结果为0只是在N和N’相等时。因此，应当提醒学生，在他们用自己生日进行计算时，要保证重排的数可以得到一个差数。只要两个数不等，其差的数字根就是9。
用这个无所不在的9可以玩出很多数字魔术来。例如，一个学生在老师背转身去时写下一个数，所以老师看不见学生写的是什么。然后学生把那个数的数字打乱排成另一个数，计算这个数与原来那个数的差（大数减小数）。然后老师就让学生把差数中一个非零的数字划掉。这时，学生把余下的数字按任意顺序高声读出。老师仍然背转着身子，却能说出划掉的数字是几。
这个魔术的技巧很明显。那两个数之差应该有数字根9。当学生划掉一个数字后，并高声读出其他数字时，老师只要去掉9把其他数字心算加出来。学生念完时，老师用9减去最后的数字，结果就是学生划掉的那个数字（如果最后算得9，学生划掉的就是9）。
上述魔术和生日之谜将大大激发学生学习模算系统的兴趣。
5．无可奈何的汽车司机
M：这辆汽车已坐进40个小伙子，他们很快就要上路去宿营地了。
M：而为一辆汽车坐着40个姑娘。她们正要去同一地点。
M：在出发前，汽车司机要喝点咖啡。
M：这时有十个小伙子偷偷地从他们的汽车中出来，溜进了姑娘们的汽车。
M：当姑娘们的司机回来时，他发觉乘客太多了。
司机：好了，请大家不要开玩笑、胡闹！这辆汽车坐40个人，所以你们最好下去10个人，快点！
M：下来了不知性别的十个人。他们全上了小伙子的汽车、坐上了空座。一会儿，这两辆汽车各载着40个露营者便上路了。
M：过了一会儿，姑娘们那辆车的司机想——
司机：呣……，我确信有几个小伙子在这辆车上，还有些姑娘在小伙子的车上。我想知道，哪辆车上的异性乘客多？
M：尽管有点难以相信，但事实是，不管回到小伙子车上的十名乘客中男的女的各多少，这两辆汽车上异性乘客的比例都一样。
M：为什么？假定姑娘们的车上有4个小伙子，这就使小伙子的车上空出4个座位。这4个空位必定由4个姑娘坐着。其他数目，道理一样。
这个悖论很容易用一副扑克牌来证实。首先把这副牌分成26张红牌，26张黑牌。让一个学生从两叠牌中的一叠拿出一小叠来。我们假定这个学生从红牌中取出13张把它放到黑牌上面。然后这个学生把折叠牌洗过。现在告诉学生从刚洗过的这叠牌中拿出13张（可从这叠牌中任何一个地方随便抽取），再把它放到那叠红牌上。最后把这样凑出的半副牌也洗一下。
当学生们把这两个半副牌打开检查时，就会发觉黑牌中混入的红牌数目和红牌中混入的黑牌数目一样多。这个把戏的证明完全和两个汽车的姑娘和小伙子的人数一样。
根据这个原理可以玩出很多扑克把戏。这里介绍一个巧妙应用这一原理的把戏。把一副牌严格分成两叠，使一叠翻成面朝上，再把两叠牌洗到一起。把这样混合起来的一副牌出示给学生们看，不告诉他们正好有26张牌翻开面朝上。可以让一个学生好好洗匀这副牌。你伸出手来，叫这个学生拿出26张牌放到你手中。
你说：“要是我这半副牌中翻开的牌数和你那半副牌翻开的一样多，那不是很奇妙的巧合吗？”
叫这个学生把他（或她）手中的牌摊放在桌面上。这时你暗中翻转你手中的牌，再把牌摊放在学生那些牌的旁边。数数各叠牌面朝上的数目，两个数目相同！
你看出这个扑克把戏是怎么搞成的吗？如果你不把你手中的牌翻转，学生那半副牌中，翻开来的牌数就等于你手中面朝下的牌数。在你将牌翻转过来时，你手中面朝下的牌就变成了翻开来的牌了，这使得它正好和另外半副牌中翻开的一一对应。
这时，我们可以考虑一个古老的智力问题。一杯水放在一杯酒的旁边。水和酒的量相等。从盛酒的杯子中取出一滴来放入那杯水中。把这杯水搅匀，然后从这种混合液体中取出一滴来（要严格与滴入的酒等量），放回酒中去。现在是水中的酒多，还是酒中的水多？
用心的学生立即就能察觉这是汽车悖论和扑克悖论的另一种实例。两种混合液体情况相同。即使两个杯子中的液体量不相等，混合液也不一定搅匀，答案仍然不变，甚至我们还可以把两杯液体滴来滴去，不一定要来回滴数一样。唯一的条件就是，必须使最后杯中所盛液体的量与它开始时一样多。这样酒杯中就失去一定量的酒。这失去酒的位置就被严格等量的水充满！对这一智力问题的证明完全类似于两辆汽车中姑娘和小伙子的人数或两半副牌中红牌和黑牌的数目的证明。
这个酒和水的例子证明了，对于一个可以用冗长乏味的代数方法证明的问题可以用浅显的方法顺利地获得一个简单的逻辑的证明，这是十分令人惊叹的。如上面举出的例子，只要有正确的观点就能看得出来。
