第一部分 透视零第1节 透视零
单纯的看，零就是零，但仔细研究后，你会发现通过它你将可以了解这个世界。因为，数学表达着事物复杂的本质问题，而把这个庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到大量的计算，从估计事物发生的几率到精确的知道与我们相关事件的趋势何时达到最大值，这些有力的数学工具都让我们使用这样的思考方法：一事件的发生与其他的事件相关，并且所有的这些都离不开零这个中心。
利用抽象出来的符号，我们可以把控制我们周围物体做轨道运动或发生突变的规律形象的表达出来。甚至思想本身也能用数学的方法反映出来，这种反映能力的强大现在令人十分费解，但它也正使人们澄清那些深邃的问题。
零的传播历史及其具体的概念充满了玄机，当那些旅行者第一次把它带入西方的时候，它原来的身份就已经被掩盖和曲解了。在这本书中你将会了解到，零是苏美尔人（Sumerian古代幼发拉底河下游的居民——译者注）在处理问题没有办法时的一个附加产物，在随后的几个世纪中零的形式改变过，而且几乎消失过，当再一次出现时，它的形式发生了很大的改变。零的力量对一些人而言神奇无比，对其他人又极其残忍。零在希腊遭到嘲弄并最终离开那里，在印度安逸舒适，在我们西方人面前遭遇身份危机，最终出现在牛顿身边并伴随着出现我们这个精细和复杂的时代。
我探索这方面问题的方法部分是用博物学家的方法。收集零的各种各样奇妙的表达形式，这些形式表达的不仅仅是一个数字，而且还是表现绝望或兴奋的符号；作为零本身，它是一个具体的事物；作为学术先祖，又是谜中之谜。我们是比喜鹊更加勤劳的人类，我们用累积的时间来使我们的思想更加成熟。因此，我将把博物学家和历史学家放在一起，目的是使下面的故事更有趣味：在那些任意纂改巨大数字的人眼里，数字好像就是飞行中的网球；在那些乐于计算的人眼里，好像生活就是用一根计算的细线悬着；从西方到东方，那些不懂得零的作用而遭受无情惩罚的人们，不得不忍受零伴随着他们，而看待这些事件的方法又被一些有很强个性的人影响，例如，那个很有才气的叫做布劳克海德（Blockhead）的意大利人，像斯科茨曼（Scotsman）自认为是术士的行为古怪的人，他们都使看待零的方法受到影响。
当我们追寻零的各种符号和含义的慢慢演化过程时，通过它我们将看到人类创造数学的过程和数学为人类所做的工作。没有上帝把数学送给我们。只有热切的追求她，数学才给人类灵感。什么才是那种追求？一种是修修补补的设想和灵感的结合；一种是一个人激发出来一个想法，这个想法也许会沉寂几个世纪，仅仅当各处的思潮改变时，它才突然的萌发出来；另外就是在猜想和验证、假设和推理中追求。
正象莎士比亚（Shakespeare）称呼它的一样，零谈不上是一个数字，为什么在组成数学这个巨大的表达体系中却扮演着如此重要的角色呢？为什么大多数数学家无论在何种重要的数字列表中都要给零一个显著的位置呢？人们如何能宣称由于0×0＝0，所以数字才是真实的？我们将看到这些答案随着零含义的发展而发展变化。
正如我们看到零和数学一起慢慢的发展完美，我们思维的更深层次的思考将变为一点。举一个例子，由于我们好奇心的需要，我们会先给我们创造的事物取名字，然后我们就会想知道这些被创造的事物是否脱离他们的名字真实的存在。我们的需求要求我们远离个别的实例，去抽象出一般性的问题，省略掉事物那些特殊的异常的现象。像从空中去看整个果园而不是去看这一个和那一个长满了节瘤的树。
在这些思想的指引下，我们将在随后的章节中了解到越来越深的问题，慢慢增多的知识将使你看清这个世界并超越这个世界。到底零是一个真实存在的事物还是人们虚构的东西，这个问题依然令人忧虑不安，这也将使人们不断的思考这样一个长期存在的难题：我们是否已创造或发现了理解事物行为的方法，因此，更进一步的问题是我们现在所处的层次问题。我们的评价能力比天使弱——或者仅仅弱一点点，我们到底是被创造者还是创造者？
数学是研究运动的一种运动。虽然数学工作成果的辉煌足以刻入纪念碑，零的历史也很完全，但它还没有结束，事实上是刚刚开始。零不是代表着一个环的结束，似乎说它是一个入口更好一些。亚历山大·戈绕森迪克（Alexander Grothendiech）是我们这个时代的一个具有丰富想象力的数学家，他的研究成果已经改变了我们看待数学的方式，他曾经在他的巨著中花费数年的时间来修订、扩充关于零的一章，并把它作为书的序言和总结。但是现在什么都不曾完成。零永远是那么诱人，无限的靠近但永远也不能达到：也许这才是接近零的本质。
第一部分 透视零第2节 思想的印迹(1)
经过漫长得令人叹为惊止的思想里程，当一个完美的思想灵感给了我们计算技巧的时候，零以印在一块湿粘土上的两个楔形形式开始了它的生涯。我们通过给不同数量事物以不同的数字命名和符号来记数：1，2，3……，但是如果一定要给每个新数量一个全新的名字和符号，就会穷尽你所有的心智和记忆。试试吧，给前二十个数字编上不同的符号，例如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，γ，/，§，◇，¢，▽，┓，Ψ，∧，ㄚ，λ
那么，7加8等于多少呢？是▽。
那么Ψ减去 / 呢？从Ψ开始往后数 / 位，是6。
又比如，γ加上∧呢？很不幸，我们还没有为它创造新的符号。即使现在来构思，我们也不得不首先创造出另外的七个符号。
这个问题一定是在每种文明的初期就得到了解决，就象我们孩提时代做的那样：先把想要计数的物体分成堆，这些堆中包含的物体都是相等的易处理的数量单位。例如，
是 个
+
等于 个 再多上 。
这种基本的数量单位通常是5或10，正好是我们手指的数量，或者是别的可以一目了然的数目（我们数鸡蛋或英寸用“打”——十二）。
一旦有了这种捷径（这种捷径给我们由加到乘的混合运算带来了巨大飞跃），新的需要就随之而来：如果 + 一共是 个 再加上 ，它确切的代表什么样的一个数目呢？终究不还是要创造一个新的符号吗？在不同的文明中出现了不同的答案。或许来自于记数符木(古时用，上有刻痕记载交货、欠款等的数量——译者注)上的一个笔划，或许来自市场上人们常用的手势，罗马人用Ⅹ表示含有 个数量单位的一堆物品，Ⅴ表示 个（‘Ⅴ’代表的数量是‘X’的一半，也是X的上半部，一只手所能代表的数量单位）数量单位，因此，按照从左到右书写单词的习惯类推，XV代表三个5。他们用XX（两个10）表示四个5，而不是冗长的VVVV或XVV。
那么，γ+∧问题就变为
X+XVⅢ=XXVⅢ。
这看上去似乎是一个很有前途的方法，但当你为庞大的数目而写长串的X而感到厌烦时，这个方法也陷入了困境。至少你又回到了不得不接二连三创造新符号的原状。罗马人用L代表50，所以LX是50多10，就是60；XL表示差10不到50，就是40；C代表100，D代表500，M代表1000——像债务或少女的嫁妆一样不断增加——用以旧符号为中心加三个边框的符号来表示原数值的100 000倍。因此，当利维亚（Livia）给格尔巴（Galba）留下了50 000 000塞斯塔斯（sesterces古罗马货币单位——译者注）的遗产，她的儿子台比留(Tiberius公元1世纪14-37年间为罗马皇帝——译者注)皇帝——对任何人都毫无感情，当然对格尔巴（尽管是他母亲留下的继承人）也不例外——坚持认为 应该读作 ，是500 000塞斯塔斯，quia notata non perscripta erat summa，“因为这个总数是个符号，符号没有写清楚”。我们可以想象从皇帝口中说出这样的话。
这种计数方法每天都产生很多问题，而且不仅仅是在律师的办公室里。
43+24等于多少？对于罗马人来说，就是
XLⅢ+XXIV，
把两个数字对齐，无法自动得出答案是LXVII。过去，用这样的数字体系描述一个大数目是困难的（即使用后来缩写的罗马字母表示也是困难的，1999是MCMXCIX：
MC M XC IX
↑↑↑↑
1 000比1 000少100是900 比100少10 是90 比10少1是9)
用它们计算更是令人望而却步(想象着尝试一下减法、乘法、但愿不是除法)。
我们现在想当然地认为，有一个神奇的天才改进了数字的表示方法，使我们毫不费力地进行计算。令人迷惑的0——代表一无所有——为这个发明划上了圆满的一笔。
故事起源于大约5 000年前定居于美索不达米亚（Mesopotamia现在部分属于伊拉克）的苏美尔人。当你在他们用于记事的粘土块上读到这样的父子间的对话：“你去哪儿了？”“哪儿也没去。”“那你为什么来晚了？”，这时你会感觉5 000年前的事就象刚刚过去的一个晚上发生的。
苏美尔人使用1进制和10进制来计数，也用60进制。乍一看有点难以接受，想想我们现代也还在使用这样的进制就不足为奇了。一小时有60分钟（6×60=360，圆分为360度，每分钟占6度）。更进一步，我们一年用12个月来计算，一周用7天来计算，一天用24个小时来计算，一磅或一品脱有16盎司。直到1971年英国还使用12分一个先令，20先令一磅这样的币值。
对这些不同体系的发展进行深入研究，你会发现它们都是相互磨合，相互妥协的历史，你认为神秘离奇的事情其实是最自然不过的了。苏美尔人遇到了与他们度量衡不同的另一种文明，首先是衡制，然后是币制，苏美尔人的六十进制很可能就是在处理与这种文明间的不同时产生的。可以猜想，苏美尔人把某个重量称为1，随之更重一些的是2，3等等，直到10的整数倍；当然也有1/4，1/3，1/2和2/3这样的分数重量。
现在我们设想，如果他们和一个与他们有相同比率的邻部族间进行商业往来，但基本单位却是他们自己的60倍，你可以想象商人们在换算出他的币值等于多少时是多么的困难。比如，他们贸易伙伴的7 个单位换算到自己部族的币值中是多少呢（即使是物物交换的贸易，精确的记录也应该保持价值相当）？当你用60为单位重新进行思考时，困难就迎刃而解了。由于7 ×60=460，那么就是460个苏美尔单位。另外，60的1/4，1/3，1/2，和2/3都是整数——易于处理的。我们永远也不可能知道这种重大决定的细节（签订协定时，喝掉啤酒的杯数和围绕着基本单位的比率是高于或低于60的秘密协定），但我们确实知道在苏美尔度量体系中，60个谢克尔（shekel古希伯来或巴比伦的衡量和货币单位——译者注）是1个迈纳（mina古代希腊的金额单位和重量单位——译者注），60个迈纳是1个塔兰特（talent使用于古代希腊、罗马和中东的一种可变的重量和货币单位——译者注）。
直到今天，我们在用数字计算的路程上似乎也并没有前进多远。如果有什么区别的话，那就是苏美尔人似乎还处在10进制与60进制的混乱状态下。但是如果我们想知道这种混乱状态是如何结束的，我们除了想象几千年前的事外别的什么也做不了。
苏美尔人通过使用中空的芦苇管尖在湿泥块上印出圆或半圆来进行书写，然后把泥块烘干来进行保存（大量的这种记事簿在经历了遥远的岁月后依然幸存了下来，而20世纪60年代写在计算机穿孔卡上的文件已不复存在）。最后芦苇管被三棱的铁笔所代替，用它可以写出这样的楔形符号： ；或者旋转成不同角度，成为一个“钩”： 。虽然在大约公元前2 500年，苏美尔人被阿卡得（Akkadian）人征服，但十进制与六十进制的混合数制仍被完整无缺地保存了下来，到公元前2 000年（古巴比伦时代）数字演变成这样：
