M：这画中画的是个年青姑娘吗？……或许你看到一个老太太？
M：你在这幅画中者到了什么？……一个小立方块放在—个房间的一角？……一个小立方块贴附在一个大块的外面？……或许是一个大立方块在一角上有个立方形的洞？
这一段所列举的画面所造成的眼睛的错觉，都是对看到的同样东西做不同解释的实例。在第一例中，人们会把这一张平面团看作是一组小立方体的透视图，但是这个透视图可用两种不同方法来看，且每种解释方法都是同样有道理，这样，观察者的意念就在这两者之间来回转变。
第二幅画也是这么回事。你在面中不是看到一位年青姑娘，就是看到一位老太太，不可能哪个也没看到。观察者的意念在这两者间来回跳动。
第三幅画有三种解释方法。对大多数人来说最困难的一种是看出一个大立方块上有个立方形洞，因为这是较少见的，但是我们如果不住地盯着看，尽力地把画中的小立方体看成是个洞而不看成一个实体，最终将会领悟这种解释。学习用三种可能的方法来看这个图与解释几何图形的能力有很密切的关系。这种能力十分重要。众所周知，在几何中看图看得不正确是产生误解的一个重要原因。
5．兰迪先生的奇异地毯
M：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽21分米长的地毯。
M：兰迪先生拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔。
兰迪：奥马尔，我的朋友！我想让你把这块地毯裁成四块，再把它们缝在一起成为一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔：很遗憾，兰迪先生。您是个伟大的魔术家，可是您的算术竟这样差！13乘13是169，8乘21是168。这怎么能办得到呢？
兰迪：我亲爱的奥马尔！伟大的兰迪是从来不会错的。劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块。
M：奥马尔象他所说的那样做了。过后兰迪先生把这四块重新摆一下，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔：这怎么可能呢？地毯面积由169分米2缩小到168分米2！那一平方分米哪里去了？
M：几个月之后，兰迪先生又拿来一块长宽都是12分米的地毯。
兰迪：奥马尔，老伙计！我的电热器翻倒了，结果把这块美丽的地毯烧坏了。把它剪裁一番再缝上，很容易就可去掉这个窟窿。
M：奥马尔表示怀疑，但他还是按兰迪所教的方法做了。
把裁好的几块缝在一起之后，它仍然是长宽各12分米但那个窟窿却消失了！
奥马尔：兰迪先生，请讲一讲，你是怎么做的？补上这个窟窿的那一平方分米是从哪里来的？
这个古老的故事是这样的令人惊奇和难以解释，值得我们化费一些时间动手按照所说的方法做一做。我们在作图纸上画一个正方形．把它剪成四块，重新安排一下，拼成一个长方形。除非这个图做得很大并且作图和剪裁都搞得十准确，人们是不会发现拼接成的长方形在主对角线附近发生了微小的重叠。正是沿对角线的这点不完美的叠合导致丢失了一个单位的面积。如果学生们不相信这一点的话就让他们计算一下长方形对角线的斜率以及拼接前各片相应边的斜率，再把它们加以比较就会清楚了。
如果先画出上边所说的这个长方形，按图示把它剪成四块，再拼成正方形，这时这个正方形又会怎样呢？这是在课堂上学生们可能希望探讨的问题。
上文涉及到四个长度：5，8，13，和21，我们会认出这是一个著名的数列中的四项。可以让学生找出这个数列各项的构成规律。显然，这就是有名的菲波拿齐数列，它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。