6．一块钱哪里去了？
M：一个唱片商店里。卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张唱片是一块钱卖3张。那天，这60张唱片全卖完了。
M：30张一块钱两张的唱片收入15元。30张一块钱3张的唱片收入10众，总共是25元。
M：第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上。
老板；何必要自找麻烦来分唱片？如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖3张，何不把60张唱片放在一起，按两块钱5张来卖？这是一样的。
M：商店关门时，60张唱片全按两块钱3张卖出去了。可是，商店老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这使他很吃惊。
M：你认为这一块钱到哪里去了？是不是有个伙计偷了？是不是给顾客找错了钱。
这条悖论是建立等式和不等式性质的极好例子。正如上面的故事所表明的，那个老板觉得把两种唱片放在一起，每5张卖两块钱，和分开来一种卖两张一块钱，一种卖3张一块钱是“同样的”，这就搞错了。没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数。上面的例子中两者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了。
如果考虑一个同样的问题，但价格稍为不同些，大家就能更清楚地看出问题了。假定贵一些的唱片卖两块钱3张，或者说是每张唱片的价格是2/3元。较便宜的唱片卖1块钱两张，或者说每张l/2元。老板把这两种唱片混合，卖1块钱5张。假设每种有30张，如前面一样，分开来卖，得到35元，可是合起来卖60张共得66元。这样老板就多得了1元，而不是少了1元！
这时，我们就需要对此悖论作一下代数分析了。我们假设价格较高的唱片是每张卖b/a元，价格较低的唱片每张卖d/c元。两个分数都要化简为最简分数。例如上面唱片中的例子，贵的唱片是一块钱两张，即每张1/2元；便宜的唱片是一块钱3张，即每张1/3元，故a=2，c=3，b=d=1。
假若所有唱片都各以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是b/a和d/c之和的一半。如果两种唱片合起来，按一个价格卖，那么。a+c张唱片就卖b+d元钱，一张唱片的平均价格就是(b+d)/(a+c)。显然，两套唱片合起来要收入同样多的钱数就必须是(b/a+d/c)/2=(b+d)/(a+c),令人吃惊的是，这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关。如a>c，则两套唱片合起来交可得的钱多一些（自然起在的条件下，如我们这个说明中的例子，这里a=3，c=2)。如果a
这个例子告诉我们，当看到不同种类的货物联合销售时，要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件轻而易举的事。
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[*] 为比较两种卖法的差额，可计算如下：
由于，所以bc-ad>0。
若a=c，则二者之差为0，
若a>c，则二者之差为正，即单卖赚钱少，
若a
——译注
7．奇妙的方阵
M：把这个4行4列的方阵画在一张纸上，将1到16等数字填入格中。我现在举一个著名例子，证明人的精神的威力，这定会使你吃惊！我能够把握你在这个方阵中选择的4个数。
M：在这个方阵中任意选一个数并画上圈。这个画片中圈的是7，可是你可以圈你自己选出的数。现在将圈出的数所在的那—竖行（称为列）划一条竖直线，再将这个数所在的横行（称为行）划一横线。
M：在没有划线的数中，选一个数并画上圈。又按上面的方法将这个数所在的行和列划线。再选第三个没有划线的数，将这个数所在行和列划线。最后把仅余下来的一个数画圈。
M：如果你按上法进行，则你的方阵就有点像这张画中的样子。现在，把你选出的画圈的4个数加起来。
M：你做完了吗？我现在告诉你们每个人你们加得的总数。它…是…34！对不对？我怎么知道的？我真的能左右你的选择吗？