1
2
3
4 或者后来是
5
6
7 或者后来是
8 或者后来是
9 或者后来是 （对角线代表3×3）
对于10他们用一个“钩”来代替：
所以11是
12 是
依次类推——就象后来罗马人发明的X，XI，XII（但是没有表示5的新符号，所以15不象罗马文的XV，而是 ）。20是 ，30 是由3个“钩”组成，有不同的排列形式： ，40是4个“钩”，50是5个，在它们之间的数字都是你可以想到的形式：34是 ，59是
第一部分 透视零第3节 思想的印迹(2)
在这里六十进制突然出现了，60也是一个楔形，但是是更大的一个： 。像这样从小到大，从右到左书写数字（就像我们从右到左书写数字一样——感谢他们这样做——虽然我们书写单词是从左到右），63将会是 ，72是 ，你自己就能创造出剩下的：120是 ，137是：
↑↑↑
（2×60）+ 10+7
=120
等等。如果你想进行一次短暂的时光旅行（粘土块，木尖笔，弥漫的羊肉的味道对你会有帮助），试着写出217，
你写得出来吗：
↑↑↑
（3×60）+30+7？
=180
注意楔形的大小是很重要的：62 和3 的唯一区别是第一个楔形的大小。但是手写体总是不断变化的，即使是楔形文字也不例外；人们是匆忙或者粗心的（试着用铁笔写出一个月的帐目），被教堂的神职人员保存下来的历尽劫难的成千上万的记录，上面记录着捐赠者的姓名和作为祭品的羊，鱼或鸡的数量，在记录这些东西的过程中，大的楔形可能变小，小的可能变大（或许偶尔也会有像台比留皇帝那样的事情），那么，这个问题怎么解决呢？
直到有人想出了一个高明的主意（或者这个主意仅仅只是一个碰巧凑效的权宜之计，谁知道呢）——以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，这种混乱的局面才结束。因此，不管楔形是大是小， 总是表示202：3个60，2个10另加2。 表示182：3×60+2。
这种用位置来表示数字大小的体系一旦普及开来，为了一目了然，引入空位和规范的楔形及钩形组就成为必然。就像我们的“754”是表示（7×102）+（5×10）+（4×1）一样，
表示是62，但 表示是3 661；
↑ ↑↑↑↑
（1×60）+ 2 （1×602）+（1×60） + 1
和
是754。
↑↑
（12×60） +34
=720
这样做是非常奇妙的事情。它不仅仅能让我们很快的写出很大的数字（比如1999就将变成这样的表示 ）
↑ ↑
（33×60）+ 19
=1 980
而且更重要的是能让我们的运算变得相对容易。举个例子，我们做加法
43
+14
57
是通过首先把3和4相加，再把4个10和1个10相加。
对巴比伦人（Babylonian）来说，他们是这样加的，
但是如何“进位”呢？这是一个我们孩提时代感到困惑的事情。我们来做
82
+41
123
（2个单位加上1个单位是3个单位，8个10加上4个10是12个10，也就是，2个10和1个100）。他们这样做
6个10是1个60，3个单位
再加上原来已经存
在的1个60
我们就得到2个60
对于我们，把一个数字移到它左边的数位上，它的值就变成原来的十倍，在巴比伦的表示方法中就变成原来的60倍。当一个数位满了，处理的方法是把这一位去掉10——或60，在左边一位加上1。
索福克勒斯（Sophocles古希腊悲剧诗人——译者注）说：“没有磨难就没有伟大事件发生。” 引入位置来表示数值的大小固然伟大，但巴比伦人怎么区分180： 和3： 呢？也就是说，他们怎么知道“3”在个位还是在60位？神庙里的神父从记录中怎么才能知道上一年送给女神的祭品是2只羊呢，还是120只羊？很显然，是通过当时的情况来考虑；就象当你考虑半加仑牛奶值55，旅行社到多伦多的廉价飞行价格也是55，你是知道小数点应该放在哪里的。
但是，生活变得更加纷繁复杂了，事物的数目更大了，仅凭各种情况来判断数目的大小变得不再可靠。忍受了上千年的模棱两可后（是这方面的不同进度使文明有了明显的差异？），在公元前6到3世纪，终于有人创造并使用了一个具有划时代意义的符号 ，这个符号或许是在定义两列楔形如何分开时独立出来的单词，也或许是来自另一个语言中的符号。无论如何，他有效的表示了这样的含义：“这一列什么也没有”。因此
=125
↑↑
（2×60）+5
但是 =7205
↑↑↑
（2×602）+（0×60） +5
=7 200
正如你所想象的一样，人们有各种各样书写0的方法，随心所欲，所以就有了下面这样的书写方法：
和 甚至是 或者 。
在启什（Kish美索不达米亚的古代城市，位于今天伊拉克中部幼发拉底河流域。其众多的遗迹成为关于苏美尔人文明的有价值的考古学证据——译者注）遗址发掘出的一个记事簿（大约公元前700年）上，记事员是用三个“钩”而不是两个倾斜的楔形来表示他的零，它们看上去像30；而同一时期的另一个记事员则只用一个“钩”来表示他的零，以至于与10很难区分。难道是粗心吗？或者这种变化表明我们已经非常接近了表示零的最早的独立符号，它的意义和形式正在慢慢形成吗？
第一部分 透视零第4节 思想的印迹(3)
然而，这种零的标记只被用在数字的中间，从来没有在数字末尾出现过。从你的存货清单上看你的库存面包，到底是够2个人食用呢，还是够420个人食用？这可能需要你研究不同的时期、不同的地点、不同的人们，你才可能最终知道。
正如狂欢节时人们常说的那样：狂欢时，你在交叉路口丢失了东西，你会在连接它的路上拾到东西。有所失，就有所得，零从来没有被用在数字末尾使我们失去了准确性，但也使我们得到了灵活多变。由于没有零在数字的末尾，我们将不能区分出2，20，200这些数字，所以计算乘法2×3、20×3或200×3是一样的容易：答案永远是6，然后加上可以凭常识或当时情境得到的数量级。因此，当有人声称灵活多变是这种符号的最大优点时，也就不足为怪了。
在巴比伦后来的岁月中，有人第一次给了“空空如也”一个“居所”和名字，不管这个人是谁，都没给自己留下任何东西。也许那一对楔形符号是对他的历史地位最合适的纪念。
经过漫长得令人叹为惊止的思想里程，当一个完美的思想灵感给了我们计算技巧的时候，零以印在一块湿粘土上的两个楔形形式开始了它的生涯。我们通过给不同数量事物以不同的数字命名和符号来记数：1，2，3……，但是如果一定要给每个新数量一个全新的名字和符号，就会穷尽你所有的心智和记忆。试试吧，给前二十个数字编上不同的符号，例如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，γ，/，§，◇，¢，▽，┓，Ψ，∧，ㄚ，λ
那么，7加8等于多少呢？是▽。
那么Ψ减去 / 呢？从Ψ开始往后数 / 位，是6。
又比如，γ加上∧呢？很不幸，我们还没有为它创造新的符号。即使现在来构思，我们也不得不首先创造出另外的七个符号。
这个问题一定是在每种文明的初期就得到了解决，就象我们孩提时代做的那样：先把想要计数的物体分成堆，这些堆中包含的物体都是相等的易处理的数量单位。例如，
是 个
因此不引人注意的γ+∧就变成
+
等于 个 再多上 。
这种基本的数量单位通常是5或10，正好是我们手指的数量，或者是别的可以一目了然的数目（我们数鸡蛋或英寸用“打”——十二）。
一旦有了这种捷径（这种捷径给我们由加到乘的混合运算带来了巨大飞跃），新的需要就随之而来：如果 + 一共是 个 再加上 ，它确切的代表什么样的一个数目呢？终究不还是要创造一个新的符号吗？在不同的文明中出现了不同的答案。或许来自于记数符木(古时用，上有刻痕记载交货、欠款等的数量——译者注)上的一个笔划，或许来自市场上人们常用的手势，罗马人用Ⅹ表示含有 个数量单位的一堆物品，Ⅴ表示 个（‘Ⅴ’代表的数量是‘X’的一半，也是X的上半部，一只手所能代表的数量单位）数量单位，因此，按照从左到右书写单词的习惯类推，XV代表三个5。他们用XX（两个10）表示四个5，而不是冗长的VVVV或XVV。
那么，γ+∧问题就变为
X+XVⅢ=XXVⅢ。
这看上去似乎是一个很有前途的方法，但当你为庞大的数目而写长串的X而感到厌烦时，这个方法也陷入了困境。至少你又回到了不得不接二连三创造新符号的原状。罗马人用L代表50，所以LX是50多10，就是60；XL表示差10不到50，就是40；C代表100，D代表500，M代表1000——像债务或少女的嫁妆一样不断增加——用以旧符号为中心加三个边框的符号来表示原数值的100 000倍。因此，当利维亚（Livia）给格尔巴（Galba）留下了50 000 000塞斯塔斯（sesterces古罗马货币单位——译者注）的遗产，她的儿子台比留(Tiberius公元1世纪14-37年间为罗马皇帝——译者注)皇帝——对任何人都毫无感情，当然对格尔巴（尽管是他母亲留下的继承人）也不例外——坚持认为 应该读作 ，是500 000塞斯塔斯，quia notata non perscripta erat summa，“因为这个总数是个符号，符号没有写清楚”。我们可以想象从皇帝口中说出这样的话。
这种计数方法每天都产生很多问题，而且不仅仅是在律师的办公室里。
43+24等于多少？对于罗马人来说，就是
XLⅢ+XXIV，
把两个数字对齐，无法自动得出答案是LXVII。过去，用这样的数字体系描述一个大数目是困难的（即使用后来缩写的罗马字母表示也是困难的，1999是MCMXCIX：
MC M XC IX
↑↑↑↑
1 000比1 000少100是900 比100少10 是90 比10少1是9)
用它们计算更是令人望而却步(想象着尝试一下减法、乘法、但愿不是除法)。
我们现在想当然地认为，有一个神奇的天才改进了数字的表示方法，使我们毫不费力地进行计算。令人迷惑的0——代表一无所有——为这个发明划上了圆满的一笔。
故事起源于大约5 000年前定居于美索不达米亚（Mesopotamia现在部分属于伊拉克）的苏美尔人。当你在他们用于记事的粘土块上读到这样的父子间的对话：“你去哪儿了？”“哪儿也没去。”“那你为什么来晚了？”，这时你会感觉5 000年前的事就象刚刚过去的一个晚上发生的。
苏美尔人使用1进制和10进制来计数，也用60进制。乍一看有点难以接受，想想我们现代也还在使用这样的进制就不足为奇了。一小时有60分钟（6×60=360，圆分为360度，每分钟占6度）。更进一步，我们一年用12个月来计算，一周用7天来计算，一天用24个小时来计算，一磅或一品脱有16盎司。直到1971年英国还使用12分一个先令，20先令一磅这样的币值。
对这些不同体系的发展进行深入研究，你会发现它们都是相互磨合，相互妥协的历史，你认为神秘离奇的事情其实是最自然不过的了。苏美尔人遇到了与他们度量衡不同的另一种文明，首先是衡制，然后是币制，苏美尔人的六十进制很可能就是在处理与这种文明间的不同时产生的。可以猜想，苏美尔人把某个重量称为1，随之更重一些的是2，3等等，直到10的整数倍；当然也有1/4，1/3，1/2和2/3这样的分数重量。