学生们可使用这个数列的其它相邻四项来试验上述过程，无论选取哪四项，他们都会发现所作出的正方形和长方形的面积是不会相等的，但有时长方形比正方形小一个单位面积，有时长方形此正方形大一个单位面积。我们应该进一步确定，什么时候在拼接成的长方形中失去一个单位面积，也就是说在长方形的对角线附近有个呈菱形形状的重叠，什么时候长方形又会多得一个单位的面积，也就是说在拼接成的长方形对角线上出现一个菱形的空隙。
对这个菲波拿齐数列多做几次上述的试验，有人就会凭直观得出菲波拿齐数列的一个重要性质：这个数列任一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减l。用公式表示，则为：
tn2=(tn-1*tn+1)±1
左边tn2是正方形的面积，右边(tn-1*tn+1)±1是长方形的面积。当n从小到大依次取正整数时，上式中的正负号交替出现。如果一数在该数列中的位置数，即它的项数是奇数（如上面数列中的2，5，13等），则这个数的平方较前后相邻两偶数项之积多1；反之，偶数项的平方较前后相邻两奇数项之积少1。知道了这一事实，我们就可以预见由正方形剪接而成的长方形是多得了一个单位面积还是丢失了一个单位面积。
上面的这个菲波拿齐数列以1，1两数开始，广义的菲波拿齐数列可以从任意两数开始。用另外的一些菲波拿齐数列做上述试验，学生仍将会发现一些新东西。比如说，用数列2，4，6，10，16，……做试验，就会多得或丢失四个单位面积，数列3，1，7，11，18，……的“得”或“失”是五个单位面积。
设a，b，c是一个广义菲波拿齐数列相邻的三项，以x表“得”或“失”的数字，则下面两式成立：
我们可以用任何一个设想的得失数来代式中的x，用任何一个数来代式小的正方形边长b，然后解上面的联立方程就会求得a和c的值，当然这样求得的值不一定是有理数。
学生们一定会喜欢这样一个十分有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？
为了回答这个问题，令第二个方程中x等于零，解这个方程组，用a表示b，则得到唯一的正解是
上式中的恰是著名的黄金分割比，通常用Ф来表示。它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的菲波拿齐数列是
1，Ф，Ф+1，2Ф+1，3Ф+2，……
这对学生来说是做根式演算的一个很好的练习。
只有用上面这个数列相邻两项表示的长度来分割正方形才会得到本段所述的几何悖论的另外一种形式：长方形和正方形的面积相等。如要更多地了解黄金分割比率以及它与上述正方形—长方形几何悖论之间的关系，请参看《科学美国人》杂志数学之谜和数学游戏第二集一书中关于黄金分割比率的那一章。
两个全等正方形怎么会有不同的面积呢？在兰迪的第二个地毯悖论中，所丢失的面积是一个实实在在的窟窿。与前一问题不一样的是，这里的两个图形在各自的那条斜线上都是完美地接合在一起，并无重叠和空隙。学生们能够找出那个不见了的单位正方形到哪里去了吗？
为了帮助学生们找到答案，可建议他们做两个全等的、上面没有孔洞的正方形，做得越大越好。把其中的一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，把它们重新安排一下拼成那个带孔的图形，最后把它放到未经剪切的正方形上边。待两者的上边和两侧边都重合后，他们就会发现那个带孔的图形不是真正的正方形。它实际上是个长方形，比正方形高1/12分米，于是它的底部就多出一个12分米×1/12分米的窄带，其面积恰好与地毯上的孔洞面积一样。
这样解释了那个正方形的一个单位是如何消失的，然后学生们就可以再设法找出正方形高度增加的道理。其秘密在于：在没有孔洞的那个正方形的分割图形中，直角三角形斜边上那个顶点并不是整数网格点[*]。学生们发现了这点之后，他们就可以自己设计出许多各种各样的正方形，使得在拼成长方形后，“多得”或“失去”的多于一个单位的面积。
