的式子，都可以分解为（x－8）（x＋8）＝0。甚至x4－64＝0也适于这种形式，你可以把x4看作（x2）2，所以x4－64＝0分解因式为（x2－8）（x2＋8）＝0
但是，如果很偶然地你想对象x4＋64＝0这样的代数式分解因式，得到什么呢？再拿出0，现在它的作用更令人咋舌，更加背离常规。由于x4＋64＝0看上去很难处理。试着仍然写出有x2的因式的框架（x2）（x2）＝0，但是接下来怎么办呢？你必须在空白处填上8才会得到64，但是没有多项式能够满足：
（x2＋8）（x2＋8）＝x4＋16x2＋64
（x2－8）（x2－8）＝x4－16x2＋64
（x2＋8）（x2－8）＝x4－64
我们的头撞上的是两个平方的和而不是两个平方的差：（x2）2＋（82）2
回想一下我们对x2－1＝0分解因式的过程，可以得到帮助。照我们先前的做法来做，我们以－x＋x的形式在x2和－1之间插入了0：即