现在我们设想，如果他们和一个与他们有相同比率的邻部族间进行商业往来，但基本单位却是他们自己的60倍，你可以想象商人们在换算出他的币值等于多少时是多么的困难。比如，他们贸易伙伴的7 个单位换算到自己部族的币值中是多少呢（即使是物物交换的贸易，精确的记录也应该保持价值相当）？当你用60为单位重新进行思考时，困难就迎刃而解了。由于7 ×60=460，那么就是460个苏美尔单位。另外，60的1/4，1/3，1/2，和2/3都是整数——易于处理的。我们永远也不可能知道这种重大决定的细节（签订协定时，喝掉啤酒的杯数和围绕着基本单位的比率是高于或低于60的秘密协定），但我们确实知道在苏美尔度量体系中，60个谢克尔（shekel古希伯来或巴比伦的衡量和货币单位——译者注）是1个迈纳（mina古代希腊的金额单位和重量单位——译者注），60个迈纳是1个塔兰特（talent使用于古代希腊、罗马和中东的一种可变的重量和货币单位——译者注）。
直到今天，我们在用数字计算的路程上似乎也并没有前进多远。如果有什么区别的话，那就是苏美尔人似乎还处在10进制与60进制的混乱状态下。但是如果我们想知道这种混乱状态是如何结束的，我们除了想象几千年前的事外别的什么也做不了。
苏美尔人通过使用中空的芦苇管尖在湿泥块上印出圆或半圆来进行书写，然后把泥块烘干来进行保存（大量的这种记事簿在经历了遥远的岁月后依然幸存了下来，而20世纪60年代写在计算机穿孔卡上的文件已不复存在）。最后芦苇管被三棱的铁笔所代替，用它可以写出这样的楔形符号： ；或者旋转成不同角度，成为一个“钩”： 。虽然在大约公元前2 500年，苏美尔人被阿卡得（Akkadian）人征服，但十进制与六十进制的混合数制仍被完整无缺地保存了下来，到公元前2 000年（古巴比伦时代）数字演变成这样：
1
2
3
4 或者后来是
5
6
7 或者后来是
8 或者后来是
9 或者后来是 （对角线代表3×3）
对于10他们用一个“钩”来代替：
所以11是
12 是
第一部分 透视零第5节 思想的印迹(4)
依次类推——就象后来罗马人发明的X，XI，XII（但是没有表示5的新符号，所以15不象罗马文的XV，而是 ）。20是 ，30 是由3个“钩”组成，有不同的排列形式： ，40是4个“钩”，50是5个，在它们之间的数字都是你可以想到的形式：34是 ，59是
在这里六十进制突然出现了，60也是一个楔形，但是是更大的一个： 。像这样从小到大，从右到左书写数字（就像我们从右到左书写数字一样——感谢他们这样做——虽然我们书写单词是从左到右），63将会是 ，72是 ，你自己就能创造出剩下的：120是 ，137是：
↑↑↑
（2×60）+ 10+7
=120
等等。如果你想进行一次短暂的时光旅行（粘土块，木尖笔，弥漫的羊肉的味道对你会有帮助），试着写出217，
你写得出来吗：
↑↑↑
（3×60）+30+7？
=180
注意楔形的大小是很重要的：62 和3 的唯一区别是第一个楔形的大小。但是手写体总是不断变化的，即使是楔形文字也不例外；人们是匆忙或者粗心的（试着用铁笔写出一个月的帐目），被教堂的神职人员保存下来的历尽劫难的成千上万的记录，上面记录着捐赠者的姓名和作为祭品的羊，鱼或鸡的数量，在记录这些东西的过程中，大的楔形可能变小，小的可能变大（或许偶尔也会有像台比留皇帝那样的事情），那么，这个问题怎么解决呢？
直到有人想出了一个高明的主意（或者这个主意仅仅只是一个碰巧凑效的权宜之计，谁知道呢）——以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，这种混乱的局面才结束。因此，不管楔形是大是小， 总是表示202：3个60，2个10另加2。 表示182：3×60+2。
这种用位置来表示数字大小的体系一旦普及开来，为了一目了然，引入空位和规范的楔形及钩形组就成为必然。就像我们的“754”是表示（7×102）+（5×10）+（4×1）一样，
表示是62，但 表示是3 661；
↑ ↑↑↑↑
（1×60）+ 2 （1×602）+（1×60） + 1
和
是754。
↑↑
（12×60） +34
=720
这样做是非常奇妙的事情。它不仅仅能让我们很快的写出很大的数字（比如1999就将变成这样的表示 ）
↑ ↑
（33×60）+ 19
=1 980
而且更重要的是能让我们的运算变得相对容易。举个例子，我们做加法
43
+14
57
是通过首先把3和4相加，再把4个10和1个10相加。
对巴比伦人（Babylonian）来说，他们是这样加的，
但是如何“进位”呢？这是一个我们孩提时代感到困惑的事情。我们来做
82
+41
123
（2个单位加上1个单位是3个单位，8个10加上4个10是12个10，也就是，2个10和1个100）。他们这样做
6个10是1个60，3个单位
再加上原来已经存
在的1个60
我们就得到2个60
对于我们，把一个数字移到它左边的数位上，它的值就变成原来的十倍，在巴比伦的表示方法中就变成原来的60倍。当一个数位满了，处理的方法是把这一位去掉10——或60，在左边一位加上1。
索福克勒斯（Sophocles古希腊悲剧诗人——译者注）说：“没有磨难就没有伟大事件发生。” 引入位置来表示数值的大小固然伟大，但巴比伦人怎么区分180： 和3： 呢？也就是说，他们怎么知道“3”在个位还是在60位？神庙里的神父从记录中怎么才能知道上一年送给女神的祭品是2只羊呢，还是120只羊？很显然，是通过当时的情况来考虑；就象当你考虑半加仑牛奶值55，旅行社到多伦多的廉价飞行价格也是55，你是知道小数点应该放在哪里的。
但是，生活变得更加纷繁复杂了，事物的数目更大了，仅凭各种情况来判断数目的大小变得不再可靠。忍受了上千年的模棱两可后（是这方面的不同进度使文明有了明显的差异？），在公元前6到3世纪，终于有人创造并使用了一个具有划时代意义的符号 ，这个符号或许是在定义两列楔形如何分开时独立出来的单词，也或许是来自另一个语言中的符号。无论如何，他有效的表示了这样的含义：“这一列什么也没有”。因此
=125
↑↑
（2×60）+5
但是 =7205
↑↑↑
（2×602）+（0×60） +5
=7 200
正如你所想象的一样，人们有各种各样书写0的方法，随心所欲，所以就有了下面这样的书写方法：
和 甚至是 或者 。
在启什（Kish美索不达米亚的古代城市，位于今天伊拉克中部幼发拉底河流域。其众多的遗迹成为关于苏美尔人文明的有价值的考古学证据——译者注）遗址发掘出的一个记事簿（大约公元前700年）上，记事员是用三个“钩”而不是两个倾斜的楔形来表示他的零，它们看上去像30；而同一时期的另一个记事员则只用一个“钩”来表示他的零，以至于与10很难区分。难道是粗心吗？或者这种变化表明我们已经非常接近了表示零的最早的独立符号，它的意义和形式正在慢慢形成吗？
然而，这种零的标记只被用在数字的中间，从来没有在数字末尾出现过。从你的存货清单上看你的库存面包，到底是够2个人食用呢，还是够420个人食用？这可能需要你研究不同的时期、不同的地点、不同的人们，你才可能最终知道。
正如狂欢节时人们常说的那样：狂欢时，你在交叉路口丢失了东西，你会在连接它的路上拾到东西。有所失，就有所得，零从来没有被用在数字末尾使我们失去了准确性，但也使我们得到了灵活多变。由于没有零在数字的末尾，我们将不能区分出2，20，200这些数字，所以计算乘法2×3、20×3或200×3是一样的容易：答案永远是6，然后加上可以凭常识或当时情境得到的数量级。因此，当有人声称灵活多变是这种符号的最大优点时，也就不足为怪了。
在巴比伦后来的岁月中，有人第一次给了“空空如也”一个“居所”和名字，不管这个人是谁，都没给自己留下任何东西。也许那一对楔形符号是对他的历史地位最合适的纪念。
第一部分 透视零第6节 希腊人没有这个字(1)
为什么解决零的表示问题的过程如此旷日持久呢？为什么这以后使用零的步伐仍踌躇不前呢？为什么已经浮出水面又没入水中，若隐若现？原因在于我们思想与语言相互转化的方式，和由此产生的困惑，不管是过去还是现在。这也是一种娱乐，想想我们从格什温（Gershwin）的诗里得到乐趣
我得到了足够的零，
但是一个已足够。
我们怀着强烈的兴趣，反复思考这句看似荒诞不经的话，品位它表面与内涵的不同。
这种似是而非的说法在古代迅速成为流行。公元前十八世纪末的某个时候，编辑整理《奥德赛》（Odyssey，古希腊荷马所作史诗，汉语意思是指长期的冒险旅行——译者注）的歌唱家在奥德修斯（Odysseus，《奥德赛》中的主人公——译者注）刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯（Polyphemos，独眼巨人之一）的故事中研究过它，独眼巨人（Cyclops，独眼巨人家族的任何一个，在这里指波吕斐摩斯，据说从这些泰坦Titans传下来，居住在西西里岛，只有一只眼睛的神——译者注）吃掉了奥德修斯的几个同伴，要不是奥德修斯骗过了他，并刺瞎他的眼睛，剩下的同伴也会成为他的盘中餐。
奥德修斯让波吕斐摩斯喝下烈酒，当独眼巨人叫道：
“再给我一些酒，立刻把你的名字告诉我，以便让我给你一件奇异的礼物让你
称心如意。”
奥德修斯一次又一次倒满他的酒碗，说：
“巨人，你想知道我显赫的名字，但是我要求你
遵守诺言，给我这份奇异的礼物。
事实上，我的名字叫‘没有人[ ，Outis]’。我的父亲和母亲叫我‘没有人’，同伴也这么叫我。”
他这么一说，波吕斐摩斯立刻残忍地说：
“‘没有人’，我先吃掉他的同伴，最后再吃‘没有人’，这就是我给你的奇异
的礼物。”
一等巨人醉倒昏迷过去，奥德修斯和他的同伴们就用尖树桩刺瞎了他的眼睛，波吕斐摩斯发出了痛苦的喊叫声，别的独眼巨人都跑来了，他们在他封闭的洞穴前向他呼喊：
“波吕斐摩斯，你为什么被人战胜？
在这样神圣的夜晚，你的叫声让我们无法入睡。
不可能有人敢不顾你的反对正带走你的羊群吧？
不可能有人正在用诡计或暴力伤害你吧？”
残暴的波吕斐摩斯在洞穴中跟他们说：
“我的朋友们啊，‘没有人’正在用诡计和暴力伤害我。”
他的朋友们听到这个以后，劝说他要耐心承受上帝给予的一切，便回到自己的洞穴中。所以奥德修斯和他的同伴们一边逃跑一边嘲笑瞎眼的巨人。
你一定会认为，这个能够整理和津津乐道这样一个笑话的人给“无”一个名字，并象奥德修斯对巨人所做的那样灵活使用“无”也是轻而易举的。但是，在荷马时代或古希腊都没有零的踪迹，事实上，直到亚历山大时代（这个笑话已经不复辉煌的时候）也没有。如果在你面前看不到或思想中也不存在计算板的数位，一个数位上的筹码已经满了要进到前一位而留下一个空白在后面——如果你没有符号来代表那些空的或填满的位置，并从你熟练的操作中创造一种语言——那么你就不可能超越你的手工，竭尽可能做的就是：吸取并简化眼睛能看到的，然后对它们进行升华。
荷马（Homer）时代的希腊人以10（有时以5）来进行分组，以这些词的第一个字母来代表数字符号，象罗马人后来做的那样从左向右成串地写下这样的符号，所以318就是300+10+5+3
HHHΔΠⅢ
↑↑↑↑
3×H+1×Δ +1×Π+3
