M：语义学悖论要靠引进抽象语言来解决。关于世界的种种论述，如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等，都是用实际语言来组成的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。
M：在这个例子中，不存在悖论，因为句子A是用抽象语言写出的，谈论的是句子B的真实性，而句子却是用实际语言写出的。
M：我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢？我们必须达到更高级的抽象语言。在这个无穷的阶梯中，每一级对下一级都是抽象语言，对上一级又是实际语言。
抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德·塔斯基提出的。在阶梯的底层是实际语言或形象语言，如“火星有两个卫星”。像真和假这种词不在这种语言中出现。为了谈论用这种语言表述的句子真和假，我们必须使用抽象语言，即比所说明的语言更高一级的语言。抽象语言包括了所有的形象语言，但它比形象语言“更丰富”，因为它可以谈论形象语言的真实性。我们引用一个塔斯基喜爱的例子：“雪是白的，”这是用形象语言说明的。而“‘雪是白的’这句话是真的”就是用抽象语言说的。
我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢？能，不过仅当进到更高一级的抽象语言，并用更高级和更丰富的，包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才能做到。
这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言。而每—级，除开最底下那级外，对它紧下面那级而言，又是抽象语言。这个阶梯，我们愿意向上延伸多少就可以有多少。
这个阶梯的头四级是：
A．任意一个三角形的内角和是180°
B．句子A是真的。
C．句子B是真的。
D．句子C是真的。
注意，语句A简单叙述了几何客体的定理。关于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的。关于证明理论的书又是用语言C写的。幸好，数学家很少需用比C更高级的语言。
刘易斯·卡洛尔在一篇文章中饶有趣味地讨论了这个阶梯在理论上的无限性。题为“乌龟对阿基里斯说了些什么”，后来重印时题为“刘易斯·卡洛尔的魔术。”
16．类型的理论
M：集合悖论可用一个类似的无限等级排解掉。一个集合不能是该集合本身的元素，或不能是低一级的任何集合的元素。上面举出的那个理发师，占星家、机器人和目录简直就不存在了。
在集合论中，与塔斯基的抽象语言阶梯等价的，伯特纳德·罗素最初把它称为“类型理论”。且不管技术上的术语，这个理论把集合按类型的级别加以排列，此时说一个集合是它本身的一个元素，或说它不是此集合本身的元素就变得毫无意义了。从而消除了自相矛盾的集合。这种矛盾的集合根本就不“存在”。如果遵循类型理论的法则，就不存在有意义的方法来定义这种集合。这就相当于一个语义学的规定，像说谎者悖论这样的句子简直就不是句子，因为它违反了合格句子的组成法则。
伯特纳德·罗素花费了很多年时间研究他的类型理论（现在称为“简单类型论”，因为后来逻辑学家大大简化了它）。在《哲学的演进》一书中，罗素写道：
“在写完《数学原理》时，我断然决定尝试要找到解决上述悖论的办法。我感到这就差不多像是对我个人的挑战，并且如有必要，我将以我的余生来努力实现它。可是由于两个原因我发觉这是难以对付的事。第一，整个问题时时以其琐细烦恼着我……第二，像我这样尝试，可能会毫无进展。整个1903年和1904年，我的精力几乎全部投入这个问题中，可是没有丝毫成功的迹象。”
17．梵学者（印度预言家）的预言
M：梵学者能用他的水晶球看到未来吗？试图预言未来就会导致一种新的奇异的逻辑悖论。
M：一天梵学者与他的十多岁的女儿苏椰发生了争论。
苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。
学者；我肯定能。
苏椰：不，你不能。我就可以证明它！
M：苏椰在一张纸上写了一些字，把它折起来，再将它压在水晶球下。
苏椰：我写了一件事，它在3点钟以前可能发生，也可能不发生。如果你能预言它是发生，还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了。
苏椰：这是一张白卡片。如果你认为这件事会发生，就在上面写“是”；如果你认为它不发生，你就写“不”。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？