上述这一奇妙的事实以“卡瑞正方形”的名字为大家所熟知，这是因为它的发明者是一个名叫保罗·卡瑞的业余魔术师。这种悖论还具有好几种其他表现方式，三角形也是其中之一。学生们要想探讨卡瑞正方形或卡瑞三角形，则需阅读马丁·戈德纳所著《数学，魔术和奇迹》一书的第八章和《科学美国人》杂志中的《数学新分支》一书的第十一章。
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[*] 这个点到该正方形底线的距离并不等于9分米。在这个没孔洞的正方形图形上进行计算，使用相似三角形原理可算得这个距离是，而在拼成的有孔洞的图形中，这条线的长度却被视为9分米！——译注
6．失踪的舞蹈家
M：一年之后，兰迪先生又回来了，带来一块东方的挂毯。
兰迪：奥马尔，这挂毯仅有七个跳舞的姑娘，我希望有八个，请作把它裁成这样的三块。
M：奥马尔裁过以后，兰迪先生把上面的两块互换一下位置。奥马尔数一下姑娘的个数：
奥马尔：一、二、三、四、五、六、七——八个！仁慈的阿拉啊，这第八个姑娘是从哪里来的呢？
M：信不信由你，兰迪先生的这一做法与那些行为不端的计算机程序设计师试图从大银行里偷钱所用的方法有些共同之处。
兰迪：伙计，我难道不是个天才吗？我一个月就能白得500美元，何况做起来易如弹指！我只是告诉计算机在计算利息时，把每个户头美分以下的零数全都舍去而不是实行四舍五入！
兰迪：这样，每个户头每月大约损失半美分，这么点儿钱谁也不会理会。但银行里有十万个户头，所以他们每月总共损失500美元。计算机每月都将这笔钱存入我的秘密户头上，而银行的账目依然总是平衡的！
M：兰迪先生所做的这几件奇事都是靠从许多地方各拿取一丁点儿来凑成一个可观的数量。第一块地毯在对角线附近有一小片人们觉察不到的重叠部分；第二块地毯去掉烧坏的窟窿后比原来略微短了一点儿；而这八个舞女也都比原来小了一点儿。
上述这些颇劳神思的关于图形方面的悖论常常被用作广告的帮衬。十九世纪八十年代美国著名的谜题发明家山姆·劳埃德按这个悖论做成一个环形画面，画面上有个中国武士，当圆盘转动时，就看不见这个武士了。自那以后，就刊印这种游戏的许许多多的其它形式，有些是环形画面，有些却是平面形画面。
解释这种奇妙现象的最好方法是用直尺在卡片上按下图方式画出十条线：
沿图中虚线把卡片剪开，然后把下半部向左下方滑动：
再数一下卡片中的线，只有九条！如果要问原来的十条线中哪一条消失了则是无意义的。实际上在上述过程中，十条线一共被分成十八份，经重新安排后，组成了九条线。显然，这九条线中的每一条都比原来的线长出了1/9。当把下半部分移回到原位置后，第十条线又出现了，此时所得到的每一条线都较原来短了l/10。
对于有舞蹈家的画面，其道理也完全一样。当画面上出现八个姑娘时，每一个要都比出现七个时要短1/8，当我们再变回去时，不可能找出是哪个姑娘消失了，因为这七个姑娘是由完全不同的姑娘所组成的，而且每个又比先前长1/7。读者要想读到对此更详尽的叙述或其它与之有关的东西，请参阅《数学，魔术和奇迹》一书的第七章。有一种古老的伪造方法正是以这种原理为基础的。按照上面分线段的方法可见把九张钞票分成十八份，经重新安排后就做出了十张钞栗。但这样伪造的钞票很容易被侦破，这是因为票面表示币值的两个数字已不相匹配。在美国的所有钞票上，这两个数字都是位于相对的两端，但其中一个高些，另一个低些。这正是为了挫败这种伪造企图。1968年，伦敦一个男子由于对5英镑面值的钞票使用这种方法进行伪造，结果被判处了八年徒刑。
上面所叙述的那个欺骗银行的故事是在七十年代初期发生在美国的一桩诈骗案为背景的。这个银行的计算机程序设计师把所有的支付利息数额中美分以下的零头一律舍去，而不是实行四舍五入。先把多余的钱贮存在计算机的记忆装置里，稍后就把款项存入最后一个户头——这正是程序设计师本人的户头。