这里，H，Δ和Π分别为Hekatm(100)，Deka(10)，Pente(5)的第一个字母。
没有位置符号，因此后来就有了罗马人所遭遇的估算时的所有不幸。更糟的是：那些早期希腊人没有把数字从他们的计数中完全抽象出来，因此，偶尔地代表货币单位与数量的符号会合成在一起：他们写 而不是HT来代表100塔兰特(T)。就象我们写$代表一美元，写 表示11美元，让随意涂鸦作装饰品来引导我们，而不是描画特别抽象出来的符号。
在5世纪的雅典（Athens），高度发达的希腊文明时期，一场我们无法知道原因的改革席卷而来。它使希腊字母表中的24个字母加上另外3个字母分别代表数字的前9（1—9），然后是前90（10—90），前900（100—900）。所以10的符号是ι（iota，希腊语第9个字母），扩展后的字母表中第10个字母；11是ια——但是第11个字母κ代表20。这时10个一组的表示方法完全被掩盖了，例如318变成了
第21个字母τ第10个字母ι第8个字母η
即第3个100即第1个10即8
画在它们上边的那条线就是把这个数目与一个可能的词语区别开来（在这种情况下，τιη表示why（为什么））。这种混乱会变得更严重吗？会，而且事实正是如此：不同的时期，不同地点，混乱不是在减少，相反而是在上升，而在有些时候，所有的规则都会被忽视。装饰性又一次推动了这种计数方法吗？或者只是一种希腊人的固执精神？
不管什么原因，位置符号的缺少意味着他们仍然没有代表零的符号。可能是亚历山大时代的希腊人发现了零在计数中扮演的重要角色，在公元前331年，他们侵略了巴比伦帝国，除了掳走了妇女和金子，还带走了零，在他们公元前3世纪的天文学著作中发现了用符号O表示零。为什么是这个中空的圆？它来自哪里？我们知道，一个时期内书面上使用两个巴比伦的楔形。可以想象，希腊人把这个“舶来品”铸在自己的硬币上。这一切确切地发生在哪里，什么时候都无从查考，证据已经随时光灰飞烟灭。但是人类总是设法去回答更困难和更有趣的“为什么”的问题。象托马斯•布朗（Thomas Browne）爵士曾经说过的：“塞壬（Siren,一群女海妖之一，用她们美妙的歌声诱惑船只上的海员，从而使船只在岛屿周围触礁沉没——译者注）唱的是什么歌？虽然令人迷惑不解，但不能制止我们去猜想。”当然，在研究这个问题的书中不乏猜想，却象前一年秋天脆弱的落叶一样不堪推敲，还有埋葬在摩洛哥陵墓中的文章和德国人辛勤留下的手稿，都对这个问题作了猜想。
最普通的解释是零来自希腊文的第15个词，ουδευμ的第一个字母，意思是“没有东西”。象奥德修斯的名字 ，或仅仅源于ουτ，“不”，象我们的“无”，可以看出，荷马时代的体系中，很多符号都来源于数字名的第一个字母，我认为这种解释仅有点沾边的证据，在后来的希腊，ουδευ变为μη δε。十五世纪拜占庭（Byzantine东罗马帝国时期）时期的希腊文中，我们发现一个有点象μ的符号ч来表示零。
这整个解释被一位希腊天文学的权威草率地推翻了，因为希腊人已经给奥米克戎（omicron希腊语的第15个词）O赋值为70，他说，这里的符号是一种随意的抽象。或许是；但是在希腊数学中，由于首字母缩略字的原因，圆圈至少还出现了两次。活跃在公元3世纪亚历山大时期伟大的数学家丢番图（Diophantus），选择 （因为“mo”是希腊表示单位的词monad的前两个字母。没有人会因为 表示70 000而混淆。表示70的O放在M上表示10 000。）作为一个把几万与更小的数目区别的符号。阿基米德时代的天文学家们用 表示“度”，在希腊语中是moria。“o”沿用了两千两百多年,我们现在依然用这个符号来表示我们的“度”，这是令人鼓舞的。
如果你倾向于希腊人发明零时没有参照他们的字母表的观点，那么留意一下自然界给我们提供了很多圆形中空的东西，这个判断的武断性也就大大降低了，从一个张开的嘴巴到月亮朦胧的轮廓，从火山口到伤口。纳伯科夫（Nabokov）曾写过：颅骨，种子和所有美好的东西都是圆的。
不管零的符号怎样进化，在它上面总有一些奇特的条纹， 或者 或 甚至有时是 。这些装饰使托勒密（Ptolemy，大约公元150年）这样的天文学家们保持符号整齐。我们在他的《至大论》（Almagest，“The Greatest Synthesis”）一书中，在表示三角形中角的度数时，使用了三段数来表示，O既用在中间也用于了两端。（象我们一样，他在巴比伦60进制中使用度，分，秒）。所以 代表4°00′18″， 代表0°33′04″。装饰条不正表明零仍然不具备一个数字的属性，被亚历山大时期的希腊人象我们使用标点符号一样使用它吗？
更进一步的证据来自于某些新出现的问题，使这项研究继续下去。我们所有的仅存的《至大论》的手稿是拜占庭时期，托勒密留下的。而且在这些手抄本上，仍保留有数字字母名上的条纹，但零上面的条纹经常消失了——所以零仍然区别于数字符号（但现在已经跟以前有所不同了）。
第一部分 透视零第7节 希腊人没有这个字(2)
更中肯的是，这里的O表明的是计量单位种类（度、分、秒）的缺少，但是仍然不能与别的数字一起组成一个数目。比如你有38个鸡蛋，你可能说你有3打零2个鸡蛋——一般不会说有两打零14个，虽然这样在数学上是正确的，英国的币值在十进制以前也是这样的，说你有5磅22先令14便士是习惯用法的错误，实际你有的是6磅3先令2便士。这两种计量都是我们更早时期处理数目方式的倒退，那时的计量单位只是为了限制不同“堆”的附加物。计算物体的数量要在常规传统界限之内。从书写一个符号表示“这一数位什么也没有”到象“106”或“41.005°”（41°00′18″的数字形式）这样的数字出现仍然有一段很长的里程要走。
既然零几乎不会在希腊人天文著作以外的地方出现，为什么希腊人没有继续这条路呢？而且，为什么这样一个有创造力的民族，在有位置符号写法很长时期还没有零？在他们能力的顶峰时刻，为什么没有从应该已经启发了思想的地方又前进地更远？
你可能提出异议说一切归于他们对埃及人的推崇，埃及人既没有零也没有表示位置的数字书写方式。但是对希腊人来说，推崇往往会转变为竞争，他们对粗俗的没有耐心（埃及人的数制缺乏任何高雅的地方）导致对我们奉为科学精神的无休止的混乱；从头到尾，是好奇心带来了灵活多变。现在仍然是这样：我曾偶尔问一个希腊朋友他有多少同胞在巴黎生活。他耸耸肩说：“谁知道呢？但是我会很快得到答案。”他飞快地冲出我们的咖啡桌，跑向最近的墙，开始用手指钻洞。“你在干什么？”我大惑不解地问。“不知道，”他说，“但是希腊人是好奇的，不用多久在巴黎的每个希腊人都会来这儿，提出问题并且给出建议。”
那么，如果不是对埃及人充满敬意，什么能解释希腊充满机智的历史上的这个怪现象呢？非常奇怪的是计算在他们当中并没有多少声望。是他们称做象征派逻辑和商人之类的人做的。不是所有的希腊人都轻视商业，他们很擅长于此，整个雅典帝国可以证明——但是，他们的悠闲阶级却是轻视商业的，那些我们有他们作品的思想家就是这个阶级的。他们的数学在几何学方面涉足很深，取得了意义深远的结论。
这些几何学家——在他们中间出现了苏格拉底（Socrates）和柏拉图（Plato）——通过画在沙地上的图形用几何学的方法解决算术学的问题。1，3，6，10等等是三角形数，因为你可以通过用一行点来增大等边三角形来获得。
三角形数
这样的图案产生了更进一步的洞察力——按照正方形数，正五边形数的顺序，例如
一些多边形数字
但是没有零，也不需要零，因为他们不是在计算而是希望通过这些图形来揭示宇宙中存在的规律。
这把商人置于何种境地了呢？他们使用一种哲学家永远也无法描述的装置，今天你仍然能够看到他们的后代在酒馆中玩着西洋双陆棋游戏（十五子棋戏供两个人玩的木板游戏，通过掷骰子来决定棋子移动的步数——译者注）——计算板。甚至在这之前——虽然这些计算板可以追溯到至少公元前17世纪（巴比伦人可能在早一千年前使用过）——他们用手指通过灵巧的方法飞快地进行计算（你仍然能看得到，在市场上，女人们弯曲和绞起手指，用于某种有人称做“女人的算法”中，或者有人称这种算法叫“提花马赛布算法”）。
梭伦（Solon），古代雅典伟大的立法者，在他的一篇诗歌中把暴君的喜好和计算板相比，它的价值依赖于人们一时兴致把筹码从一个数位拖到另一个数位。这个隐喻告诉我们关于零的决定性作用——特别是当我们看到这个隐喻在五世纪后被历史学家波利比奥斯（Polybius）夸大后。
围绕在国王周围的朝臣实际上象计算板数位上的筹码一样。因为，依靠计算者的愿望，他们或许价值仅八分之一奥卜尔（obol，古希腊银币），或者一整塔兰特（talent，古希腊银币，大约是八分之一奥卜尔的300 000倍之大）。你应该注意到计算板上从左到右的数位当然没有表示零的（一些希腊计算板从左到右明显地有一些数位分别地代表1个塔兰特（6 000 德拉克马drachas，古希腊银币名），然后是1 000，100，10和1 德拉克马，之后是1，1/2，1/4和1/8奥卜尔(6奥卜尔是1 德拉克马)，这些是用作计算钱币的计算板，就像那些计算房中老式的计算板，这些计算板后来进入我们的银行，也就成了计算用的长形工作台）。因为，换句话说，“无（零）”不是一样东西，也不是一个数字，而是计算板的一种状态——经常是瞬时的状态。手指计算也是这样，如果我们用更晚一些的体系，探究一下比德（Bede）副主教写于大约公元730年的“关于用手指计算和交流”手稿，“零”用手指松开 或平常位置来表示，换句话说，它根本没有手势示意。
比德（Bede）用手指符号表示2 000
希腊做计算的人几乎不需要表示数量的名称，因为他们可以用数位上的筹码来说明：
4 825：在X（=1000）位有四个筹码，所以是4000
在 （=500）位有一个筹码，所以是500
H（=100）位有三个筹码，所以是300
Δ（=10）位有两个筹码，所以是 20
Γ（=5）位有一个筹码，所以是5
4 825
更进一步的运算显而易见。但是，非常糟糕，甚至发展到需要名字的时候，零也不在其中。
我们进行一两页离题的讨论：这些计算板告诉了我们一些关于零的符号的来源的推测。在阿普利亚区（Apulia，意大利东南部的一个地区）出土的公元前4世纪的一个有红色图案的精巧的双耳喷口杯，我们称它为大流士（Darius，古波斯帝国国王）花瓶，在这上面可以看到皇家司库在计算被征服国家呈上的贡品的价值，这些国家的代表躬身站在他面前。他坐在一个有币值符号的计算桌子旁，其中一个是O，奥卜尔（Obol）的缩写，一个硬币的价值，就像你看到的，几乎一文不值（他们运走尸体时，把一个硬币放在死者的舌头下面来付给摆
大流士的司库坐在他的计算桌旁
渡到上帝那里的船夫）。几乎一文不值？如果你手头没有表示“无”的符号，一个跟它价值相近不可以吗？在科普特（Coptic）文中，用巨蟹座回归线附近六月正午十分的影子（根本就没有影子），据说有半脚长，来避免不得不说到的零。或者如哈姆雷特（Hamlet）的朋友霍雷肖（Horiatio）会对我们说：“太难以理解而不能这么考虑？”我个人认为不是计算板上的数位而是筹码给了我们一直寻找的线索。用作筹码的卵石一定有点圆，因此在书写中就很自然地用实心的点●表示，因此，用图形来表示在数位上一个筹码也没有就是一个空心的点O。从一个图形到符号（图象到图象）不是一个很长的历程：思考一下罪犯们简洁的黑话“两个O一个位置”就是粗略查看快速但全面地检查或做（once-over），也表示一个栩栩如生的双关语，一双监视的眼睛。为什么圆形的O经过几世纪拉长为0了呢？因为劈开的大羽毛和钢笔尖在画一个连续的圆要比画两个垂直并弯曲的笔画困难得多。