学者：好吧，苏椰，这可是一项定约啊。
M：梵学者在卡片写了一个字。到3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：
苏椰：在下午3点之前你将写一个“不”字在卡片上。
学者：你捉弄了我。我写的是“是”，所以我错了。可是，我要是写“不”在卡片上，我也错了。我根本不可能写对的。
苏椰：我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。
这条悖论最早的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示“是”，开绿灯表示“不”。这台计算机被要求用回答“是”或“不”来预言下一次灯亮是不是它的绿灯。很明显，要它预言正确，在逻辑上是不可能的。这里改写为与梵学者打赌，是马丁·加德勒创造的，发表在他的《选自‘科学美国人’的新的数学游戏》中第11章。
这个悖论可以简化成最简单的形式，即问一个人：“你下句话要讲的是‘不’，对不对？?请回答‘是’或‘不’。”
这条悖论是否和说谎者悖论相同？这个问题将引起一场有趣的班级讨论。当这个人回答时，“不”的意思是什么？显然，在说谎者悖论中它相当于“我现在说的‘这是错的’这句话是错的。”这自然和“这句话是错的”一样。因此，梵学者悖论只不过是说谎者悖论经过伪装的翻版而已。
注意，恰如“这句话是对的”不会导致悖论一样，问题你下句话要说“是”，对不对？”也不会导致悖论。学者回答“是”或“不”都不会引起矛盾。这也就像我们对说谎者悖论的翻版——鱷鱼故事的情况，上述结果相当于，妈妈要是说：“你要把孩子还给我。”鱷鱼既可以吃掉小孩，也可以交回小孩，均不会引起矛盾。
18．意想不到的老虎
公主：父亲，你是国王。我可以和迈克结婚吗？
国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不
知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老底将是料想不到的。
M；迈克看着这些门，对自己说道——
迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里。所以老虎不可能在第五个房间里。
迈克：五被排除了，所以老虎必然在其余四个房间之一。那么在我开了三个空房间之后，又怎么样了？老虎必然在第四个房间。可是，这样它就不是预料不到的了。所以四也被排除了。
M：按同样的理由，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐。
迈克：哪个门的背后也不会有老虎。如果有，它就不是料想不到的。这不符合国王的允诺。国王总是遵守诺言的。
M：迈克证明了不会有老虎之后，就冒冒失失地去开门了。使他惊骇的是，老虎从第二个房间中跳了出来。这是完全出乎意料的。这一切表明国王遵守了他的诺言。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还未得到统一意见。
意想不到的老虎这则悖论有很多其他形式的故事。不知什么原因，它第一次是发表在四十年代初，说的是一个教授的故事。这位教授宣布下一周的其一天要举行一次“意料之外的考试”。他向他的学生保证，没有一个学生能在考试那天之前推测出考试的日期。一个学生“证明”了这不会在下一周的最后一天，接着是不会在倒数第二天，倒数第三天，等等，结果是不会在下周的每一天考试。然而，教授能够遵守他的诺言来考学生，比如说在第三天考。
当哈佛大学哲学家W.V.奎因在1953年写的一篇关于这个悖论的论文中，把它改成了一个监狱长排定一个意想不到的日期绞死犯人的故事。关于这条悖论的讨论，有一个列举了23本参考书的书目，可参见马丁·加德勒的《料想不到的绞刑和其他数学游戏》一书第一章。
大多数人承认迈克推理的第一步是正确的，即那只老虎不可能在最后一个房间。可是，一旦承认这是严格的推理，迈克其余的推理就跟着成立。因为，假若老虎不可能在最后一个房间，那么同样的理由将排除它在倒数第二间，第三间，一直到其余各房间。
然而，很容易证明迈克推理的第一步也是错的。假定他打开了所有房门，只余下最后一个门。这时，他能准确地推断说最后一个房间里没有老虎吗？不能！因为，如果他这样推断，他也许会打开这个房门，发现有一个料想不到的老虎在其中！其实，即使问题中只有一个房间，整个悖论也仍存在。
逻辑学家的一致意见是，尽管国王知道他能够遵守他的诺言，而迈克却无法知道它。因此，他根本无法以充分的证据推论在任何一个房间没有老虎，包括最后一个房间在内。