7．可内外翻剥的奇妙轮胎
M：拓扑学被称做橡皮几何，因为它是研究图形被拉伸和扭曲后不变的性质。
M：有一种形如轮胎的迷人的曲面圆环。设想一个用薄橡皮做的轮胎，它上面有一个大孔，你认为能从这个孔把它的里面翻到外面来吗？这的确是可以做到的，但是很困难。
M：在把圆环翻转之前，设想我们按左边画面的办法把一个小橡皮圈粘在它的内表面，又把一大橡皮圈粘在它的外表面。这两个橡皮圈显然没套在一起。
M：这就是圆环被翻转后的样子。这时这两个弹性圈已套在一起了！但是不经过剪开和粘上的过程就把两个圈套在一起是不可能的，所以一定是哪里出了错。但是错在哪里呢？
我们确实可以通过圆环上的一个孔把它的里面翻到外面来，但这并没有使那两个橡皮圈套在一起，其理由是圆环翻过来以后，两个橡皮圈都已改变了位置，小圈被拉伸成大圈，而大围被压缩成小圈，所以它们还是像从前那样没有互相套着。产生这种错误结论的关键在于画家特意把圆环翻转后的样子画成我们可能想象的那样，而没有按实际的情况画出。
用橡皮做的圆环模型，例如一个车轮的内胎，是很难通过它上面的一个扎把它翻过来的，因为在这过程中橡皮必须经过大幅度的拉伸。如果使用一个布制模型就很容易做到这一点。把一方块布对叠起来然后把两个相对的边缝在一起，这就成了一个烟筒。在另一个方向上再把这个筒对叠起来，把筒相对的两头沿着它们的边缘缝起来，就做成一个圆环模型了。如果把它摊平，则呈方形。为翻转方便起见，所开的“孔”是位于外层布上沿水平方向剪开的一个长口。
通过这个开口很容易把这布制圆环翻过来。翻过来以后，它和以前具有同样的形状，但这时那个长口已成为竖直的了，布面的纹理也都转动了90°。换句话说，原来在某个方向上环绕圆环的一条线，现在已在另一个方向上环绕圆环。为了更清楚地看出纹理的旋转如何导致两个弹性圈位置的互换，你可以把沿着某个方向环绕圆环的圈用墨水涂上一种颜色，而另一方向上的第二个圈涂上另一种颜色。把圆环翻过来以后，你就会看到两个圆圈互换了位置。
要想象出在翻转过程中间环变形的具体过程是不容易的。我们可以在下列书刊中看到一步步描绘圆环翻转过程的一系列面面：1950年《科学美国人》一月号阿尔伯特·塔克尔和赫伯特·贝莱的文章《拓扑学》；生命科学文库《数学》一书的第179页。
8．使人为难的编织问题
M：文迪女士要买一个皮手镯。
M：在卢克的商店里她看到两个手镯，每个都由三条带构成，其中一个已经编好了，另一个还没有编。
文迪：编好的那个手镯要多少钱？
卢克：五美元，太大。但您来晚了，它已经卖出了。
文迪：唷！还有手镯可买吗？
卢克：还有这个。
文迪；可是它还没有编呢？
户克：我很乐意为您把它编好，太太。
M：这看来好象是不可能的，但是卢克仅用30秒钟就把它编好了，并且没有切断一条带。你看，他是这样开始编的。
大多数学生仅仅把这手镯当成拓扑学的又一奇观，但还不止于此。著名的德国数学家艾米尔·阿尔丁创立了一套有关“编织”的理论，其中用到了群论。在这个群里，“元素”是指“编织式样”，而“运算”是指让一个式样紧随另一式样因而产生一个新式样的过程。而“逆元素”则是指式样的镜象。编织问题为群论和变换理论提供了一个极好的起点。载于《数学教师》杂志1959年5月号上阿尔丁的文章“编织理论”是一个很好的入门教材。
令人惊异的是，在这个有六处交叉的手镯编织过程中，三条带子的端部始终是连结在一起的。这就意味著，编好的手镯与没编的手镯是拓扑等价的。下图表示的是编手镯的步骤。
如果带子再长一些，我们就可以重复使用这个步骤，只要带子足够长，编成的手镯的交叉数可以是6的任意倍数。如果学生们想用这种方法把硬皮革做成一个实用的手镯或编带，则需把皮革浸在热水里使之变得柔软以后再进行编织。