如果符号方面的存在到不存在，●到O，对你来说，仍然是太大的一步，有一个相似的推测来缩短这一步。可能不是希腊的几何学者在顽童似的把玩商人们的筹码时偶然地发现了三角、正方、多边形数字的数字。他们不应该是唯一的拿这些筹码做上述用途的人：两千年后年轻的歌德（Goethe）就热衷于在父亲的计算板上把石子排列成星座的形状。我们从柏拉图可以推断几何学家们至少有时在沙上涂写他们的数字，如果他们也在沙地上用卵石得到他们的成型数字，那么商人们——或者不管是谁使用筹码来计算——看到这些图案时也会看到拿掉一个筹码后的结果：在位置上留下了一个圆形的压痕，是O代替了●。霍雷肖又要对这些假设清嗓子了吗？用撒了沙子的计算板会让他对不可能的事感到满意。
从这个分支开始追溯，我们能得出结论，希腊人用一种形式写数字，另外一种形式来进行数字计算。雅典贵族的势利不能完全解决这个分歧：一些隐秘而且更深入的东西在起作用——语言的重点和思想的重点在互相转化。看那些卵石在你周围迅速移动不可能产生信任——象旧骗局的受害人将告诉你的那样。阿里斯托芬（Aristophanes），五世纪雅典喜剧作家，在他的一本作品中，有一个人物这么说，城市的财政不应该用卵石计算而是用手指。但是手指计算为什么更值得信任？它不能留下永久的记录。需要一种代码既足够灵活使用，又利于思考，但要足够安全来抵制像台比留国王那样的人。你注意到我们仍不得不老是要解决这个问题：在你的支票上必须不但用数字，而且要用词语写出数字，银行将核对它们，这样才可以减少被伪造可能。
计算的方式仍保留着清楚的记录：这是身体与思想分离的地方。想想填满你日常的这些成千上万的不可名状的举动：调整你的声音来表达兴趣或轻蔑；系你的鞋带；做一个煎蛋或一次精确的射击。这些动作是你的身体知道如何去做但你试图描述时又总是犯错。但是这不管多么令人惭愧，直到这些招数能用语言表达出来时我们才能从中抽象并带入我们的思想。零——在行动与事物之间保持平衡（数字是什么，它什么时候成了形容词或名词？）——使用者不管什么时候停下来思考他们正在干什么都会感到迷惑。
希腊人蒙在这个不被称作数字的数字（零）的最后一层面纱：我们知道，它也是蒙在别的其他数字上的面纱。语言出现于我们的行动与思想之间，但是它本身有两个层面，口头的和书面的。书写的永久性使它在两者中是对我们更有价值的。但是不总是这样，那个黄金时代的希腊人有特别的观点，一些是基于他们的歌唱家特别的能力，他们可以用心记住象《伊利亚特》（Iliad）和《奥德修斯》这样的洪篇巨著的史诗。记忆常常被等同于知识，充满智慧的知识——因此文章（我们文化的宝库，与祖辈的联系）的记忆对他们来说是类似于乐谱的东西：当音乐会上的钢琴家面前摆着乐谱才能完成演奏时会使你感到扫兴。或许这就是为什么柏拉图写对话了。这些对话是他们的语言，却不被这种语言接受。他在一本书中故意地使苏格拉底证明这样一个问题，书写会导致健忘而且只给出了真理的外表，而不是真理本身。这可能也是为什么更早的哲学家赫拉克利特（Heraclitus）使他的格言格外的简短而令人困惑，事实上，希腊人就是因为这个而发明了反语，不说出你想要表达的意思的全部，而仅仅是说出一部分来表达全部意思。
零也是一种反语吗？它在希腊文中的缺失可能不表明他们不用或不思考它，事实上，或许正好相反。保守秘密的规矩遮掩了同时代的毕达哥拉斯（Pythagorean）同行们的活动，数学对他们来说是重要的东西，而且它的新加入者为他们关于宇宙秩序的新发现保密（在等级制度中，了解了关于无秩序状态的更深秘密的人会受到失去理性的成员的威胁）。他们可能是一些秘密传统的管理者，包括零，后来都遭受了在我们视线之外漫长的潜行。仅仅在几世纪以后零就出现在印度炎热特别的灰尘中？
当然，像狗不吠叫之类的证据永远不可能被庄严的历史所接纳。那些标准的证据使我们仔细地研读一行行的文字，而不是仅仅游离其中。但是思想也热衷于间接地找出前进的方向，在法庭外点头和眨眼一样好：他们警告你，不管从这里出现了什么符号，不管怎样，都无法代替零所表示的不存在。
第一部分 透视零第8节 旅行者的故事
很久以前的那个秋天，这个世界上发生了什么事情呢？当雅典（Athens）的这个想法传到亚历山大港（Alexandrian），它的影响力达到罗马（Rome），它所创造的文明又通过侵略和商业贸易向东方传播，是它在新的环境中改变自己，还是为了吸收它环境自己改变了呢？我们已经度过了那个几何学繁荣胜过算术的时代，因此我们将期望零自己本身获得自己应得的地位而盛行起来。下面介绍这个小小环形符号巨大的描述、解释和调节能力，这个符号从一种语言传到另一种语言，从一个数学家传到另一个数学家，从一个天文学家传到另一个天文学家，但没有一个人意识到他们所拥有的这个符号是多么的重要。
正如所有的优秀冒险小说那样，不该出现的东西绝对不会在它不该出现的地方出现：举个例子，公元前三世纪，在西西里岛（Sicily意大利南部一岛屿，位于意大利半岛南端以西的地中海——译者注）人们对巨大数字产生了热情。你应该会想到，在研究生长的植物时，必将导致一个表示位置的符号和零的出现，这种表示方法的杰出地方是：不管是存在的还是不存在的各种各样的大量物品，通过抽象和空出该空出的位置来计量它们的数量，表示它们的数字都是一样的。在前面的几章你已经看到了，创造和熟练的掌握为大数字所起的名字是多么的困难，而为了获得一个大数字在1的后面加上一个0又是多么的容易。这当然是我们如何勾画那些令人敬畏的和所期望的巨大数字的最佳方法。当我们在比赛谁写的数字最大的时候，最后的胜利者总是那个在前一个人写的数字的最后加上一个零的人——就像都柏林（Dublin）的调酒师，总是设法向已经满溢到边缘的酒杯中再多加一滴强性黑啤酒（了解了我们给大数字起名方法的改变以后，该如何写我们向无穷大靠近和想象力不断演化的历史呢？）。然而，一个就像调酒师那样热衷于玩弄那些令人难以置信的大数字的发明家，而对那个能方便的表达大数字的零却视而不见。
阿基米德将要被一个百夫长(古罗马的军官，指挥百人——译者注)杀掉
阿基米德（Archimedes古希腊数学家、物理学家、发明家——译者注）出生于大约公元前287年，他的父亲是一个天文学家。在他那些令人惊异的著作中，有一本是送给锡拉库扎（Syracuse，意大利西西里岛东南部一城市，位于卡塔尼亚东南偏南，爱奥尼亚海沿岸。 公元前8世纪由科林斯殖民者创建，5世纪其国力达到颠峰，但于212年落于罗马人之手——译者注）国王盖隆（Gelon）的，在这本书中，他向国王展示了如何给巨大的数字命名，这些数字可以不仅仅比锡拉库扎海岸的沙粒多，而且可以比整个西西里海岸的沙粒多，世界上所有陆地上的沙粒，知道的和不知道的，都能用这个方法表示。而且，他说：“我将向你展示，通过几何学证明后的这种方法能使你理解这些我起了名字的数字……那些超过所有沙粒数量的数字……与宇宙具有同样数量级的巨大数字。”
一个磨房，把所有海边的沙子不停的研磨，这个难以想象的情景也许只有在神话传说中才会出现。利用阿基米德创造性的一系列乘法，这些细沙的数量，可以准确的表达出来。
阿基米德这么说：假定在一个有一个罂粟种子那么大的小堆里面至少有10 000个细沙粒，40个罂粟种子排起来和一个手指差不多宽。为使问题简单，假定每个种子都是一个球体。当这些小球一个挨一个排列的时候，一个小球所占据的空间是等于以它的直径为棱长的立方体的体积（你可以想象，以一个球的直径为棱长有一个立方体，那么这个球将恰好能放入这个立方体中。之所以这么假定是因为当时还没有发现球的体积计算方法——译者注），所以，当以40个种子排列的长度为一个球的直径时， 这个球的体积将是一个种子体积的(40)3=64 000倍；并且由于一个种子大小的球体中含有10 000个细沙粒，所以，我们已经讨论了64 000×10 000个，也就是640 000 000细沙粒。用我们现代的符号表示，也就是43×107个细沙粒。为了方便，我们把64四舍五入到100，因此，我们将得到，在一个直径是一个手指宽的球体里面含有109个细沙粒。不要担心所有的这些估计可能都太大：正如你将看到的，夸张是阿基米德的这个游戏的一部分。
现在，让我们继续开始，10 000（104）个手指宽度将是一个称为斯忒德（stade，古希腊、罗马的赛跑场，长607英尺，约185米，大约是1英里的十分之一，后来以此作为一个长度单位——译者注）的希腊长度单位的长度。一个直径是104个手指宽度的球体体积将是一个以一个手指宽度为直径的球体体积的(104)3=1012倍，我们知道在一个以一个手指宽度为直径的球内含有109个细沙粒；所以，以一个斯忒德长度为直径的球内含有1012×109=1021个细沙粒。
阿基米德随后引用比他早25年的一个伟大的天文学家阿里斯塔克斯（Aristarchus 生活在希腊东部爱琴海上的萨摩斯岛(Samos) ）的著作中的数据来估计宇宙直径的大小（古希腊人认为固定星星的地方就是宇宙的边界）。阿里斯塔克斯坚信地球是绕着太阳转的，他的这个想法可是比哥白尼（Copernicus）的想法早了很多年。根据阿里斯塔克斯的观察和计算，阿基米德先假定一个球（称它为S），这个球的半径是地球到太阳的距离；然后他假定下式成立：
通过这个式子，他得到宇宙的直径是100 000 000 000 000或者说是1014斯忒德（计算过程中对阿里斯塔克斯的数据进行了修改）。为此宇宙的体积就是以一个斯忒德为直径的球体积的(1014)3=1042倍，以一个斯忒德为直径的球可以容纳1021个细沙粒，所以如果宇宙中充满细沙粒，那么这个宇宙中细沙粒的数量就将是1021×1042=1063。
“盖隆陛下，我推想，”阿基米德说，“对那些没有研究过数学的人来说，所有的这些看起来好像是难以置信的，但是对于一个数学家，这个证明将是令人信服的。正是出于这个原因，我想你花费时间来学习这个东西将是值得的。”
在20世纪的40年代，两个纽约人（New Yorkers）估计科尼岛（Coney Island）上细沙粒数目应该在1020数量级；现代科学估计，在我们现在意义上的宇宙内含有的所有小粒子（比细沙粒要再小很多的粒子）的数量应该在1072到1087数量级，我们现在观念上的宇宙可是比阿基米德所说的宇宙要大的多的，考虑到这些，你将不得不说，阿基米德的估计并不全是那么糟糕的。
这些是希腊人洞察力引人入胜的应用，他们通过类比周围世界来理解遥远的世界。但是，当你意识到阿基米德当时并没有10的乘方这样表达方便的符号，所有的一切都是使用他们那个时代意义上的零来完成的，这些会使你感到更加引人入胜和壮观。