19．纽科姆悖论
M：一天，一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。
M：欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。
M：欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的，总是装着1千美元。箱子B不透明，它要么装着1百万美元，要么空着。
M：欧米加告诉每一个受试者。
欧米加：你有两种选择，一种是你拿走两个箱子，可以获得其中的东西。可是，当我预计你这样做时，我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。
欧米加：另一种选择是只拿一个箱子B。如果我预计你这样做时，我就放进箱子B中1百万美元。你能得到全部款子。
M：这个男人决定只拿箱子B。他的理由是——
男：我已看见欧米加尝试了几百次，每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人，只能得到l千美元。所以我只拿箱子B，就可变成一个百万富翁。
M：这个女孩决定要拿两个箱子，她的理由是——
女：欧米加已经做完了他的预言，并已离开。箱子不会再变了。如果是空的，它还是空的。如果它是有钱的，它还是有钱。所以我要拿两个箱子，就可以得到里面所有的钱。
M：你认为谁的决定最好？两种看法不可能都对。哪一种错了？它为何错了？这是一个新的悖论，而专家们还不知道如何解决它。
这个悖论是哲学家经常争论的很多预言悖论中最新的，也是最棘手的。它是物理学家威廉·纽科姆发明的，称为纽科姆悖论。哈佛大学的哲学家罗伯特·诺吉克首先发表并分析了这个悖论。他分析的依据主要是数学家称之为“博弈论”或“对策论”的法则。
男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女孩的论据明显起来，要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱，也许空着，这是不会再改变的。如果有钱，它仍然有钱；如果空着，它仍然空着。让我们思考一下这两种情况。
如果B中有钱，女孩只拿箱子B，她得到1百万美元。如果她两个箱子都要，就会得到1百万加1千元。
如果B箱空着，她只拿B箱，就什么也得不到。但如果她拿两个箱子，她就至少得到1千美元。
因此，每一种情况下，女孩拿两个箱子都多得1千元。
这条悖论，是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出，愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒，愿意拿B箱者是决定论（宿命论）信徒。而另一些人则争辩道：不管未来是完全决定的，还是不是完全决定的，这个悖论所要求的条件却是矛盾的。
对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏，以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。由于这一悖论还未解决，故它是学生讨论的极好课题。你将发现课堂里对这个悖论的反应是活跃的，十分有益的。
第二章 概率论悖论
近来，几乎没有一个数学教师不知道概率对生活的重要，按约瑟夫·巴特勒的说法，概率是“生活的真正指南”，正如它是现代科学的每一学科的指南一样。可以肯定地预言，几年以后大学的数学学生将要学习更多的概率论，包括它在科学、技术和政府中的无限应用。
最近一本较为成功的普通数学教科书——哈洛尔德·雅可比的《数学—人类的魄力》就有很长篇幅介绍初等概率论。学生阅读这些材料，或者其他著名教科书中的同样内容，将会充实地阅读本书所需的真知灼见的背景知识，还可以向他提供充分理解本书内容所需的一切资料。
我们相信还没有深入学习概率论的学生在看了此书之后将被激起学习概率论的强烈愿望。在数学中没有任何一个其他分支有这么多例子能说明直觉会得出错误的结论，而正确的解答又与常识矛盾。当一个学生看到一个概率悖论时，他的第一个反应是不相信。他的第二个反应几乎肯定是想要清除疑云迷雾。自然，要是不学一点概率论这肯定是办不到的。
在本书中，我们除选取了一些基本问题之外，还选了一些与读者的经验最接近，最能引起兴趣的问题。用扑克牌和骰子做的简单游戏特别有吸引力。相反，我们避免了如量子力学这类科学领域的问题，这些东西尽管也充满悖论．可是它们远远超出了一般中学生的理解能力。
