应关系，那么，A就一定小于
B。
然而，非常遗憾，虽然这一定义在证明
3＜5时十分完美，但应用于无
穷集时，就不能令人满意了。例如，自然数集
N和有理数集
Q。我们可以
很容易地写出
N集全部元素与
Q的某一子集（即那些分子为
1的正分数）
之间的一一对应关系：
我们无疑不希望利用这种对应关系推断出N＜Q。事实上，我们已
经知道，在集合
N的所有元素与集合
Q的所有元素之间存在着与此不同的
另一种一一对应关系，所以，这两个集合具有相同的基数。乍一看，我们
似乎陷入了进退维谷的尴尬境地。
康托发现，如果在开始时引入的不是“小于”，而是“小于或等于”
的概念，就可以巧妙地摆脱这种困境：
□定义：设有集合
A和
B，如果集合
A的所有点与集合
B某一子集的
所有点存在一一对应关系，那么，我们就说，
A≤B。
注意到集合
B的某一“子集”可能是集合
B的全部点，在这种情况下，
我们就得到A=B。当然，这与广义的A≤B完全一致。并且，上述集合
N的全部元素与Q集部分元素之间的一一对应关系也不过是证明了
N≤
Q，这并不矛盾，因为两个集合都有基数à0。
现在，康托可以用严格的不等式给出一个定义来描述两个集合之间的
基数性质：
□定义：设A≤B（如前一个定义所述），如果A与B之间不存在一
一对应关系，那么，A＜B。
表面看来，这个定义似乎价值不大，但若仔细想一想就会发现，这个
定义包含着一一对应关系的重要性质。因为，如果要证明A＜B，我们
首先必须找出集合A的所有点与B集的部分点之间存在着一一对应关系（因
而证明A≤B），然后，我们还必须证明，集合A的所有点与集的所有
B
点之间不存在一一对应的关系。问题很快就变得不那么简单了。
尽管如此，这个定义依然行之有效。例如，它为我们的原始朋友证明
了
3＜5。也就是说，拇指、食指和无名指与右手五个手指中的三个手指所
构成的一一对应关系证明了
3≤5；然而，却没有办法将她的全部五个手指
与她伙伴的三个手指一一对应，所以，基数
3与
5不相等，结论只能是
3＜5。
至于无限基数，应用同一逻辑方法足以证明à0＜c，因为我们可以很
容易地发现集合
N的全部点与区间(0,1)某一子集之间的一一对应关系：
所以，N≤(0,1) 。但是，康托的对角线法证明，在这两个集合
之间不存在一一对应关系。因而，
N≠(0,1)。综合这两个方面，
我们得出结论，＜(0,1)——即，à0＜。
Nc
至此，康托已提出了一个比较基数大小的方法。请读者注意，这个定
义的直接结果是一个在直觉上十分明显的事实，即，如果
A是
B的子集，
那么，A≤B。也就是说，我们肯定能够使集合A的每一点与它自己相
匹配，在集合
A的所有元素与集合
B的某一子集之间建立起一一对应的关
系。所以，一个集合的基数大于或等于其任何子集的基数。在一系列违背
直觉的命题中，这一命题似乎还算令人安心。
康托在比较基数大小的基础上，又提出了一个非常重要，而且，据他
认为，是一个非常关键的论断：
如果A≤B并且B≤A那么，A=B
如果我们只限于有限基数，这一论断看来非常明确。但是，如果我们
将其应用于超限基数，就显得不那么明确了。让我们仔细想一想康托提出
的问题：如果在
A集的全部与
B集的部分之间存在着一一对应关系（即，
AAB），并且，在集的全部与BA集的部分之间同样也存在着一一对应
的关系（即，B≤A AB
），那么，我们就可以断定，在集的全部与集的
全部之间必然存在着一一对应的关系（即，A=B）。但是，人们从哪
里才能找到这最后的对应关系呢？稍加思考，我们会发现这个论断的确具
有深远的意义。
乔治·康托虽然从未能对这一命题作出令人满意的证明（足以说明其
复杂性），但却仍然认为这个命题是正确的，也许这恰恰表明了他对他的
集合论的“合理性”始终抱有坚定的信念。幸运的是，这一定理由两位数
学家——恩斯特·施罗德（于
1896年）和费利克斯·伯恩斯坦（于
1898
年）各自独立地作出了证明。由于这个定理是由几个人共同创立的，所以，
我们今天称之为“施罗德-伯恩斯坦定理”，但有时也称作“康托-伯恩斯
坦定理”或“康托-施罗德-伯恩斯坦定理”，或把这些名字按其他方式排
列。我们暂且抛开这些名称不谈，这一定理对于研究超限基数，是一个十
分有用的工具。
虽然这一定理的证明超出了本书范围，但我们可以阐明这一定理在确
定所有无理数的集合Ⅰ的基数中所起的重要作用。我们在前一章中已看
到，无理数集是不可数的；也就是说，无理数集的基数大于à0。但是，我
们并没有明确地给出这个基数。要确定这个基数，我们就可以应用施罗德伯
恩斯坦定理。
首先，无理数集是实数集的一个子集，根据前一章的评述，我们知道，
I≤。另一方面，考虑到每一个实数与一个无理数所构成的对应关系，
c
我们定义如下：如果
x=M.b
1b2b3b4..bn..是一个小数形式的实数，M是
这个小数的整数部分，那么，我们就可以得到与
x相伴的实数
y=M.b10b211b3000b41111b500000b6111111..