“阿基米德为何错过发明这样方便的符号呢？”卡尔•弗雷得希•高斯（Karl Friedrich Gauss 最伟大的数学家之一，对阿基米德很崇拜）这么问道。在19世纪，他这么写道：“如果阿基米德发明了这样方便的符号那该多好啊！现在的科学不知道要发展到什么程度了！”但是，事实是阿基米德一直致力于数的名字而不是数字，希腊最大的数字的名字是“米瑞亚德（myriad）”,它表示10 000。这个名字可以让它表达一个米瑞亚德的米瑞亚德（108）这样的数字，随后，他发明了一个新的术语，任何一个小于108的数字（包括108本身）称为一个第一级的数。
然后，他用一个米瑞亚德的米瑞亚德（108）作为单位来表达第二级的数，因此，第二级的数的最大值就达到了1016（我们可以这么说是1016，但他不能这么说）；接着，把1016看作是第三级的数（该级的数的最大值是1024）的单位，等等依次这样类推下去；那么，那个不可思议的巨大数字1063就是一个第八级的数。
但是阿基米德并没有停在那里，事实上，他刚刚开始。阿基米德留下了这个充满了沙子的宇宙，把自己也减小到看作一粒细沙，他在数量级上增加数量级，甚至把数量级达到了108数量级，这个数字的巨大是惊人的，从(100 000 000)99 999 999到(100 000 000)100 000 000就足够包含所有的数字。
我们做到了吗？几乎不能。所有的这些数量级(最大的数量级是那个起了名字的108)组成第一周期数(0--(100 000 000)100 000 000之间的数——译者注)。如果你看到阿基米德自己的话，那么你的思维就会不自觉地离开现在讨论的问题，感觉就好像是艾丽丝(Alice)掉到了仙境里面,嘴里还说着：“猫吃蝙蝠吗？蝙蝠吃猫吗？”这样不知所云的话。阿基米德是这样说的：
把第一周期数的最后一个数字看作是第二周期数的第一级数的单位。接着想下去，把第二周期数的第一级数的第米瑞亚德的米瑞亚德(108)个数作为第二周期数的第二级数的单位。
也许，盖隆国王读到这里读不下去了，所以，他也没有能看到阿基米德的最终结论：
让这个进程继续下去，以第米瑞亚德的米瑞亚德周期数的第米瑞亚德的米瑞亚德级数的单位为单位，达到这个单位的米瑞亚德的米瑞亚德倍
简单的说，用我们现在的符号表示，数字的值达到了1080 000 000 000 000 000。当然，在他的观念里的宇宙或者我们现代的宇宙中都不可能有这么多的细沙粒来对应这个数字；如果我们一秒钟数一个数的话，甚至从宇宙大爆炸开始到现在也依然没有足够的时间来数完这些数，因为阿基米德的第一周期数的最后一个数是1的后面加上800百万个零，而这个数(1080 000 000 000 000 000)又是它的108倍。
如果要使那些没有意义的历史变得有意义，我们就需要思考有些表达方法为什么没有被采用，在这个过程中阿基米德做了什么？零为什么没有出现在他的发明中呢？一些人说他的《沙粒计算表》是旅行的力量，你可能认为这完全是希腊人在嬉戏：因为柏拉图（Plato柏拉图希腊哲学家）说我们是上帝的玩物，所以我们应该玩一些高尚的游戏——阿基米德的非凡的工作，由于没有任何可以想象得到的使用价值，所以一定是一个百无聊赖的谐谑曲。他的目的是想贬抑一下国王呢，还是想享受自己在研究大数上超过他的前辈的那种荣耀呢？举个例子，阿基米德的父亲菲迪亚斯（Phidias），在那个时代他已经宣称太阳的直径是月亮直径的12倍，而阿基米德断定这个数字应该是30倍（他也许很乐意知道这个倍数实际上应该是400倍）。阿里斯塔克斯在他的一个计算中使用了一个令人畏惧的数字71 755 875，在这方面阿基米德向前跨了一大步。就像我们的孩子们比赛谁能记得最大数字那样，在阿基米德时代，数学家之间是不是存在着这一类竞争呢？阿基米德同时代的艾派劳尼斯（Apollonius）似乎就用自己的一套给大数字命名的方法对阿基米德的《沙粒计算表》做出了回应。随后，阿基米德计算了一个问题，这个问题的答案是如此的大，如果我们写出它的数字的话，那将占据47页的空间（用阿基米德的方法，这个答案应该是：“7个单位的第3米瑞亚德又5819级数，7602米瑞亚德又7140个单位的第2米瑞亚德又5818级数……”）。当你了解到数学家依然是这样相互促进，并且这种促进会无限下去，你会感觉很好玩——或者你被搞糊涂了。
还有更深奥的，难道阿基米德是在向我们展示一种如何尽可能具体的思考很大数字的方法？给了我们一种分级思考数字的方法，而不是面对整个巨大的数字，这种方法使我们能够把无穷大和大数字区分开来。正如我认识的一个数学家最近说的那样：“大数字确实很大。”
我们这儿看到的在语言和思想之间相互促进的一幕并没有导致零的出现，相反，这种促进故意的避免了这个方便符号的出现吗？在《沙粒计算表》的开始部分，阿基米德说了这样一段奇妙的话：
有一些人……认为还没有这样的数字被命名，这些数字足够的大，以至于可以超过地球上任何一个地区的细沙粒。但是，我将试图向你们展示……这些被我命名了的数字……一些超过……能填满整个宇宙的细沙粒的数字。”
为什么重点落在了命名上？想一下圣•保罗（St Paul）写在以非所书（Ephesians，基督教《圣经·新约》中的一卷）上的话，他这样说道：
每一个被命了名的名字，不管是这个世界上现在存在的名字，还是将来会出现的名字，都远远的高于所有的公国、所有的权力、力量和主权。
在古代人的意识里，所有存在的事物必须有一个名字，难道所有的现代人都没有古人的这种意识？很多孩子都拒绝接受数字将无限发展下去（仅仅给前一个出现的数字加上一个1就可以让数字增大）这样的论点，因为他们认为数字的名字是不够用的。对他们来说，一个古戈尔（googol，10的100次方，1后面100个0）和一个古戈尔普勒克斯（googolplex，在阿基米德的思想里，即10的古戈尔次方）是一样的，因为他们虽然很大，但是活生生的朋友，因为它们有名字。我认识的一个七岁的小女孩这么说，所有的数字中最大的一个是23 000。“那么，2300加1呢？”有人这么问道。她想了一会儿说：“好吧，我错了。”在这种原始的冲动下，人们使用了一切努力来给很大的数字命名，像称10366为普瑞末－外基斯末－森提莱恩（primo-vigesimo-centillion），称103 000 003为迈利夫鲁欧斯－米利－米利莱恩（mellifluous milli-millillion）。我们的一个最基本的数字是1063，或者说是1的后面有63个零的那个数字，这个数字使我们的想象力受挫：它仅仅是有几打（一打表示12个）零的数字。便与思考的东西使我们的想象力变得贫乏。
阿基米德使用米瑞亚德的米瑞亚德、级、周期来代替使用零，给出了一个很实用的理解大数字的方法——利用级、周期来类推，把那些我们无法理解的巨大数字放到离我们更近一些的地方来理解。当然，还有其他的方法来满足那种原始的冲动：比如，用恐惧来代替敬畏。比阿基米德晚800年的约翰•多恩（John Donne）在他的一次大斋月的训道中这么说到：
人们已经计算了如此多的细沙粒，这些沙粒足够填充地球和苍穹之间的巨大空间：我们发现，几行零就可以描绘和表达那个数字……，但是，如果每一个细沙粒都代表那个巨大的数字，然后再用那个数字把它们相乘起来，那么，得到的这个不可表达的和无法理解的巨大数字构成的不是永恒的一分钟；上帝对那些不相信神的人的咒语也不会比一分钟短，因为他已经忍受了这么多代人的这种犯罪，这些人多的就像那个数字表示的沙粒那么多……，人类如何忍受它的存在，我们也不知道；在上帝和这些罪人之间有什么交流，上帝的咒语会作用在谁的身上，让他们在午夜的黑暗中品尝恐怖的惩罚，他们不会使我们知道……，这是上帝的咒语，这个咒语直到上帝的到来才会结束；当上帝来到我们面前的时候，他不会颠倒黑白，不会减轻你的罪责，他会确认你的罪责并加重这种咒语。
第一部分 透视零第9节 向东方传播(1)
我已经指出抽象的思考和想象力是一对竞争对手,为什么一个繁荣起来必然会以另一个的牺牲为代价呢?无论你把时间向前推多少年，计数和命名都一直是孪生的,在荷马(Homer)的航海日志中,计数和命名被这样写道:
……这对孪生兄弟生活在海瑞亚（Hyria）和多石的奥立斯（Aulis）,
在伊泰恩瑙斯（Eteonos）幽深的山谷中，游荡在斯靠亦瑙斯（Schoinos）和斯靠劳斯（Skolos），在广阔的米凯莱扫斯（Mikalessos）上玩耍……
甚至在表达思维的这两种行为时(计数,命名),我们的话语也可以是平行的:我们在讲故事的同时在数念珠,计算帐目的时候讲述我们过去的传奇。
从简单的数数到在大量的数据间寻找关系,数学就这样慢慢的发展着,我们还确信这种发展一定从我们给数字起名这一类似打包的行为中得到了益处,我们让每一个名字尽可能的含有特别的意义,听到它的发音就能让我们知道和想象到它的含义。接着,连接这些起了名的数字,就可以建立起来一种全新的表达体系,这种表达体系将给我们带来全新的空间,而不是原先的狭小空间。
问题是,为了更加关注这种关系,我们就必须把我们所要连接的事物简化为单纯的一点——然后使这些连接符号化,这就将使这种表达体系继续扩展。任何过于扩大节点的行为都将使这种连接陷入崩溃。不要在过去的旧体系中犹豫不前,必须跳入到新的表达体系中去。这种递归的抽象方法在推动数学发展中是一个非常重要的要素,把你刚才看到的美景省略掉它的细节,保留它主要的东西才能使看到风景在你的大脑中留下更深的印象。歌德（Goethe）把数学家和法国人放在一起比较时有一点惊异。“无论你告诉他们什么”,他说,”他们都会把你说的东西转化为他们自己的数学语言,并且所有的东西立马就变得完全不同了。”
他们在清楚的说明这种关系中的关系时,存在第一层关系的数字有一种幽灵似的东西存在,难以理解。他们相当小心的开始这种思考:如果碗中有七个苹果,确切一点说,,“七”是属于谁呢?显然,不属于你拿起来的任何一个苹果(甚至也不属于你最后数到的那个苹果,因为你可以用不同的排列来数数)；当然也不属于那个盛放它们的碗,但是那里确实存在七个苹果。很多聪明的人都被这个问题困惑。一些人说七是一组,任何包含七个事物的组都可称为七。如果你吃掉一个苹果,那么七跑到了哪里?这么假定,虽然有一个脱离了组,但对于这些组来说他们依然应有七个成员。
这种情况对于零来说更难理解。零的名字属于一物体,但是零又不属于任何事物。它表示那里的全部物体是什么也没有。基于这层含义,零一定存在于每一个地方:举个例子,可以想象有零个蜂鸟(美洲产)在那个盛放了七个---或者现在是六个---苹果的碗里面。那么,零命名了什么呢?看起来好像是一个更小版本的格特鲁德•斯坦（Gertrude Stein）的奥克兰（Oakland，地名），没有任何东西在那里。
“我可以从浩瀚的知识中总结出主要精神”,莎士比亚（Shakespeare）的作品《亨利IV》中的欧文（Owen）这么说。“ 为什么我能做到这些,其他人也能做到这些呢? ” 号特斯帕（Hotspur）回答道：“但是,当你想要得出主要精神的时候,他们就一定会浮现让你抓到吗?”我们可以通过给数字起名字来领会数字的主要含义,但是他们依然是那么难以捉摸,细小的零让他们跳着舞走开。