我们还力图尽可能清楚地作出每一个解答。这往往要列举一切可能的情况，使人们毫不怀疑解答的正确性。这类问题有很多都可以用公式或代数方法简便解出。不过，对于初学的学生，用较笨的方法解问题不仅容易些，而且还有助于深入体察问题的结构。一个已发生兴趣的学生将会找到时间来学会如何用更高明的方法解这类问题。
这本小册子的主要目的，是帮助你用小故事作阶梯来引导学生深入到概率论较深奥的内容中去。我们已努力写入尽可能多的背景知识，它们一则对课堂讨论有用，二则预先提出了 一些较机灵的学生可能提出的问题。我们还附加了一些其他的与画片很接近的悖论，我们相信它同样有意思。
我们还花了一定力量建立很多使用扑克和硬币的悖论范例。这样问题就可按这种游戏来阐明，而不需要昂贵的教学设施。我们希望读者能发现这些问题的艰深。其中有些涉及到人们不了解的赌博游戏，这种游戏可能是激发起学生兴趣的基础。
1．赌徒的谬误
M：琼斯先生和琼斯太大有五个孩子，都是女儿。
琼斯太大：我希望我们下一个孩子不是女孩。
先生：我亲爱的，在生了五个女儿之后，下一个肯定是儿子。
M：琼斯先生对吗？
M：很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？
M：埃德加·阿兰·坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。他说得对不对呢？
M：如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关。
M：琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率仍然是1/2。轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是1/6。
M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了五次国徽向上。这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过去的结果是没有记忆的。
如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。
大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如，第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。
有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已。
所有轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统，它正是以赌徒未能认识到独立事件的独立性这一“赌徒谬误”为基础的。参与者赌红色或黑色（或其他任何一个对等赌金的赌），每赌失败一次就加大赌数，每赌赢一次就减少赌数。他们猜想，如果小小的象牙球让他赢了，那么就会有某种原因“记住”它，不太可能让他在下一次再赢；如果小球使他输了，这将感到抱歉，很可能帮助他在下一次赢。
事实是每一次旋转，轮盘都与以前旋的结果无关，这就十分简单地证明了，任何一个赌博系统给赌徒的好处都不会比给赌场主的还多。约翰·斯卡恩在他的“赌博大全”一书中写道：“当你象一般组织好的赌赛中常有的情况，你要因赌场主设赌而给他一定百分比的钱，故你赢的机会就如数学家所说的是负的期望。当你使用一种赌博系统时，你总要赌好多次，而每一次都是“负的期望”。绝无办法把这种负期望加成正的……“
埃德加·阿伦·坡写的骰子的笑话出在他的侦探故事的跋中，题为“玛丽·罗杰特之谜”。一粒骰子，一枚硬币，一个赌盘，或者任何一种随机装置，都会产生一系列独立事件，这些事件无论如何也不会受到这种装置过去状态的影响。如果你们总愿意相信某种赌徒谬误，那么一个有意义的课堂活动就是假装玩一次实际的以赌徒谬误为基础的赌博游戏。比如，一个学生可以反复抛掷硬币，只是在同一面出现三次之后，才与另一学生用扑克牌作筹码打赌。他总是赌硬币相反的那一面。换句话说，就是在三次出现国徽之后，他赌字；在三次出现字之后，他赌国徽。末了，比如说赌了50次，这时他手中的牌数绝不会正好与开始时一样多，但应该是差不多的。也就是说他赌赢赌输的概率是相等的。
2．四只猫的性别
M：很容易作出错误的概率计算。这儿有两只猫已住在一起。
V1：亲爱的，我们的新房舍中有几只猫？
V2：你不会数呀？四只，你这个笨蛋。
V1：几只雄猫？
V2：很难说，我也不知道呢。
V1：四只猫都是雄的不太可能。
V2：也不可能四只都是雌猫。
V1：也许只有一只是雄猫。
V2：或许只有一只是雌猫。