为什么这个方阵会使得我们选出的四个数加起来总是得34？秘诀巧妙而简单。在4*4的方阵的第一行的上面顺次写4个数1、2、3、4。在第一列的左边写4个数0、4、8、12。
这8个数称为魔法方阵的“生成元”。方阵中每一格可以填上由这一格所在列上方的生成元与所在行左边的生成元相加得到的数。按这个方法将方阵中所有格子填满之后，我们的方阵就按从1到16的顺序填满了。
现在我们就可以看一看按前面讲的步骤圈出4个数时有什么特点。显然，上面步骤保证圈出的4个数不会在同一行或同一列。每一个圈出的数都是两个生成元的和，由于它们各在不同的行和列，故4个数的生成元各不相同，因此这4个数的和就等于全部8个生成元的和。这8个生成元相加等于34，所以圈出的4个数的和总是34。
当学生们明白了方阵的窍门后，他们就能编出各种不同大小的方阵来了。比如，我们考虑一个6阶的方阵，它有12个生成元。注意，在这个例子中，选取的生成元使得方阵内数字看起来好像是完全随意的。这里面暗含看这个方阵数字的结构基础，从而使之更富神秘色彩。
所有生成元的和是30。如果照前面画片中说明的步骤来选择数字的话，最后选出的所有数之和应为30。自然，那个有肯定结果的数字（或和数）的大小可以由我们任意挑。
如果构成一个10行10列的方阵，使选出的和为100，或任何其他有趣的数，例如当年的年份或某人的出生年分等，这会激发起热烈的气氛。
魔法方阵可否在格中填负数？当然可以！事实上，生成元可以是任意实数：正数或负数、有理数或无理数。
魔法矩阵可否采用乘法，就是选出的数彼此相乘得一定数？可以。这可以引起学生们探讨另一条途径。基本结构完全相同。这时方阵格中的数是一组生成元的乘积。我们也许还希望看看，如果格中填入了一组复杂的数，会产生什么结果。关于魔法方阵的更多的内容可以在《科学美国人》杂志出的《数学之谜和数学游戏》一书第二章中找到。
8．奇怪的遗嘱
M：一个富有的律师拥有11辆古董汽车，每辆值5000美元。
M：律师死时留下了一个奇怪的遗嘱。他说他的11辆古董汽车分给他的三个儿子。把其中的一半分给长子，1/4分给次子，1/6分给小儿子。
M：大家都感到迷惑不解。11辆汽车怎么能分成相等的两份？或分成4份？6份？
M：他的儿子们正在为怎么个分法争论不休时，林小姐——一位著名的数学家驾着她的新式赛车来了。
林小姐：好啊，小伙子们。你们好像碰到了难题。我能帮点忙吗？
M：小伙子们向她诉说了原委，林小姐便把她的赛车停在11辆古董汽车旁边，下了车。
林小姐：小伙子们，说说看，这里有几辆车？
M：那些小伙子一数，有12辆。
M：这时，林小姐便履行遗嘱。她把这些汽车的一半，6辆给了老大。老二得到12辆的1/4，即3辆。小儿子得到12辆的1/6，即2辆。
林小姐：6加3加2正好是11。所以，还余下1辆，这正是我的车。
M：林小姐跳上她的赛车启程了。
林小姐：很乐意效劳，小伙子们！我会把账单寄给你们的！
这是一个古老的阿拉伯悖论，这里是把那个悖论中的马换成汽车而变成现代化的说法了。学生们一定高兴试着变变遗嘱的内容，如改变汽车的数目，和分配它们的分数，条件是借一辆车就可执行遗瞩，最后还要余下一辆车退给借车人。
例如，可能是17辆车，遗嘱说把它们分为1/2，1/3和1/9。如果有n辆车，三个分数是1/a，1/b和1/c，则只有在
有一个正整数解时，上述悖论才起作用。可见让学生们再做复杂一些的问题，增加继承人的人数，同时增加为执行遗嘱而借的车辆的数目。
自然，这个悖论的解答在于下面事实：原来的遗嘱提出的分配比数相加不为1。如果用拆散汽车的方法来执行遗嘱的话，就会余下11/12辆汽车（即一辆汽车的11/12）。林小姐的办法是把这11/12辆汽车分给了儿子们。老大得到比他原来应得的数量多一辆汽车的6/12，老二多得了3/12辆，小儿子多得了2/12辆。这三部分加起来是11/12，这样一来每个儿子所得的汽车就是整数，所以就不用拆散汽车来分了。
9．惊人的编码
M：基塔先生是来自另外一个时空结构中的星系——螺旋系的科学家。一天，基塔博士来到地球收集有关人类的资料。
M：接待基塔博士的是一位美国科学家赫尔曼。
赫尔曼：你何不带一套大英百科全书回去？这会书最全面地汇总了我们的所有知识。
基塔：这是一个好主意，赫尔曼。可惜，我不能带走那样重的东西。