跟随着跳舞的步伐，沿着公元前326年亚历山大国王的入侵路线,零传入了印度,随后从亚历山大港出发的商业路线使希腊人获得了巴比伦人的礼物----零。假想我们进入了一个神话传说中的国家,在那里时空被惊人的拉长,数字也是惊人的巨大,所有的这些都是很平常的事。足有四码宽的蚂蚁队列川流不息的通过因陀罗(Indra印度神话中印度教的主神, 司雷雨及战争——译者注)宫殿的地面。“它们是干什么呢?”他惊讶地问站在他面前的一个十岁朝圣者。这个孩子说:“每一个人都曾经是一个因陀罗,这些因陀罗们统治着无数个宇宙,这些无数的宇宙就象一个个精致的小船,一个挨着一个飘浮在这个无边无际的空间中；每一个因陀罗可以活71世，在婆罗门（Brahma，婆罗门创世主，主要被想象成包括护持神毗湿奴和湿婆神在内，构成的三位主神的其中一成员，印度教也称作梵天,宇宙最高的永恒的实体或精神——译者注）中的一天一夜是因陀罗中的28个轮回，它是由108年这样的日日夜夜组成的。婆罗门出生前和死后都有另外的一个婆罗门存在，婆罗门是没有终止的。
但是,对于那些缺乏想象力的人,我们必须放弃来让他们想象这些故事或者他们前辈的生活情景。当一些事情发生的时候,用浪漫诗意的态度来看待这些事件是比我们普通的思维要好的,利用这种浪漫的思维,通过这些事件我们可以把那个久远时代的事情连起来成为一个模糊的编年史。《苏雅·斯德班特》（ ）的最早版本是印度关于天文学的第一部重要著作,这本书中甚至宣称该书中展示的工作比该书出现的时间早2 163 500年(可是这个错误没有被及时的修订,成了无神论者克里斯多佛•马洛(Christopher Marlowe)的借口,他指出这本书中说的年代比亚当的诞生还要早)。
《方广大庄严经》（Lalitavistara）是比阿基米德晚了至少300年的一本书,其中有一个非常吸引人的故事,我们是否可以说阿基米德的《沙粒计算表》和他的计算方法影响了这个故事呢?佛陀(Buddha佛陀,印度神秘主义者和佛教创始人,他在35岁大彻大悟后开始传教——译者注。)展示了他自己作为一个年轻人，为了获得戈帕(Gopa)之手,在竞争中，他轻易的在摔跤、箭术、赛跑、游泳和书写中战胜了对手。接下来是数学测验:他必须为超过一个抠悌（koti，10个百万,也就是107 )的数字命名等级,每一个等级应该是前一级的100倍。乔笞摩（Gautama，释迦牟尼的姓，也就是佛陀Buddha）的回答是:阿与他(ayuta)、尼与他（niyuta）、坎珂日（kankara）、卫卫日(vivara)、阿科币亚(achobya)、卫瓦哈(vivaha)、尤三伽(utsanga)、吧呼拉(bahula)、那嘎巴拉(nagabala)、提提拉麻哈(titilamabha)、亚外三阿普日纳普提(vyavaithanaprajnapti也就是1031)，接下来是迷人的巨大数字萨马普塔拉麻哈（samaptalambha,1037），感到绕口的卫叁德纳嘎提（visandjnagati,1047）到最后的塔拉克坎纳（tallakchana,107+46=1053）。
但是这毕竟不是最后,正如阿基米德的表达方法,这仅仅是第一级的数。第二级的数是第一级的数的最后一个数到107+2×46=1099之间的数。最终第九级的数使他达到了107+9×46=10421(这使站在他旁边的穿着长袍戴着饰品的侍臣大吃一惊)。
为了获得额外的成绩,他为一个尧觉纳（yojana，大约三英里)内的所有原子(它的原子概念不是现代意义上的原子概念---译者注)命名:七个最小的原子组成一个很小的尘埃,7个很小的尘埃组成一个小尘埃,七个这样的小尘埃组成一个你可以在阳光下看到的微尘,七个这样的微尘组成一个兔子微粒,七个兔子微粒组成一个小牧羊微粒,七个小牧羊微粒组成一个公牛微粒,七个公牛微粒组成一个罂粟种子！听起来很熟悉？通过以七为单位最终达到了芥菜种子的大小,大麦种子和手指关节的大小,十二个手指关节是一扎(伸开手掌,拇指尖到中指尖可达到的最大距离)，二扎是一个腕尺的长度（自肘至中指尖的距离），四个腕尺的长度是一弓的长度(伸开双臂,两中指尖间的最大距离)；一千个弓的长度是摩揭陀（Magodha陀印度东北部的一个古国）国一个坷枘(cry,两个人呼喊可以听到的距离，在摩揭陀有一定的标准)的长度，四个这样坷枘的长度就是一个尧觉纳----或者说在这个长度内总共有384000×107个原子 (他继续这样做下去,表示了地球所有陆地上的原子数量,甚至表示了宇宙中三百万个地球中可以含的原子数,由于某种原因,他们的宇宙概念变小了)。
乔笞摩的奖赏不仅仅是戈帕(Gopa)之手,而且还有所有学生都梦想的场面:考官自己躺在这些年轻人的面前并且宣布:“你是著名的数学家!而我不是!”
旅行者的故事一定有一个寓意,好的故事有三个寓意。这个故事的一个寓意就是,以你自己的方式组建一个大得有点荒谬的数字,这不仅仅可以发展你的创造力,而且可以是一个赢的尊敬的传达媒介——以这种方式向世人说:“这个时代,地球上有巨人存在。”背诵这些冗长的数字名字（阿与他、尼与他……）使你有一种巨大的不可见的力量，赋予你讲述神奇魔法的力量。如果这些名字混淆了怎么办？阿与他(ayuta) 和尼与他（niyuta）在这里是109和1011,而在其它地方则表示104和105；如果在其它的计算方法中三个不可见的原子组成一个微尘。八个这样的微尘组成一个罂粟种子(或者如其他学者那样,根本不用罂粟的种子,说是一个虱子的卵。)这又该怎么办呢?兔子微粒,小牧羊微粒,公牛微粒的确切含义又是什么呢?微粒的尺寸相互引起混乱? 巴别塔（Babel，在《旧约全书》中希纳的一个城市（现在被认为是巴比伦），当建筑者们不能理解彼此之间的语言时，通天塔建筑被迫中断了——译者注）遭受了同样的痛苦。以各种不同的形式和发音来为数字命名会激起一种魔力,这种魔力是用零排起来的数字所不能有的。
第二个意义存在于佛陀的评论中：“除了我和那些像我一样看到了最终结果的人,生活在房间以外的人是不可能知道这个计算的……这是计算的终点。超过它的东西是无法计算的。”换句话说:数字是不可能超过存在的事物的数量的。因此,对于这个故事中的讲述者和听众来说,数字是和物体紧密联系着的。——这个故事对我们更重要的是依然没有一个完整的以位置来表达数字的符号系统(如果有,我们看到的将是数字计算不会结束，因为我们可以通过最后一个数字乘以10来获得更大的数字)。
第三个意义是最重要的,那就是在这个时代,希腊文化对印度文化的影响是显而易见的。在阿基米德的计算系统中出现的罂粟种子和这里的罂粟种子不可能是一个巧合；即使你忽略这一点你又如何解释这两个计算方法的相似呢?事实上,如果你随意看一下印度的占星学,天文学,或者数学,你都将看到希腊文化的踪迹:与印度教有关的黄道带符号和天文学术语的名字都是来自希腊的借用语(“Kendra” 来源于 kentron center， 举个例子，“lipta”来源于 lepton，用来表示分钟)；他们书写分数的方法与希腊人一样特殊——不写分数线。更进一步的最好的证据是结构上的,例如，印度人的行星运动论(大约公元400年)是希腊天体学本轮(epicyclic)的一种。让我们再看一个最无法掩饰的错误事实:在印度教早期的天文学中,最长的一天和最短的一天的比值是3:2——这个比值除了在印度最北的纬度地方是正确外,在其它地方是完全错误的,而这个比值对巴比伦来说是正确的,后来被希腊人引用。从《苏雅·斯德班特》中可以看出印度的天文学和数学都与希腊文化或多或少有点联系,显然是由森（Sun）在公元前2 163 102年传授给了一个名叫马雅•阿苏（Maya Asura）的绅士。森（Sun）指导他“进入若玛克人的城市(Romaka-city),你自己的住处。在那里，作为一个粗鲁的人，你将获得重生 (感谢佛陀的咒语),我将传授给你天文科学知识。”若玛克：也就是罗马人，用来指代罗马帝国或者拜占庭帝国（也就是东罗马帝国）中的希腊人；粗鲁的人：也是指希腊人，他们“确实是外来人”，正如天文学家瓦日哈米海瑞（ ）在公元550年写的那样，“但是，在他们那个时代，天文学处在一个繁盛的时期。”
印度零的形式是一个中空的圆圈,我们知道是来自希腊天文学的草稿,在印度又重新改造了,这一点也不会使你感到吃惊。瓜利尔公国(Gwalior,昔日印度北部一公国,印度旧都德里Delhi南部约250英里)的人,想在护持神神庙的旁边建一个花园,那么护持神每天就可以从花园中摘走50朵花,——这可是一个美好的想法。他们把这个礼物的细节雕刻在一块石头上,注明的日期是萨维塔（Samvat）933年(公元876年),上面还标明花园的规划是187×270哈斯塔斯（hastas,长度单位）。270被写作 ，50被写作 。这是这个符号0在印度出现的第一次明确的书写形式。刻在铜盘上的文档中有同样大小的0,书写的日期最早是公元六世纪,这种铜盘相当多——当然伪造的也很多,因为11世纪好象是获得这种铜盘的繁盛时代,不管是遗失了很久的还是新发现的,通过一点有创造性的打磨就可以获得了,所以,就出现了伪造的。你无法找到那些真正找到这些铜盘的人,你也无须与那些声称他们手中的铜盘中记载着希腊人征服了所有外来人的人争论不休。
上帝看完他们的颁奖典礼一定是离开那里去解决那些竞争中出现的小问题了,这些争吵充满了消极的谬见,假定和可能的证据,实际的谬误和荒谬的审美。如果是古印度人而不是古希腊人发明了中空的圆圈来表示零,也许现代的世界会变得更加美好,过去的历史也更加吸引人(虽然,我不能说出为什么将会是这样,因为概念本身是比表达符号更重要的,正如我们前几章已经看到的,零的概念是古巴比伦人的创造)。这确实打击了我，然而，印度人民的沉重负担也许减弱了他们的创造力，用一个充满了时间上的不确定性和偶然事故的故事来代替一个神话故事是一种损失。印度人发明了一个表达零的符号了吗？这个问题被回溯到一个在他的脖子上挂有项链的人，他身上的纹身帮助发明了零的符号,谁又能去怀疑这个问题的创意呢？按现在了解到的知识，好像印度人在9世纪末期的时候已经早已接触到了希腊人用同样的符号表达零的作品，并且已经开始充分的利用这个符号，使这个符号在他们中间扎下了根。
如果你愿意闭上眼睛去想象那些模糊数字的明确表达,我们可以把零在印度出现的时间向前推到公元876年以前。这样做又为什么如此费神呢?因为每一个故事就像每一个梦一样,有神秘的地方,所有的听起来都象神谕似的,所看到的又都象是一个征兆。对这些故事的各种各样的富有想象力的解释就象是一个盛满水的大锅沸腾时冒出的气泡那样多。对我们来说,这些故事的神秘之处在于地中海地区和古印度地区文化上的裂缝。
第一部分 透视零第10节 向东方传播(2)
距离那个曾经被一些天才建造而现在又被彻底毁坏的宫殿不远，有一个叫花城（City of Flowers）的地方，大约公元500年，生活着一个天文学家叫做阿亚亥塔( )——但是有人说有两个阿亚亥塔,这两个人在人们心目中的声望是相反的——或许还有模糊的第三个阿亚亥塔存在。作为天文学家,他的名字(或者应该说他们的名字)应该意味着是“博学的人”；在他们中间至少有一个人不是唯利是图的。一些喜欢幻想的人宣称他写了两本关于矛盾陈述的书,其他一些人则宣称他仅仅写了关于矛盾的一个方面。——而同时还有人认为他那些幸存下来的文稿是完全不可靠的。他的珍珠贝壳和酸海枣的特殊混合物(1000多年前,一个阿拉伯历史学家也曾这么作过)是一个仔细观察过但随意购买了的产品吗?