V1：这也不是很难想出来的，亲爱的。每只猫是雄是雌的机会是一半对一半，所以很明显，最有可能的结果是两个雄的，两个雌的。你还不能把它们算出来吗？
M：猫先生的理由对不对？
让我们来检验它的理论。用B表示雄猫，用G表示雌猫，这就很容易列出十六种同等可能的情况。
M：在十六种中只有两种是所有猫都具有同样性别，所以，这种情况发生的概率是2/16，或1/8。猫先生认为这种情况具有最低概率是对的。
M：现在，让我们检验一下2—2分配，猫先生认为这是可能性最大的一种。这种情况有六次，所以其概率是6/16，或3/8。这显然比1/8高。猫先生也许是对的。
M：可是，我们还有一个更大可能的情况要考虑：3—1分配，由于这种情况有8次，其概率是8/16，或1/2。这就比2—2分配高。我们大概是搞错了吧？
M：如果我们算出的概率是对的，它们相加应等于l。加一加果然为1。这就向我们说明，三种情况都会发生，猫先生猜错了，最可能的情况是3—1，而不是2—2。
一家四个孩子最可能的情况是三个孩子是一种性别，另一孩子是另一种性别，而不是两个男孩，两个女孩，这一点使大多数学生感到惊讶。在班级里，用4个硬币反复抛掷很容易作出试验。将每次抛掷结果记录下来。在抛了100次之后，差不多有50次是3—1组合，而2—2组合大约是33次。
在做了这个练习之后，你也许希望给你的学生一项任务，决定在一个有五个孩子或六个孩子的家庭中不同性别组合的概率。由于这是令人乏味的工作，当他在列出所有组合时，你再向他介绍节省时间的公式就是最好的时机。
—个类似的问题是关于一手桥牌中四种花色的最可能分布，其答案也同样违反直觉。最不可能的情形自然是拿到同一花色的13张牌（你拿到这手牌的可能性是158753389899分之一）。可是最可能出现的情况是什么呢？
即使是很有经验的桥牌手也往往猜想答案是4，3，3，3。这就错了。最可能的一手牌是4，4，3，2。你可以期望这类牌大约要五圈拿到一次；而4，3，3，3这种分布则大约要每九圈或十圈才能拿一次。就是5，3，3，2这种分布也可能是每六圈拿一次。奥斯瓦尔德·雅可比写的《怎样预测手气》中给出了各种可能的花色分布概率表。较有才能的学生用袖珍计算器可以把证实雅可此的预测表当作一项有趣的工作。
在报纸上，你是不是会看到某人得到一手完满的桥牌的故事。得到这种牌的可能性小到要用天文数字来表示，因此故事几乎肯定是假的，要不，在玩牌人当中就有人着实在搞鬼，他偷偷地把牌安排好了。要不然就可能是刚拿出一副新牌，某人无意地作了两次完满的洗牌。完满的洗牌就是把这副牌严格对半分，然后两边的牌一张一张地交叠。洗两次后，这副牌就是四种花色顺次交错。这时无论怎样发牌，都得到四手完满的牌。
3．三张卡片的骗局
M：在很多赌博游戏中，若相信你对概率认识的直觉将会是不幸的。这里有一个用三张卡片和一顶帽子作简单的赌博例子，可以证明这一点。
M：利用镜子反照可以比较容易看出卡片的组成。第一张卡片两面都是圆圈。中间那张卡片，一面是黑点，一面是小圈。最后一张则两面都是黑点。
M：庄家把卡片放在帽子里摇晃，让你取一张。把它放到桌子上。然后，他与你以对等的赌金，打赌下面两圈点是和上面的一样。
我们假定你取出的卡片上是小圈。
M：庄家为了哄你，让你以为这个赌博是公平的，就说你的卡片不可能是黑点—黑点卡。因此，它要么是小圈—小圈卡，要么是黑点—小圈卡。下面的不是黑点，便是小圈，所以你和他赢的机会相等。
M：要是这个游戏是公平的，庄家怎么会这样快就赚了你的钱呢？这是因为他的话是骗人的。实际情况是2比1对他有利。
M：关键是同样可能的情况有三种，而不是两种。抽出的卡片可能是小圈—黑点，或者是A面向上的小圈—小圈，也可能是B面向上的小圈—小圈。底面与上面一致的情况有两种。因此，在玩了多次以后，庄家就会是大约三回里赢两回。
这个卡片游戏是沃德·威弗设计的，沃德是著名的数学家，信息论的建立者之一。他曾在1950年10月《科学美国人》关于“概率”一文中介绍过这个内容。
下面是对这个赌戏的真实情况的—种说明。三张卡片中有两张是两面圈点一样的。如果你从帽子中随机地取卡片，那么你得到这种两面圈点一致的卡片的概率是2/3。因此，抽出的卡片与上面圈点相同的概率就是2/3。
卡片游戏是称为伯特纳德箱的悖论的翻版。在伯特纳德以后，一位德国数学家将它写进一本书中，于1889年发表。伯特纳德设想有三个箱子。一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，一个装一枚银币一枚金币。三个箱子混杂，然后随意取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3。