基塔：不过，我可以把整套大英百科全书编码列这根金属棒上。在棒上有个标记就可以做到这一点。
赫尔曼：你不是开玩笑吧？一个小小的记号怎么能携带这么多信息？
基塔：很简单，我亲爱的赫尔曼。各个符号——每个字母、数字、标点符号——都配上一不同的数。零用来隔开符号。两个零表示词之间的间隔。
赫尔曼：我不懂。你怎么编码cat？
基塔：这很简单。我马上给你看我们使用的代码。cat一词编为3-0-1-0-22。
M：基塔先生用他那高级袖珍计算机快速扫描百科全书，把它的全部内容转变为庞大的数字。在数的前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数。
M：基塔博士在他的金属棒上标上一点，这一点把这根棒严格分成其长为a和b的两段，并使得分数a/b正好等于他那代码的十进制分数值。
基塔：当我回到我自己的星球上时，我们的计算机可以严格测出a和b的值，然后算出分数“a/b”。这个十进制分数就可以被译码、这时计算机就可为我们把你们的百科全书印出来！
还不熟悉密码的学生们也许乐意按照这里所用的数字代码来给一个简短讯息编码和译码。编码表明了一一对应的重要性，以及如何把一种结构标记为另一种同物的结构。这种编码实际上是用在一种高级的证明理论中。库尔特·哥德尔作出了一个著名的证明：一个复杂到足以包含整数的演绎系统有一些定理是不可能在该系统之内证明其是否正确的。哥德尔的证明依据的就是将一个演绎系统中的每一个定理都交换为一个特定的、很大的整数。
把一整套百科全书用一个点标在棒上只是理论上成立，实际上是行不通的。困难在于在棒上标上这个点所需的精度是不可能达到的。而且标出的点必须比一个电子小很多，两段长度的测量也必须同样精确。如果我们假定两个长度确实能够精确地测量，从而得到基塔博土的那个分数，自然用他的办法就可以成功。
数学家确信π的十进制展开式是个无穷无规律数字的序列。如果确实是这样，那就意味着，任何一个有限的数字序列都一定会出现在展开式的某一段。换句话说，在π的展开式的某一段就是基塔博土编的大英百科全书的代码序列，或者就是任何其他业已出版的，或可能要出版别的著作的代码！
10．无穷饭店
M：在基塔离开之前，他讲了一个稀奇的故事。
基塔：“无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始，无限制地排下去。
基塔：一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。
基塔：尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。
基塔：第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们？可以，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。
基塔：周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。
赫尔曼：我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？
基塔：很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。
赫尔曼：对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！
M：关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！
M：德国数学家乔治·康妥发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。
如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。对于无穷集这—点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。
无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康妥称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。
