第一章 中国古代数学综述



数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为算术，即“算数之术”。就是说，古代的术语算术对应于英文的mathematics，而不是arithmetic。在初等范围之内，它包括今天数学教科书的算术、代数、几何、三角等方面的内容。后来，算术又称为算学、算法，宋元开始使用“数学”一词。此后，算学、数学并用。1939年6月中国数学名词审查委员会确定用“数学”而不用“算学”。

历代数学家的数学著述正是数学进步的脚印。中国古代的数学著述通常称为算经，它们是数学成就的载体。因此，我们的综述着重介绍算经，兼及杰出的数学家。历代出现过多少算经，不得而知，西汉至宋元的算经大多亡佚，目前仅存20余种。明清留下的算经较多，可惟中国已经失去了数学大国的地位。笔者认为，中国古代数学的起源和发展大致分成这样几个明显的阶段：春秋以前数学的萌芽，战国至两汉以《九章算术》为代表的数学框架的确立，魏晋至唐初的数学理论的奠基，宋元数学高潮，以及明朝衰落，明末以后以中西数学融会贯通为特点的复兴时期。



第一节 春秋前中国数学的萌芽



我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中，逐渐认识了数与形的概念。出土的新石器时期的陶器大多为圆形或其他规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，都是几何知识的萌芽。先秦典籍中有“隶首作数”、“结绳记事”、“刻木记事”的记载，说明人们从辨别事物的多寡中逐渐认识了数，并创造了记数的符号。殷商甲骨文(公元前14—前11世纪)中已有13个记数单字，最大的数是“三万”，最小的是“一”。一、十、百、千、万，各有专名。其中已经蕴含有十进位置值制萌芽。传说伏羲创造了画圆的“规”、画方的“矩”，也传说黄帝臣子倕[chui垂]是“规矩”和“准绳”的创始人。早在大禹治水时，禹便“左准绳”(左手拿着准绳)，“右规矩”(右手拿着规矩)(《史记·禹本纪》)。因此，我们可以说，“规”、“矩”、“准”、“绳”是我们祖先最早使用的数学工具。人们丈量土地面积，测算山高谷深，计算产量多少，粟米交换，制定历法，都需要数学知识。《周髀〔bi婢〕算经》载商高答周公问，提到用矩测望高深广远。相传西周初年周公(公元前11世纪)制礼，数学成为贵族子弟教育中六门必修课程——六艺之一。不过当时学在官府，数学的发展是相当缓慢的。

春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向封建制的过渡。新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。此时王权衰微，畴人四散，私学开始出现。最晚在春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具。人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。



第二节 战国至两汉中国数学框架的确立



战国时期，各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立，百家争鸣，异常活跃，为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。尽管没有一部先秦的数学著作留传到后世，但是，人们通过田地及国土面积的测量，粟米的交换，收获及战利品的分配，城池的修建，水利工程的设计，赋税的合理负担，产量的计算，以及测高望远等生产生活实践，积累了大量的数学知识。据东汉初郑众记载，当时的数学知识分成了方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九个部分，称为“九数”。九数确立了《九章算术》的基本框架。

秦始皇结束了列国纷争，首次建立了中央集权的封建帝国，本应有利于数学的发展。但他的专制政策窒息了百家争鸣的学术空气。秦朝的残暴统治，尤其是焚书坑儒，给中国文化事业造成空前的浩劫。不久，刘邦利用推翻暴秦的农民起义，统一了中国，建立了汉朝，史称西汉。西汉政府与民生息，社会生产力得到恢复、发展，给数学和科学技术的发展带来新的活力，人们提出了若干算术难题，并创造了解勾股形、重差等新的数学方法。同时，人们注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。《九章算术》(省称《九章》)是中国最重要的数学经典，它之于中国和东方数学，大体相当于《几何原本》之于希腊和欧洲数学。在世界古代数学史上，《九章》与《原本》像两颗璀灿的明珠，东西辉映。

《九章》之前还有一部《周髀算经》，它本是一部以数学方法阐述盖天说的天文著作，一般认为于公元前1世纪成书。卷上记载了商高答周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定理的特例【001】，后者有用勾股定理及比例算法测太阳高远及直径的内容。近年湖北省张家山出土的竹简《算数书》正在整理，其少广一问与《九章》少广章第1问基本相同，两者的关系有待于研究。

《九章》集先秦到西汉数学知识之大成。据东汉末大学者郑玄(公元127—200年)引东汉初郑众(？—公元83年)说，西汉在先秦九数基础上又发展出勾股、重差两类数学方法。魏刘徽说：《九章》是由九数发展而来的，由于秦朝焚书而散坏。西汉张苍(？—公元前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)收集秦火遗残，加以整理删补，便成为《九章算术》。方田章提出了完整的分数运算法则，各种多边形、圆、弓形等的面积公式；粟米章提出了比例算法；衰[cui崔]分①章提出了比例分配法则；少广章给出了完整的开平方、开立方程序；商功章讨论各种立体体积公式及工程分配方法；均输章解决赋役中的合理负担，也是比例分配问题，还有若干结合西汉社会实际的算术杂题；盈不足章解决盈亏问题及可以用盈不足术解决的一般算术问题；方程章是线性方程组解法，并给出了正负数加减法则；勾股章由旁要发展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干测望问题的方法。全书以计算为中心，有90余条抽象性算法、公式，246道例题及其解法，基本上采取算法统率应用问题的形式。它的许多成就居世界领先地位，奠定了此后中国数学居世界前列千余年的基础。《九章》分类不甚合理，没有任何定义和推导，少数公式不准确，个别公式有错误，则是不容讳言的缺点。《九章》的框架、形式、风格和特点深刻影响了中国和东方的数学。

《九章算术》成书后，注家蜂起。《汉书·艺文志》所载《许商算术》、《杜忠算术》(公元前1世纪)估计为研究《九章》的作品。东汉马续、张衡、刘洪、郑玄、徐岳、王粲等通晓《九章算术》，或为之作注。这些著作都未传世，从后来刘徽(今山东邹平人，生卒不详)《九章算术注》所反映的信息看，这些研究基本上停留在归纳验证《九章算术》的正确性方面，理论上未能在《九章》基础上作出长足进步。