对多于三条带子组成的手镯也可以用这种方法编织。要想进一步了解这方面的知识请读J.A.H. 谢泼德的文章“对两端分别连在一起的若干条带子进行编织”，载于《皇家学会会报，A》第265卷（19623年），229——244页。
9．不可逃遁的点
M：帕特先生沿着一条小路向山顶进发。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。
M：他在山顶做了一夜的考察工作，第二天早晨七点沿同一条小路下山。
M：那天晚上七点钟，他到达山脚。在那里，他遇到了他的拓扑学老师克莱因夫人。
克莱因：你好，帕特！你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？
帕特：您一定是在开我的玩笑！这绝对不可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭和休息。
M：尽管这样，克莱因夫人还是对的。
克莱因：当你开始登山的时候，设想你有个替身在同一时刻开始下山，你们必定会在小路上的某一点相遇。
克莱因：我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。你和你的替身当然是在同一时刻经过这一点。正因为这样，我才说在小路上一定有这样一点，你上山和下山时经过这点的时刻完全相同。
这个故事为拓扑学家所称的“不动点定理”提供了一个很简单的例证。其证明是个“存在性证明”，它告诉我们至少存在一个这样的点，并没告诉我们这个点在什么地方。当把拓扑学应用于其它数学分支或其它各门科学时，不动点定理起着非常重要的作用。
学生们一定会对下面这个著名的不动点定理感兴趣。这个定理可以这样来说明：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方！关于这个定理可参见理查德·库朗和赫伯特·罗宾斯所著《什么是数学？》一书中“一个不动点定理”这一节。
这个定理首先为荷兰数学家L.E.J. 布劳尔在1912年所证明。它具有许多奇妙的应用。例如，由这个定理可以断言：在任一时刻，在地球上至少有一个地点没有风。用它还证明了这样的事实：如果一个球面完全被毛发所覆盖那么无论如何也不能把所有的毛发疏平。有趣的是，我们却可以把覆盖整个圆环面上的毛发疏平。
10．形状怪诞的形体
M：如果说帕特对存在着那样的不动点感到惊奇的话，那么他将对这样的台阶更为惊奇。他可以永远地沿着它转圈，但却总是在向上攀登，而且一次又一次地回到他原来的位置！
M：这位骑士的武器上有两个尖儿，还是三个尖儿？
M：你能做出这样一个怪诞的板条箱吗？这样的台阶、骑士武器和板条箱都称为不可能的形体是不是为怪的。
这里我们看到一些所谓“不可能的形体”或称“不能确定的图形”是个什么样子。这个“不可能台阶”是由英国遗传学家列昂尼尔·S·彭罗斯和他的儿子，数学家罗杰尔·彭罗斯发明的，后者于1958年把它公布于众，人们常称这台阶为“彭罗斯台阶”。荷兰画家M·C·伊谢尔对此深感兴趣，他在他的石版画“攀高和下行”中充分地利用了“彭罗斯台阶”。
至于那个不知是有两个尖儿还是有三个尖儿的武器图形，不知出自何处。自1964年它开始在一些工程师以及其它一些人中间流传。《疯狂》杂志1965年3月号的封面画的是阿尔弗雷德·E·纽曼把这个东西立在自己的食指上（这个封而的复制品登在《数学——人类的魄力》一书的第487页上）。
那个怪诞的板条箱的出处亦不可考，它出现在伊谢尔的另一幅画“瞭望塔”的画面上。这三件不可能形体让我们知道，我们常常很容易被一些几何图形所述惑，认为它表示一个实际存在的形体，而实际上它们在逻辑上是矛盾的，所以是不可能存在的。在本书第一章中，我们曾举出一个不确定句子“这句话是假的”。而这些不可能形体正是它在视觉上的类似产物。