还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。现在想象把一根棒向右移动n厘米。移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。移动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。
饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。
由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康妥称之为阿列夫1。康妥的辉煌成就之一就是著名的“对角线证明”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫1的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康妥证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为“连续统的势”。
阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。康妥还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。
当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。
在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。
1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。
科恩的研究结果是：集合论现在分为康妥型和非康妥型的。康妥型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康妥型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。
希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏部分。
第四章 几何学悖论
对大多数人来说，甚至对大多数在中学学习数学的学生来说，“几何”一词意味着欧几里得平面几何，它是研究平面图形的性质，在这里，我们将按费利克斯·克来因在一百多年前提出更广义的观点来认识几何，这就是研究几何图形在确定的一组变换群下保持不变的那些性质。
另一方面，拓扑学作为几何学的一个分支，它是研究图形在连续变形下不变的种种性质。这里所出现的“悖论”，如编手镯、把圆环的里面翻到外面来、不动点定理，凡此种种都是关于拓扑性质的。虽然现在中学一般不讲授拓扑学，但是拓扑学中的—些概念很容易为年轻人掌握，学生们将会被这些奇景所吸引和激励。
在介绍完这一章内容之后，可对几何学的不同分支做简短介绍，每一分支都是由允许使用何种变换来定义的，这将使学生熟悉克来因的几何学概念，它是现代数学最基本、最具普遍性的概念之一。自然我们要从欧几里得平面几何和立体几何开始介绍，在这里所允许的变换是平移、反射、旋转和相似变换。然后再一步步向前发展，介绍那些越来越特殊的变换，从而逐步定义仿射几何、射影几何、拓扑学以及点集理论。
把一个不对称的图形变成它在镜中的象的反射变换，在这里之所见特别强调，是因为它提供了许多色彩斑烂的悖论，又在较新的几何研究方法中和现代科学中具有很重要的作用。镜面对称在化学中，特别是在有机化学中扮演很重要的角色，因为在有机化学里，几乎所有的碳分子的形状都对称地分为左右两半。此外它在结晶学、生物学和遗传学以及现代物理学中也具有很大的重要性。
在本章中所谈到的某些奇妙现象，虽然初看起来好象只是一种消遣而已，但是我们将会看到，它们中间的每一个都自然地把人们引向诸如群论、逻辑学、序列理论、无穷级数、极限理论等重要的数学领域。学生们可遵循这里所提出的方法以悖论为通途进入这些数学领域。一般来说，中学生们总是特别关心用圆规和直尺作图，以及一步步地证明几何定理，他们忽视了几何与其它数学分支之间的动人的联系，忽视了几何在天文学、物理学以及其它各门科学中的应用。
1．绕着一个姑娘转圈
甲：啊，梅蒂尔！你在树后藏着吗？