也就是说，我们在第一位小数后面插入一个
0，在第二位小数后面插入两
个
1，在第三位小数后面插入三个
0，等等，依此类推。例如，对应于实数
x=18.1234567..的是
y=18.1021130004111150000061111117..
而与实数
x=－7.25=－7.25000..相对应的则是
y=－7.205110000011110000000111111..
无论我们选用什么数值的实数
x，与之相对应的
y都有一个既不终止，
也不循环的小数展开式，因为我们在这个小数展开式中得到越来越长的连
续
0或连续
1的数组。因此，每一个实数
x都与一个无理数
y相对应。
并且，这种对应是一一对应的。因为，如果我们已知一个
y值，比如
5.304114000711111000002..，我们就能够从中“分解”出一个，并且，
只有一个可能与之对应的
x值，就本例而言，x=5.344712..。我们应该
注意到，并不是每一个无理数最终都能够与一个实数对应。如，无理数
y=
2 = 1.414159 ..，在其小数展开式中就没有这种形式的和数组能够01
与任何实数
x相对应。
在全部实数与部分无理数之间的这种一一对应关系表明
≤。但
cI
是，我们前面已讲过，
≤，因而，根据施罗德-伯恩斯坦定理，我们可
Ic
以断定，无理数集的基数是
c，与全部实数集的基数相同。
由康托提出，并由施罗德和伯恩斯坦证明的这个定理，使超限基数这
一大难题成功地得到了解决，但是，康托的奇妙问题层出不穷。另一个问
题是，是否存在任何大于
c的基数。根据以前的对应关系，康托感到这个
问题的答案应该是肯定的，并觉得他知道如何得到一个更充分的点集。
康托认为，发现一个大于一维区间(0,1)基数的关键是要在一个由
x
轴上的区间(0,1)与
y轴上的区间(0,1)所构成的二维正方形中去寻觅，如
图
12.1所示。康托在
1874年
1月写给朋友理查德·狄德金的信中问道，
区间和正方形这两个点的集合是否能够构成一一对应的关系？他近于肯定
地认为，在二维正方形与一维线段之间不可能存在这种对应关系，因为前
者似乎显然具有更多的点。虽然作出证明可能十分困难，但康托却认为作
证明也许是“多余”的。
然而，有趣的是，这一几乎多余的证明却从未能够作出。康托尽管尽
了最大努力，但始终未能证明在区间与正方形之间不可能存在一一对应的
关系。后来，1877年，他发现他原来的直觉是完全错误的。这种一一对应
的关系确实存在！
为了证明这一令人吃惊的事实，我们令
S表示由全部有序偶(x,y)构成
的正方形，在这里，0＜x＜1，0＜y＜1。我们只要简单地将区间(0,1)
中的点与中的一对有序实数(z,
21)相配，就可以很容易地构成单位区间
zS
全部与单位正方形
S中部分之间的一一对应关系。根据我们前面的定义，
我们推断，(0，1)≤S。
另一方面，对于
S中的任何点(x,y)，设其横坐标
x与纵坐标
y都是无
穷小数。即，x=0.a
1a2a3a4..an..和
y=0.b
1b2b3b4..bn..。如我们
在第十一章中所述，我们认为，这些小数展开式是唯一的——对于一个结
尾可以用
0的无限循环或
9的无限循环表示的小数，我们采用前一种表示
方法，而不采用后者，所以，我们用小数
0.2000..，而不用其等价小
数0.1999..来表示
51 。
我们采用这一约定，并根据以下定义，将
S中的每一个点(x,y)与(0,1)
中的点
z相对应：
z＝0.a
1b1a2b2a3b3a4b4..
例如，按上面规律对
x和
y的小数位重新组合，就可以使单位正方形
中的一对有序实数(
2 ，2) = （0.18181818..，0.70710678..）与
11 2
单位区间中唯一的一个点
0.1780178110861788..相对应。没有比这再简
单的了。同样，如果已知区间中的一点对应于
S中的某一点，我们可以通
过分解小数位的方法，使之回到唯一的有序数偶。也就是说，如果
z=0.93440125..，那么，在正方形中一定有由它规定的唯一的一对有序
实数
(x,y)=(0.9402..,0.3415..)