11．病态曲线
M：雪花曲线是另一种奇妙的曲线，但它不是不可能曲线。我们从这圣诞树——它的形状是等边三角形——开始来画这条曲线。
M：这位小天使把这蓝色的等边三角形每边分成三等分，再在每边中间的三分之一部分向外各画一个粉红色的等边三角形，这样就做成了一个六角星。
M：她再在六角星的每边上用同样的方法向外画出桔黄色的更小的等边三角形。曲线变得越来越长，开始象一个雪花了。
M：再重复一次这个过程将使曲线变得更长，更美丽。
M：按照这个方法不断画下去。你愿意曲线有多长，它就可以有多长。虽然它可以画在一张邮票上，但它的长度可以达到从地球到最远恒星的距离！
雪花曲线是最美丽的“病态曲线”之一，这些曲线所以被称为“病态”是因为它们的怪诞性质。这些曲线构成一个无限集合。如果上面这个画雪花的过程无限继续下去，其长度将趋于无限大，但它却始终是围在一个有限的区域里。这就是说，一步一步画出的每条曲线的长度构成一个发散数列，但是每条曲线所围的面积却构成一个收敛数列。它收敛到第一个等边三角形面积的8/5倍。另外的一个奇怪性质是：在极限曲线上的任一点都不能确定它的切线。
研究雪花曲线是巩固极限概念的一个好方法。可以把下面这个题目做为课堂练习，即假设第一个等边三角形的面积是1，证明极限曲线所围面积是8/5。
我们还建议做下列几种辅助活动：
（1）画出“反雪花”曲线，即向里画三角形，而不是向外画，在这同时把新画三角形的底线擦掉。这样第一步画出的是汇集于一点的三个菱形，有点象螺旋桨的叶片。把这个过程无限继续下去，这时所构造出的极限曲线其长度也是无限大吗？它也围在一个有限的区域里吗？
（2）研究以其它正多边形做基础用类似方法四曲线所产生的结果。
（3）研究在每条边上画多于一个正多边形所产生的结果。
（4）研究上述各种构造方法在三维空间的类似结果。比如说，在一个正四面体的各面上再做一些小正四面体，其极限物体的表面面积是无限的吗？它所包围的空间具有有限体积吗？
下面列举的是一些有用的参考资料：《数学和想象》，343页至356页，爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著；《雪花曲线》，布鲁斯·W·金著，载于《数学教师》杂志，第57卷，1964年4月号，219页—222页；《范·科克曲线的推广》，乔尔·E·史尼德尔著，载于《数学杂志》第38卷，1965年5月号，144页—147页。
12．未知的宇宙
M：如果一个宇宙飞船发射出去以后始终沿着一条直线飞行，它将离开地球越来越远吗？爱因斯坦认为，未必如此，它说不定会回到地球上来！
M：为弄清爱因斯坦这一论点让我们者一看这个可怜的“点世界”里的居民。他只生活在一个点里，他的宇宙没有维数。
M：“线世界”里的居民生活在维数为1的线上，这正象爬在绳子上的蠕虫一样。如果绳子是无限长的，那么蠕虫可以朝着线的任意一端永远爬下去。
M：但是，如果绳子象圆周那样是封闭的，它就成为一个无端点的线，但它的长度是有限的，不管蠕虫在绳上向那个方向爬，它总要回到它原来的出发点。
M：“面世界”里的居民住在二维空间的面上。如果他的宇宙是一个无限的平面，他可以沿着此平面上的任何方向永远走下去。
M：如果这个面是象球面那样的封闭曲面，它就成为一个有限的、无边界的曲面了。不管这个世界的居民沿着此曲面上哪个方向走，只要走的路线是直的，他还会回到原来出发的点上。
M：你和我都同是“体世界”里的居民，我们生活在三维空间里。也许，它在所有各个方向上都是无限的。
M：但也有可能象爱因斯坦所想象的那样，我们的“体世界”在从更高维的空间里来看它时却是弯曲的，构成一个有限的、但却无边界的宇宙。一艘宇宙飞船在这个宇宙里沿总最直的线路飞行将必然会回到它的出发点。