M：当这个男孩绕着树转的时候，梅蒂尔也这样做，她绕着树横走，鼻子总是朝着树，所以那男孩始终看不到她。
M：他们这样绕树转一圈后，都回到了原来位置。这时，男孩绕梅蒂尔转了一圈吗？
V1：当然啰！他既然绕着树转了一圈，就必然绕着姑娘也转了一圈。
乙：瞎说！即使那里没有树，他也一直未能看到梅蒂尔的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢？
这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出现。松鼠蹲在树椿上，猎人绕着树椿转的时候，松鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？
“绕着转了一圈”这意味着什么？如果我们在这方面没有一致看法，则对上面的问题显然是无法回答的。在我们日常说的话中，许多词没有确切的定义。威廉·詹姆斯的经典哲学著作《实用主义》一书中，有一段对“猎人和松鼠”这一问题的有趣探讨，他把这当作纯粹语义上的争论的一个典型。当双方一旦认识到他们所争论的只是如何定义一个词时，困难就很快消除了。如果人们更清楚地认识到术语的精确定义该是多么重要，那么许许多多尖锐的争论问题几乎就都会变得象这个问题那样平凡易解。
2．月亮的不解之谜
M：这个问题就象月亮本身那样令人迷惑不解，月亮总是以同一面朝向地球。当月球绕着地球转一圈以后．它绕各自己的轴旋转了吗？
甲：作为一个天文学家，我的回答是肯定的。如果你站在火星上，你就会看到每当月球绕地球转一圈，它就绕着自己的轴也转一圈。
乙：它怎么旋转了呢，爸爸？如果它旋转了，我们就会看到它不同的各面，可是我们看到的却总是相同的那一面。
M：月球绕轴旋转了吗？那个男孩绕姑娘转圈了吗？这些到底是真正的科学上的争论，或只不过是在词义上的分歧？
与前一个问题一样，这也只是对词义理解的含混造成的。“绕自己的轴旋转”这句话的确切意义是什么？这个问题必须澄清。对地球上的观察者来说，月球没旋转；对处在地球—月球系统外的观察者来说，它旋转了。
一些很有知识的人都曾极认真地研究过这个简单的问题，说起来这是很难使人相信的。奥古斯都·德莫尔干在他所著的《悖论集》一书的第一卷中，对十九世纪出版的探讨这个问题的小册子作了评述，这些小册子那是反对“月球旋转了”这一观点的。一个伦敦的业余天文学家，叫做亨利·皮瑞加尔的人在这场争论中真可谓之孜孜不倦，他的讣告中有这样一段话，“在整个一生中，他在天文学上的主要目标。是使别人相信月球并没有绕轴旋转。皮瑞加尔撰写小册子、构造模型甚至写诗来证明自己的论点，愿以英雄的豪爽来承担一切努力都毫无所得而引起的一个又一个的失望。”
我们现在说与这个月球之谜紧密相关的另一个奇妙的问题。让我们在黑板上面两个大小相等、相互外切的圆盘，一圆盘沿着另一圆盘的边缘无滑动地滚动，滚动中保持边缘密切相切接触，这样绕着不动的圆盘转动一周以后，它本身旋转了几圈？
大多数学生将会回答：一圈。可以让他们用同样大小的两个硬币做试验，过后他们会惊奇地发现，那个滚动的硬币实际上旋转了两圈！
还有别的答案吗？这正像地球—月球那个问题一样，其答案也依赖于观察者的位置。相对于固定的硬币来说，它转了一圈，而相对于从上向下看的你来说，它旋转了两圈。这也曾是个激烈争论的题目。《科学美国人》杂志于一八六七年首次刊登这个问题，于是持有两种尖锐对立观点的读者的信如洪水般地涌来。
读者很快就认识到了硬币问题与月球问题之间的关系。那些坚持认为硬币只旋转一圈的人也同样认为月球根本没有绕轴旋转，一位读者以激烈的口气写道：“如果你抡着一只猫在你头上转圈，那么它的脑袋、眼睛和脊椎骨都在绕着自己的轴旋转吗……？转到第九圈猫就会死去吗？”
来信急剧增多，以致于在一八六八年四月编辑部便宣布他们不再讨论这个问题，而在一种名为“车轮”的新月刊上专门讨论这个“重大的问题”。这个杂志至少出了一期，专门刊载着读者们精心制作的各种装置的示意图，他们把这些寄给编辑部用来证明自己的论点。
3．镜子的魔力
M：镜子是个更奇妙的东西。现么梯姆斯和丽贝卡正在一个晚会上做客，晚会上每个人都戴个名片。
丽贝卡：多么奇怪的镜子啊，梯姆！你看，它把我的名字弄反了，可是你的名字却一点儿也没变！
M：镜子好象只能使左右颠倒，为什么它不能使上下也颠倒呢？这难道不是很奇怪吗？