我们注意到，根据这种对应关系，并非单位区间中的每一个点都能够
6
与正方形中的某一点对应。例如，
(0,1)区间中的点z =
55
= 0.109090909
..可以分解为有序偶（0.19999..，0.0000..）。但是，我们已完全
排除了应用.. 0.1999..，而代之以与其等价的小数0.2000..；更糟糕的
是，第二个坐标.. 0.0000..=0，严格地说，并不位于.. 0与.. 1之间，
..可以分解为有序偶（0.19999..，0.0000..）。但是，我们已完全
排除了应用.. 0.1999..，而代之以与其等价的小数0.2000..；更糟糕的
是，第二个坐标.. 0.0000..=0，严格地说，并不位于.. 0与.. 1之间，
，
S6 = 01090
.
55
9090..不对应于正方形内的任何一点。
然而，我们毕竟在.. S的全部点与(0,1)的部分点之间构成了一一对应
关系，因此，我们认为，
S≤(0,1)。将这一事实与前面的不等式
(0,1)≤
S联系起来，就可以应用施罗德-伯恩斯坦定理，推断出S＝(0,1) = c。
这一讨论表明，尽管维数不同，但正方形中的点并不比区间内的点多。
这两个集合都有基数.. c。至少可以说，这个结果是十分令人吃惊的。康托
在.. 1877年写给狄德金的信中报告了这一发现，并惊呼，“我发现了它，但
简直不敢相信！”
那么，我们到哪里去找大于.. c的超限基数呢？康托可以很容易地证
明，一个比较大的正方形，甚至整个平面中的全部点，都具有与单位区间
(0,1)相同的基数。即使在三维立方体中，也没有发现更大的基数。这样看
来，c似乎是最高一级的超限基数。
但是，事实却证明并非如此。1891年，康托成功地证明了更高一级超
限基数的存在，而且，是令人难以置信地大量存在。他的研究结果，我们
今天通常称之为康托定理。如果说他一生中证明了许多重要定理，那么，
这个定理的名称就表明了它所得到的高度评价。这个定理像集合论的任何
定理一样辉煌。
伟大的定理：康托定理
为了讨论这一证明，我们需要引入另一个概念：..
□定义：设有集合.. A，A的所有子集的集合称为.. A的幂集，
记作.. P[A]。
这个定义看来非常简单。例如，如果.. A=｛a，b，c｝，那么，A有
8个子集，因而，A的幂集就是包含这.. 8个子集的集合，即：
P[A]=｛｛｝,｛a｝,｛b｝,｛c｝,｛a,b｝,｛a,c｝,｛b,c｝,｛a,b,c｝｝
请读者注意，空集｛｝和集合.. A本身是.. A的幂集的两个元素；无论我
们采用什么样的集合.. A，这都是正确的。我们还应注意，幂集本身也是一
个集合。这一基本事实有时容易被忽视，但在康托的思想中，这个事实却
有着重要意义。
显然，在我们上述例子中，幂集的基数大于集合本身的基数。也就是
说，集合A包含.. 3个元素，而它的幂集则包含.. 2 3=8个元素。我们不难证明，
一个包含.. 4个元素的集合有.. 2 4=16个子集；一个包含.. 5个元素的集合有..
25=32个子集；总之，一个包含.. n个元素的集合.. A有.. 2 n个子集。我们可以
用符号来表示，即，P[A]＝2n。
但是，如果.. A是一个无穷集，又将如何？无穷集的幂集其基数是否同
样大于集合本身的基数呢？康托定理回答了这一引起争论的问题：
定理设A为任意集合，那么，A＜P[A]。
定理设A为任意集合，那么，A＜P[A]。
道的一小部分，所以，这种一一对应关系就保证了
A≤P[A]。
到此为止，一切都很简单。但还有必要证明.. A与.. P[A]没有相同的基数。
我们采用间接证明的方法，首先假定它们的基数相同，然后从中导出逻辑
矛盾。即，我们假设在.. A的全部与.. P[A]的全部之间存在着一一对应关系。
为便于论证，我们将采用一个与这一假定一致的例子，以备后面参照：
于是，这个排列表示在A的全部元素与.. P[A]的全部元素之间存在着假
定的一一对应关系。请注意，在这种对应关系中，A的某些元素属于它们
所对应的子集；例如，c是与之相对应的集合｛a,b,c,d｝的元素。而另一
方面，A的某些元素则不属于它们所对应的子集；例如，a就不是其对应子
集｛b,c｝的元素。
令人不可思议的是，这种将互不相容的东西一分为二的做法提供了导
致本证明逻辑矛盾的线索，因为我们现在可以对集合.. B作出如下定义：
B是原集合.. A中每一个不属于它所对应的子集的元素的集合。
参照上述假设的对应关系，我们看到，a以及.. b（因为.. b不是｛d｝的
元素）、d（d当然不属于空集）和 g（不是｛h,I,j,..｝的元素）都属
于集合.. B。但是，c、e和.. f就不是集合.. B的元素，因为它们分别属于
｛a,b,c,d｝、A本身和｛a,c,f,g..｝。