M：二维世界的居民在球面上绕圈运行，这就好象在一个没有扭曲的闭合带子上运行一样。如果他的心脏处在身体的某一侧，那它将永远处在同一侧。
M：但是如果他绕着缪毕乌斯带运行，奇怪的事情就发生了。带上的扭曲部分使它翻个筋斗，他回到原位置时，心脏已移到身体的另一侧！
M：如果我们所处的三维空间是封闭的，它当然也可能象缪毕乌斯带那样扭曲。这时，如果一个宇宙飞行家在这样的闭空间里环行一周，他回来时已是一个反向的人！
天文学家迄今还不知道我们所处的宇宙空间是开放的，还是象爱因斯坦所猜想的那样是封闭的，这完全依赖于在我们的宇宙中倒底有多少物质。按照广义相对论的理论，物质在空间里的存在会导致空间的“弯曲”，且当物质数量增加时，空间曲率也成比例地增加。今天，大多数的宇宙学家认为：宇宙中物质的数量还不足以产生使空间封闭的那么大的曲率。但这个问题还没有最后解决，因为宇宙中物质的密度现在还不知道。要想详细了解这个问题，请看任何一本相对论成宇宙学方面的通俗书籍。
现在还没有证据证明我们的宇宙空间象缪毕乌斯带那样是扭曲的。但是宇宙学家总是喜欢想象出宇宙的各种不同模型。在有些模型中，空间是扭曲的。在向学生说明二维世界的居民绕缪毕乌斯带一周如何被“镜象翻转”了的时候，很重要的一点就是要认识到这个带子的厚度为零。缪毕乌斯带的纸制模型实际上是个立体，因为它有厚度。我们必须认定：真正的缪毕乌斯曲面是没有厚度的。
画在缪毕乌斯带上的图形就象用墨水在纸上画图形且墨水已渗透到纸的另一面那样，图形是存在于纸的两面上的，而不仅仅是在一面上。图形已“嵌入”到曲面里。当图形绕缪毕乌斯带运行一周后回到出发位置时，就被翻转了。当然如果绕着带子再运行一圈又使它恢复到原来的样子。同理，宇宙航行家在一个扭曲的宇宙旅行一圈，他就被镜象翻转了，如果再进行第二次旅行，他又被矫正过来。
如果学生们对缪毕乌斯带的奇妙性质感兴趣，他们一定愿意研究另外两个具有同样奇妙性质的曲面；克莱因瓶和射影平面，它们和缪毕乌斯带一样都是单面的，与其不同的是它们没有边界，它们象球面那样是封闭的。克莱因瓶与缪毕乌斯带有密切的关系，一个克莱因瓶可切成两半，得到两个互为镜象的缪毕乌斯带。一个“嵌进”克莱因瓶或射影平面的二维世界的居民在曲面上行走一圈以后就会被“镜象翻转”了（参看《科学美国人数学游戏第六集》一书的第二章）。
有些学生会喜欢读H.G. 威尔斯所写的《平面人的故事》一书。这是一本最有名的科学幻想小说，写的是一个人在外部空间里被翻转了，归来时，他的心脏已经在身体的右侧（这个故事收在威尔斯的《科学幻想故事二十八则》一书中）。
13．反物质
M：被翻转的宇航家在返回后，会认为自己很正常，而是觉得他周围的世界都被“镜面翻转”了。他会觉得书写的顺序左右颠倒，汽车是在道路的相反一侧运行。
M：大多数物理学家认为这种被镜面翻转的物质是“反物质”，当它与普通物质接触时就会被消灭。如果真是这样的话，我们的宇航家将永远不会再回到地球上来了，他那被翻转的宇宙飞船一接触到地球大气就会立刻爆炸！
M：最近所发现的证据倾向于这样的理论，即我们的宇宙空间不是封闭的而是无限的。但是还有许多重大问题没有解决：我们的宇宙里存在由反物质构成的星系吗？在我们的宇宙之外还有巨大的由反物质构成的宇宙吗？现在的宇宙学家还只能对这些问题的答案进行猜测。
每种基本粒子都有相应的反粒子，它与原来的粒子相比，只是所带的电荷（如果它带电荷的话）和其他量子数相反，其余构造完全相同。正因为带的电荷相反，所以它们的一些性质也完全相反。许多物理学家认为反粒子是由原来粒子的内部结构被“镜面倒转”以后得到的。由反粒子构成的物质叫反物质。
当粒子和反粒子相遇时，它们就会同归于尽。我们的银河系完全是由普通物质构成的，所以一旦制造出一个反粒子，不管是在实验室里还是在星球内部，在它遇到一个粒子并湮灭以前只能存在一微秒。
