博弈涉及哪些内容呢？


　　第一，博弈涉及至少两个独立的博弈参与者（player）。

　　每个参与者通过采取行动，努力使自己的效用或利益最大化。但是，他的行动的好处或支付的获得取决于另外的参与者。下文有时将参与者称为行动者。

　　“囚徒博弈”或“囚徒困境”是一个被广泛谈论和研究的博弈。两个共同作案偷窃的小偷被带进警察局单独关押，如果一方与警方合作，招认并供出自己与对方以前所做违法之事，而对方不招认，招认方将不受重刑，无罪释放，另一方则会被判重刑10年；如果双方都与警方合作共同招认，各被判刑5年；而如果双方均不承认有罪，因警察找不到其他证明他们以前违法的证据，则只能对他们的小偷行为进行惩戒，各判刑3个月。这两个小偷如何作出选择？

　　在这个囚徒困境中，囚徒的最后结果——是当场释放还是被判刑（10年、5年、3个月），不仅取决于该囚徒的决定，而且还取决于另外一个囚徒的决定。

　　而在买卖的交换行为中，买东西的人要尽量以低的价格买到，但是他是否能买到取决于卖者是否能卖；卖东西的人尽量想以高的价格将东西卖出去，但价格太高，买者不接受，因此卖东西的人能否将物品卖出去取决于买者。

　　第二，博弈涉及行动者存在着策略（strategy）选择的可能，博弈论用策略空间来表示参与者可以选择的策略。

　　赤壁一战，曹兵大败，曹操落荒而逃，在选择是走通往华容道的小路，还是选择大路时，他面临着在两个策略之间进行选择。囚徒困境中的小偷面临着“不招认”还是“招认”的选择。每个参与者从策略空间中选取他的策略，如果没有选择的可能，理性的人是无法作出计算的，对自己的目标也就无能为力。从这个意义上来讲，我国改革开放走向市场经济，就是使得每个经济主体发挥其理性的作用，使之发挥主动性，而在计划经济下则没有可选择的余地。

　　第三，参与者在不同策略组合下会得到一定的支付（payoff）。

　　我们往往用支付矩阵来表示参与者在各种策略组合下的支付，有时用函数来表示。囚徒困境的支付矩阵为：

　　甲乙不招认招认不招认各判刑3个月乙：判刑10年，

　　甲：当场释放招认甲：判刑10年

　　乙：当场释放各判刑5年我们再来分析一交易过程的支付矩阵。在一卖主甲和一买主乙之间的“买—卖”博弈中——这是一讨价还价过程，假定通过讨价还价后确定了一价格。在此价格下，卖者卖成后获得的效用为6，卖不成的效用为0；买者买成的效用为4，买不成的效用为0。而如果他们之间的交易不成功，无论是买主还是卖主都要等待和进行讨价还价，假定等待和讨价还价的成本均为1，则支付矩阵为：

　　乙甲买成买不成卖成(6，4)(5，0)卖不成(0，3)(0，0)

　　第四，对于博弈参与者来说，存在着一博弈结果。

　　所谓结果是参与者最终对策略的选择造成的确定性的支付。如在曹操败走华容道的博弈中，诸葛亮在“埋伏大路”与“埋伏通往华容道的小路”之间进行选择，而曹操在“走大路”和“走通往华容道的小路”之间进行选择。在这个博弈中，双方猜测对方的行为，看谁猜得准。博弈的最终结果是，诸葛亮派关羽埋伏在通往华容道的小路，而曹操选择走小路，被诸葛亮抓住。这就是曹操与诸葛亮之间的博弈的结果。

　　第五，博弈涉及均衡。

　　均衡是经济学中的重要概念。那么什么是均衡，它的含义是什么？

　　均衡即是平衡的意思，在英文中是equilibrium。在经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。在供求关系中，如果在某一商品市场的某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买到，而想卖的人均能将商品卖出去，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。此时的价格可称之为均衡价格，产量可称之为均衡产量。均衡分析是经济学中的重要分析。

　　那么什么是博弈论的均衡呢？所谓博弈均衡，它是一稳定的博弈结果。均衡是博弈的一种结果，但不是说博弈的结果都能成为均衡。博弈的均衡是稳定的，因而是可以预测的。

　　纳什均衡是一种最常见的均衡。它的含义是：在对方策略确定的情况下，每个参与者的策略是最好的，此时没有人愿意先改变或主动改变自己的策略。

　　在上面的“买—卖”的博弈中，（卖出，买进）是一纳什均衡，这个博弈可以解释为什么在现实中讨价还价后买卖能做成，因为这对双方来说都是最优选择。同时在“买—卖”博弈中，其均衡对双方来说是全局最优的。

　　第六，重要的均衡——纳什均衡。

　　纳什均衡（Nash Equilibrium）是博弈分析中的重要概念。1950年身为研究生的纳什写了一篇论文——《n人博弈的均衡问题》，该文只有短短一页纸，可就是这短短一页纸成了博弈论的经典文献。在这篇论文中，纳什给出了博弈均衡的定义，这样的均衡被人们称之为纳什均衡。

基本术语(2)
那么什么是纳什均衡呢？简单说就是，一策略组合中，所有的参与者面临这样的一种情况：当其他人不改变策略时，他此时的策略是最好的。也就是说，此时如果他改变策略，他的支付将会降低。在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。

　　在囚徒困境中存在惟一的纳什均衡点，即两个囚犯均选择“招认”，这是一稳定的结果。


　　有些博弈的纳什均衡点不止一个。如下述“夫妻博弈”（或称性别之战）中有两个纳什均衡点。丈夫帕特和妻子克里斯商量晚上的活动。丈夫喜欢看拳击，而妻子喜欢欣赏歌剧。但两人都希望在一起度过夜晚，双方的支付矩阵如下：

　　丈夫妻子歌剧拳击歌剧(2，1)(0，0)拳击(0，0)(1，2)

　　在这个“夫妻博弈”中有两个纳什均衡点：（歌剧，歌剧），（拳击，拳击）。在有两个或两个以上纳什均衡点的博弈中，其最后结果难以预测。在“夫妻博弈”中，我们无法知道，最后结果是一同欣赏歌剧还是一起去看拳击。

　　是不是所有的博弈均存在纳什均衡点呢？不一定存在纯策略纳什均衡点——所谓纯策略是指参与者在他的策略空间中选取惟一确定的策略。但至少存在一个混合策略（mixed strategy）均衡点——所谓混合策略是指参与者采取的不是惟一的策略，而是其策略空间上的一种概率分布。这就是纳什于1950年证明了的纳什定理。我们下面将在“警察与小偷的故事”例子中给出混合策略的说明。

　　我国研究纳什均衡的专家谢识予博士在《纳什均衡论》中用通俗的话表达了纳什均衡含义：给定你的策略，我的策略是最好的策略；给定我的策略，你的策略也是你最好的策略。这就是说，双方在对方的策略下自己现有的策略是最好的策略。即：此时双方在对方给定的策略下不愿意调整自己的策略。这里的策略包括混合策略。

　　纳什均衡是博弈论中的重要概念，同时也是经济学的重要概念。诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森有一句幽默的话：你可以将一只鹦鹉训练成经济学家，因为它所需要学习的只有两个词：供给与需求。博弈论专家坎多瑞（Kandori）引申说：要成为现代经济学家，这只鹦鹉必须再多学一个词，这个词就是“纳什均衡”。由此可见纳什均衡在现代经济学中的重要性。纳什均衡不仅对经济学意义重大，对其他社会科学意义同样重大。我在书后的附录中用数学语言给出了纳什均衡及纳什均衡存在定理。