M：实际上，只有当一条线垂直于镜面时，镜子才使这条线颠倒过来。正因为这三个小球在一条与镜面成直角的线上，所以它们在镜中象的顺序就倒过来了。
M：如果你站在用镜子做的地板上，你身体的上下轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象前面仍是前面，后面仍是后面，但是你却上下颠倒了。
M：如果你侧着身子对镜面站着，你身体的左右轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象脑袋还是在上面，前面仍是在前面，但是你却被左右颠倒了。
M：当你面对镜子站着的时候，你在镜中的象的脑袋仍是在上面，你的左面仍是在左面，可是你却被前后颠倒了。你的象中左手的位置和你走到镜面后再转过身来时左手的位置正好相反，因此我们说你被左右颠倒了。
M：在这幅画面中有两个英语字单词，为什么镜子只把其中的一个词颠倒了？实际上并非如此！另一词DIXIDE也同样被颠倒了，只不过它的对称性使它倒过来以后看起来仍和原来一样。
M：你能猜出当两个镜面垂直放置时会发生什么现象吗？这时镜子里的象将与平常镜中的象不同，它是完全没有被镜面颠倒的象！这位姑娘此时所看到的她自己正和别人所看到的她完全一样！
因为梯姆斯（TIMOTHY）这个名字的每个字母都有个竖直的对称轴，所以它在镜中的象与原来一样，但在丽贝卡（REBECCA）这个名字中只有字母A具有竖直对称轴，结果这个名字在镜中的象只有A没变，其它字母都被颠倒了。
为什么镜子会使左右颠倒，而不能使上下颠倒？这和上面所述及的关于月球和硬币的问题相似，也是词义上的问题，为了作出回答，我们必须在“左”、“右”、“颠倒”这几个词的意义上取得一致意见。为了进一步弄清镜子到底做了些什么，请读马丁·格德纳所著《具有两面性的宇宙》的前三章，本书包括大量有关镜面反射对称以及它在科学和日常生活中的作用的大量材料。
与TIMOTHY中字母不一样的是，DIOXIDE中的每个字母都有一条水平的对称轴，所以如把镜面竖直放置在这个词的上边，它在镜中的象好象没有变。在CARBON中，C、B、O也有水平对称轴，所以它们在镜中的象看起来也与原来一样，但是A、R和N都没有这样的对称轴，所以上边变成下边，下边变成上边。
可以让学生找出一些在镜面成象后看来与原来一样的英语单词，这是一个很好的课堂活动。第一步是查看所有的大写字母，并把那些具有水平对称轴的列出来。它们是B、C、D、E、H、I、K、O、X。用这些字母可组成许多四个字母或多字母的词，如CHOICE、COOKBOOK、ECHO、OBOE、ICEBOX、HIDE、DECIDED、CHOKED等等，一共有数百个这样的词。
当学生把两个小镜面垂直放置并向两镜交角方向看去的时候，他就会看到自己的没有被镜面左右颠倒的象（需要稍为调整两个互相贴近的小镜的位置，使得在两镜中只看到单独一个的象为止）。如果学生眨一下左眼，镜中的象不是象想象的那样眨一下右眼，而是另外一边的眼睛眨一下，原来这时镜中象的面部左右两边已互换了位置，这是因为他的面部两边各被每个镜面反射一次、一共反射两次的缘故。
他看到自己这样的象也许会觉得很陌生，这是因为他在平常镜中所看到的自己的面部总是左右颠倒了的。虽然人的面部有个竖直的对称轴，但左右两边很少是完全一样的。当人们看到自己这个本来面目时，左右两边的微小差别就会使他感到这个象与原来的象有所不同，但是他自己也说不出不同在什么地方。他应该知道，正是这个面部才是他（或她）本人为外部世界所辨认的面部！此外，他本人往通常镜中的象对熟知他的人来说也同样会感到有些奇怪。到底哪个是真正的面部？
要想检查一下学生对这种“双镜”成象原理了解得如何，一个好办法是问一下他们，如果两镜面的邻接线是水平的而不是竖直的时候，他们会看到什么。这时所发生的两次反射将使面部上下颠倒！这个被上下颠倒的象是在普通镜面所看到的象吗？不是，它仍旧是没有被镜面左右倒置的象，如果学生眨一下左眼，那么他这个上下颠倒的象仍旧是眨一下右眼。
这些镜面游戏可作为学习变换几何中的对称和反射的极好的导引。所有上面谈到的“悖论”都可以用初等的变换理论来解释（参看哈罗德·R·雅可比所著教科书《数学——人类的魄力》第五章的第1、2、3课）。
4．小立方块和女士
M：在这幅画中你数到了多少个小立方块？有六个？……有七个？