大多数宇宙学家都认为，整个宇宙是由普通物质构成的，少数人坚持，在宇宙里有可能存在由反物质构成的星系，由这样的星系发出的光与由普通物质构成的星系发出的光是没有区别的，所以要知道它们的存在是很困难的。许多宇宙学家还这样推测：在开天辟地的那个时刻，物质和反物质就分离开，构成了两个宇宙，一个称做“宇宙”，另一个则是“反宇宙”，它们互相排斥并且以很大的速度互相远离。
这种认为宇宙分成两部分，其中一部分是另一部分镜象的想法为许多科学幻想小说所引用，并且出现在弗拉基米尔·纳巴科夫的浪漫小说《阿达》中。
想深入了解反物质和其它有关问题的学生，可以参考下列书籍：杨振宁著《基本粒子》。
第五章 统计学悖论
统计学是关于数量信息的收集、整理和分析的学科，它在今天高度复杂的世界上变得越来越重要了。一般市民在很多方面，从经济状况到判断一种商标的牙膏好坏，都会受到大量数字的困扰。除非他具有一定的统计学知识，他才能作出明智的决定。如果他在大学学物理，或社会科学、施政学、商业或政治、他会发现统计学是多么重要。在另外一些领域，如保险、公共卫生及广告等，统计学也起着积极的作用。
这里不准备介绍统计学，更不是关于统计学基本知识的教材。只是指出一些典型的统计学悖论，我们选择最有趣味的、旨在引起学生学习更多基本知识的愿望。这章想让读者浏览统计学中那色彩斑烂的图景，并希望由此激发学生系统研究这一学科的兴致。
第一个故事介绍了统计学的三种度量：平均值、中值和众数。接着是一个逗人的、外国情调的误用数据的例子。它们让人们察觉到统计学数据有很多陷阱，并激发起学生想要学会避开它们的愿望。
面对当今人们对占星术和神灵学的兴趣激增的局面，几乎没有学生知道，正因为他们对统计学花招缺乏经验而使他们轻易地受了蒙骗。这一章的中间部分介绍的悖论（小世界悖论、生日悴论、数字和字母的随机序列的特征、以及随机事件的成群趋势）旨在阐明，某些意外的巧合从统计学来看却是毫不足怪的事。后面还介绍了一些扑克牌把戏，在你第一次试玩这些把戏时，你也许不相信它是以数学原理为依据的。
在很多强烈违反直觉的，研究对策论而出现的论题中，选举悖论是最著名的。对策论是数学的一个新分支，研究如何以统计资料为基础做出合理的决策。这里关于罗尼哈特小姐为找到一位满意的风流小伙的故事是不太为人所知的新悖论。
后面的两个是现在科学的哲学家一直争论不休的最著名的悖论：恼人的乌鸦悖论和称为“蓝绿”的奇怪特性。它们点明了统计学在评价科学理论中的重要作用。
1．骗人的“平均数”
M：吉斯莫先生有一个小工厂，生产超级小玩意儿。
M：管理人员由吉斯莫先生、他的弟弟、六个亲戚组成。工作人员由5个领工和10个工人组成。工厂经营得很顺利，现在需要一个新工人。
M：现在吉斯莫先生正在接见萨姆，谈工作问题。
吉斯莫：我们这里报酬不错。平均薪金是每周300元。你在学徒期间每周得75元，不过很快就可以加工资。
M：萨姆工作了几天之后，要求见厂长。
萨姆；你欺骗我！我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元。平均工资怎么可能是一周300元呢？
吉斯莫：啊，萨姆，不要激动。平均工资是300元。我要向你证明这一点。
吉斯莫：这是我每周付出的酬金。我得2400元，我弟弟得1000元，我的六个亲戚每人得250元，五个领工每人得200元，10个工人每人100元。总共是每周6900元，付给23个人，对吧？
萨姆：对，对，对！你是对的，平均工资是每周300元。可你还是蒙骗了我。
吉斯莫；我不同意！你实在是不明白。我已经把工资列了个表，并告诉了你，工资的中位数是200元，可这不是平均工资，而是中等工资。
萨姆：每周100元又是怎么回事呢？
吉斯莫：那称为众数，是大多数人挣的工资。
吉斯莫：老弟，你的问题是出在你不懂平均数、中位数和众数之间的区别。