无论当时的情形怎样, 阿亚亥塔是想找一个简明的方法来存放(而不是用来计算)巨大数字,他成功找到了一种奇特的表示方法。如果我们到现在还没有位置符号而表达数字,就象8在9 871中代表800因为8所在的位置是百位,我们可能不得不使用这样的书写方法来表达9 871：9T8H7Te1,在这里,T代表“千位”,H代表“百位”,Te代表“十位”(事实上,这是我们平常读数的方法)。阿亚亥塔为这种表达方法的确立做了一定的工作，仅仅更加抽象一些。
他决定使用无意义的单词,这些单词的音节代表某位置上的数字,数字由辅音字母来表示,位置由梵文(一种古印度语，为印度及吠陀经所用文字，也是印度的古典文学语言——译者注)中的九个元音字母来表示。由于前三个元音字母是a,i和u,因此如果你想利用他的表达方法写出386(他在书写的时候,先写6,再写8,然后是3,),你会查出梵文中第6个辅音字母是c,然后在其后面加上a(这就表示c处在表示单位的位置上),第8个辅音字母是j,然后在其后面加上i,接下来,第3个辅音字母是g,其后加上u,这样386就表示为：CAJIGU。问题是在这个表达体系中仅仅给出了9个可能的位置,而作为一个天文学家,他需要很多很多的位置来表示数字。他奇怪的解决方案是把这个系统加倍到18个位置----他把这9个元音每个都写两次:a,a,i,i,u,u。等等类推;他又把辅音字母分成两组:奇数位置的数字用第一组的辅音来表示,偶数位置的数字用第二组的辅音来表示。因此,我们书写386可以用这种方法:CASAGI(c是第一组的第6个辅音字母,其后的a表示奇数位第一位；s实际上是第二组的第8个辅音字母,其后的a表示偶数位第一位；g是第一组的第3个辅音字母,其后的i表示奇数位第二位)。下次,当你去思考不同的表示方法时,请记住阿亚亥塔。
很显然在这个表达体系中并没有零(但是非常有趣,在解释这个问题时, 阿亚亥塔说:“9个元音字母被用在了2个9的位置”)，他使用“kha”来表示没有数字的空位。这个kha后来在印度成为表达零的最常见的单词。在这里它就好像是思维发展的一个慢镜头:从一个命名的空位符号到一个纯粹的位置符号的转变,从一个数字可以寄宿的空位到“空的数字(空的数字是这样一个数字,它把其它数字轻轻向前推到他们自己的位置上)”的转变。
谁能在那个朦胧的概念上使我们清楚呢?那个朦胧概念本身又是什么呢?它的主要元素是单词,这些单词含义的相互碰撞产生思想的火花：因为一旦有一个象“kha”的名字描述了零的某些方面,其它的将变得简洁起来,直到零是什么确实存在于了零的含义中。比阿亚亥塔晚50年，在乌贾因（Ujjain，印度中西部城市，当时科学中心,离昔日印度北部一公国瓜利尔Gwalior很近）有一个叫瓦日哈米海瑞（我们已经简要的提到过他)的人，他对希腊的天文学成就是高度赞扬的。他当然也没有表示零的符号,但他使用了很多名字来表达零:象阿亚亥塔的“kha”；空间的单词：象天空（ambara，sky）,空气（ ，atmosphere）,空的（ ，empty）等等,这些都很快成为零的常用名字。这些名字是从希腊早期的文章中(至少有一些文章一直受到他的赞扬)获得的吗?
同样是在乌贾因,大约100年后,出现了卜日马古普塔（Brahmagupta）,他是阿亚亥塔的一个严厉的批评者(相反作为阿亚亥塔的热情支持者会期望少一些这样的人物?)。他依然没有零的符号,但是象阿亚亥塔一样,他把零叫做“kha”,时常他也会象瓦日哈米海瑞一样会把零叫做“空气（ ）”或“空的（ ）”,“空的（empty）”是阿亚亥塔位置含义最可接受的意义吗?不管它的意思是什么,作为一个实实在在存在的形容词,我们应该注意这些方面:它是如何使零的含义更接近于数字的含义,它联起了形容词的零和名词零之间的差异；让我们注意它是如何与过去曾经出现过和将来将要出现的空心圆形的零变得一致的。
把时间再向前推进200年,也就是公元830年,在迈索尔（Mysore，印度南部一城市，位于班加罗尔西南——译者注。）南边700英里有一个叫马哈韦日（ ）的人（他的宗教信仰从印度教转向了耆那教Jain),在他的著作《 》中,他发展了卜日马古普塔的思想,并纠正了其中的错误。他广泛的和零打交道,但他也没有零的专用符号——他不把零叫做“空的”而是维持使用“kha”。也许这与他热心修订卜日马古普塔的著作有关。为什么他抛弃了瓦日哈米海瑞零的数字含义的同义词(这些含义来源于天空和空间的共性和特性,诸如深,没有止境等等,总共大概有12个相近的词来形容天空)呢?
他是为了避免在不同的上下文中把零看作不同的意义吗?这使我想起语言学家的一个观点:在刚刚开始的时候,我们理解和命名那些将要认识的单词时总是尽可能使其与以往的单词有明显的差异——这也就是我们使用的古老动词为何如此的不规则,例如:“他们是(they are)”和“她是(she is)”与“我是(I am)”就有非常大的差别。或者印度人也像希腊人一样倾向于把智慧,知识和记忆相提并论,以至于他们把像数学这类重要的事情写成便于记忆的诗歌形式。这就意味着必须有足够可以选择的单词来满足不同韵律需求(马哈韦日为每一个数字也准备了很多单词)。当然这种从形态上选取出来的发音和这种发音存储着便于记忆的数字信息加速了数学抽象的发展。
当然,这些不能解释为什么意义相同的多个单词具有相同的韵律节奏——但是诗歌的形式可能已激发了诗人表达的灵感。我不知道为何一个随便的读者使用这样一个措词：“……天空变得同加到它上面的东西一样”。
或者马哈韦日一直想用比喻把他的数学带到其它领域去?我们不得不考虑在他的一本书的致谢部分的话：“要是基纳斯（Jinas）的最高统治者的规则变得繁荣起来就好了；他破坏了单一结论的位置,使 的逻辑成为深奥的东西。”英文翻译者是这么解释 的逻辑的:它是关于世界的面貌是不是真实的争论,或者世界是真实又不真实——或者是不可描述的；或者是真实的但是不可描述的,或者是不可理解也不可描述的；或者最终是，世界是真实存在的又不是真实存在的和不可描述的。
这些组合中的哪一个最符合零的含义呢?在那个时代，哪一个最好的描述了它的地位呢?零的名字越多,你可以想象,它正确表达数字的可能性就越小——依然是无层次的语言而不是严谨的数学。正如一些人宣称的那样,假如很久以来零就有一个表达它的符号,事情会怎么样呢?他们向来自幼发拉底河的证据求助，公元662年，在那里叙利亚（Syrian）的主教塞佛留斯•斯堡胡特（Severus Sebokhut）这样宣称：希腊人在科学上不是垄断者，相反他们仅仅是巴比伦帝国中迦勒底（Chaldean）人的学生；不是他们，而是叙利亚人发明了天文学；除此以外，他还发现印度人比希腊人更有创造才能，印度人使用的计算方法超过了描述方法。他接着说：“我仅仅想说，这种计算是通过9个符号完成的。”9个符号——为什么不是10个符号？事实上，这个证词难道不是在证明印度人仍然在等待零的符号获得新生？难道不是在证明零仅仅是个存在于数字之间却不是数字的单词？
又一次是这样，当有一个符号来表示零的时候，就有更多的观念来理解他，这些观念是直接来自巴比伦人呢，还是通过希腊人传过来的？出现在印度的这种不确定性使这个符号有什么样的概念呢？这种观念是一个数字的缺乏引起的，还是为了这个缺乏而找了一个数字呢？它是一个表示“空的”标记，还是空标记？第一个含义使它远离数字，第二个含义把它放在了和数字同等的位置。
所有的条件已经具备，到了孕育零的时刻了。100年前，人们说起这样的事情，“印度的哲学和宗教的结合独一无二的适合发明零，”他们发明一个符号来表示零就好像是想要达到涅磐（Nirvana ，涅槃不可言喻的终极，在此情况下一个人已达到智悲双运的境界——译者注）的动力一样，人人都有。在我们祖父母辈，有一本权威的书，是奥斯瓦尔德•施彭格勒（Oswald Spengler,1880-1936德国哲学家，他认为文明和文化就象人类一样也要经历兴起与衰落的循环。《西方的衰落》是他的主要著作——译者注）写的《西方的衰落》，在这本书中他写道：零是完美抽象力的一个精确创造，对于印度人所持有的把零作为一个计数的位置符号，它表示一无所有，在表示存在这个要点时它既不多也不少。他继续说，希腊人的精神充满了享乐主义，因此永远也不可能产生这种重要的东西：婆罗门的精神让那些数字可以自己不言而喻的出现。
我们抛弃施彭格勒的权威性论断，他所作论断的基础都是来源于错误的渠道，也许这是我们抛弃他的论断的最好的理由；在繁荣的1918年，人们是如此的激动，《人类的理想》（Race-Ideals）、《命运》(Destiny)和《浮士德的灵魂》（Faustian Soul, 浮士德,欧洲中世纪传说中的人物, 为获得知识和权力, 向魔鬼出卖自己的灵魂, 德国作家歌德曾创作同名诗剧——译者注)这些剧作相继出现，20年后，这些剧作被搬上舞台。但是，我们也抛弃这些剧作不管，因为，在我们这个小心谨慎的年代，我们不相信这些大众化的东西，我们宁愿接受统一所带来的事物小的混乱而不是冒得出不诚实结论的危险。我们使我们自己理想化成为一个有严谨大脑的人。现在没有一个人在研究了印度文化以后还跟随施彭格勒说出这种话：“只有在印度的这种宗教环境下才能创造出把一无所有作为一个真实数字这样基础的概念”。
为了代替起源于印度的中空的零来自实在事物的假设，一些学者为了捍卫零起源于印度这个说法，寻找到了一个很吸引人的证据，这个证据是基于婆罗门表达10的符号——这个符号是 ，也许是 （在浦那(Poona,印度西部城市)不远的一个小山的洞穴中，残留着公元前2世纪时期模糊的题字。），或者是 和 ，这些符号可能来自公元1世纪或2世纪纳西克（Nasik,孟买东北部，印度中西部的一个城镇——译者注）神圣的洞穴。
最终有人想把10作为计算的第二级数的第一个（继续上面的讨论），该怎么办呢？这就要求第一级数的第一个不能是1（1应该和11相对应），因此就用了10的相似符号，把符号 修剪为О来作为第一级数的第一个？为了给这个可疑的证据提供支持，他们指出早期欧洲人的算术学中经常把0写在9的后面，这是阿拉伯人的书写模式。这种推测似乎要求婆罗门符号系统中的1看起来像 、 或者==，而事实上，1同你期望的一样，是1或者_ 。非常不幸的是，在这个模糊的题词中，用0来表示20，而在克什米尔(Kashmir)有一个符号系统中，用0来表示1，这些都是靠不住的古代遗迹；而在同时期印度的其它地方，10以不同的面目出现 和 。
甚至，如果我们接受0和 的联系，希腊人的先例就要突然出现了。你在第二章的时候已经看到，在雅典的数字系统中，首字母阿尔法(ɑ)被用来代替1。也许作为一个可以看到的双关语，1这个数字可能和一个想象中的石头结合在一起，正如你在第二章中所看到的，希腊人不是用实心的点来代表他们形象化的数字，而是用他们字母表中的字母来表示数字；举个例子，以至于毕达哥拉斯学派把10用首字母形成图案，如图：