然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，看到它是金的。这就是说，箱子里的不可能是两枚银币。因此，它必然是两枚金币；或一枚金币，一枚银币。由于这两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2。如果我们取出的是银币，也会得出同样的结论。
取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是不可能的，这样就说明了上面错在哪里。
这里有一个相关的悖论学生们是会觉得很有意思的。如果你抛掷三枚硬币，它们掉下来后完全一致的概率是什么？三个当中至少有两个是—样的，另外那个要么与这两个一样，要么就是不同的。由于它出现这两种情况的机会均等，故它与另两个硬币是否一致的机会就是相等的。这样，看起来所有三个硬币都一样的概率就是1/2。
我们只要将八种可能的情况列表如下，就可表明这种推论是错的：
H H H T H H
H H T T H T
H T H T T H
H T T T T T
看得出来，只有两种情况是三个硬币都取同样花纹。因此正确的概率应是2/8=1/4。
另一个出人意料的小悖论也是由于在考虑所有可能的情况时发现错误而引起的。说的是一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球，玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技巧完全相同，测量也足够精确而不会引起纠纷。女孩赢的概率是什么？
观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，因此女孩赢的概率是2/3。
观点二：把女孩的玻璃球叫做A和B，把男孩的叫做C，就有四种可能的情况：
（1）A和B都比C更接近立柱。
（2）仅A球比C球接近立柱。
（3）仅B球比C球接近立柱。
（4）C球比A和B都接近立柱。
这四种情况中三种都是女孩赢，所以女孩赢的概率是3/4。
为了解决这个问题，我们列出全部可能的情况，它是六种而不是四种。按三个球接近立柱的次序，使最近者在前，列表如下：
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
在六种情况中有四次是女孩赢。这就证明了第一种观点对，女孩赢的机会是4/6＝2/3。
4．电梯悖论
M：人们乘坐电梯往往为另一个奇怪的概率悖论而感到迷惑不解。我们假定在这幢大搂里，电梯运行是独立的（即与任何人无关），在每层楼停留的时间均等。
M：高先生的办公室靠近顶层，他非常恼火。
高：真见鬼，我等乘电梯下楼已经等了五分钟了，所有停下的电梯都是要上楼的。老是这样。
高：说不定他们是在底层做好电梯，待电梯升到顶层时，再将它从房顶用直升飞机运走呢！
M：艾小姐在接近底层的办公室工作。她每天要到顶层的餐厅吃午饭。她也很恼火。
艾：我真不明白。不管我什么时候等电梯，停下的电梯多数是要下楼。
艾：他们肯定是先把电梯弄到顶层，然后把它打发到地下室存起来了。
M：用一个简单的图可以排除这团迷雾。对于高先生而言，电梯间里只有上端黑色区中的电梯才下楼。这个区比阴影区小，因此电梯在他那层楼从下面往上跑的概率要高得多。你现在看得出，在艾小姐的情况下这一推论同样起作用了吧？
电梯悖论首先出现在一本物理学家乔治·伽摩和他的朋友马文·斯特恩写的书——《数学之谜》中。在用一个电梯说明这个悖论时，就象我们前面那样，伽摩和斯特恩犯了一个小错误。他们认为，如果电梯不止一架，概率“自然还是同样的”。
斯坦福大学的计算机科学家首先认识到这个错误。他在1969年7月的《娱乐数学杂志》上写了一篇文章“伽摩—斯特恩电梯问题”。他指出，当电梯增加后，在任何一层碰到电梯上楼和下楼的概率都接近1/2。
这种情况在一定程度上是比原来的悖论更令人感到矛盾了。这意味着，如果你在接近顶层等电梯，并只注意其中一个电梯门的话，那么将要到的那台电梯可能上楼的概率较高。可是，如果不管那个电梯间的电梯都可以上，则将要到达的那台电梯上、下楼的概率就不问了。这个概率在电梯数目接近无限时就接近于1/2。停在接近底层的电梯可能下楼的概率也是同样的。
自然，我们假定电梯的运行彼此无关，它们的速度相等，且在每层楼的平均等待时间相等。如果电梯只有少数几台，则概率稍有偏离。但如果有20台，则对所有各层来讲，上、下楼的概率就非常接近1/2了，自然最顶层和最底层除外。
5．女朋友的烦恼
M：你听说过一个青年无法决定看哪个女朋友好的事吗？他有两个女朋友，一个住在东城，一个住在西城。他每天不定什么时候要去地铁车站一次．坐上最早碰到的列车。
M：向东的列车和向西的列车都是十分钟到一次。
