第一章：混沌中的秩序

1. 十七世纪科学革命之前，人们对于风与天气、饥荒的发生，或是行星运行的轨道所能提出的最好解释是，它们都是上帝或众神的即兴之作。宇宙中的秩序被视为物体必循的和谐回应，例如行星运行与太阳绕着地球（地球被视为宇宙中心）的轨道被视为圆形的，因为圆形是完美的。/ ......最终打垮了古希腊人所钟爱的那种以完美圆形规范星空的概念。

2. 伽利略是第一个以科学方式了解运动概念的人。/ 摆钟所需的时间取决于钟摆的长度，而不是摆动的幅度，这就是钟摆原理。/ 他让球从斜坡滚下，......透过这些实验，伽利略发展出加速度的概念。/ 事实上，当球从斜坡滚下时，会产生磨擦力而减慢一些。但他做出戏剧性的重大突破，用这些实际观察资料推论，试算出如果磨擦力不存在，这些球会在无摩擦力的完美斜坡上如何运动，在当时，这是令人吃惊的想法。这种推断方式，成为了世界之后四百年科学探索的核心。/ 和古希腊哲学家不同，这些科学家知道完美的想象并不代表真实世界，运用这些公式当武器，他们接下来可以再加入一些条件与修正系数，把真实世界的不完美纳入计算。

3. 牛顿在描述真实世界的某个性质时，也承接了伽利略广博精深的观念，就是刻意简化模型。/ 即使是非常不规则的物体，如果你与它的距离够远，在重力表现上他的质量宛如集中于一点。/ 莱布尼兹也独立发明了微积分（今天的名称就是由他定的），他得到微积分概念的时间晚于牛顿，但他很明智地立即发表。/ 微积分能将问题分割成数学上好处理的小区块，而把计算得到的结果相加，就成了问题的答案。/ 古希腊哲学家芝诺的诡论：一个士兵在箭射到他之前，就已经从原本的位置跑开，他就永远不会被箭命中；在箭多走一段距离的同时，他又向前移动一些，如此等等。......一支箭的飞行轨迹可以被微分成在它路径中无数点在任何位置的描述，想躲开这支箭的人，也可做同样分析，当这两个微分后的方程式合起来被积分，将可得知箭射中人的确定时间，没有诡论。/ 当微积分被广泛了解后，牛顿和莱布尼兹似乎驯服了时间，使得我们可以准确地描述运动物体的行为，如同古希腊人描述静止物体一般。/ 牛顿在《原理》中利用科学家熟悉的技巧证明，为了使行星以椭圆轨道环绕太阳（以使观测结果和理论一致），重力必须遵循反平方定律。就是在一定距离下，两个质量物体产生的引力，会和两个质量的乘积除以距离的平方成正比（即万有引力定律F=GmM/rr）。/ 所有皇家学会会员都知道，反平方定律会造就椭圆轨道，而牛顿的成就在于证明只有反平方定律才能造就椭圆轨道，所以重力必须符合反平方定律。不仅如此，他的研究还代表了一个放诸四海皆准的定律，不仅适用于从树上掉下的苹果，或者环绕地球的月亮，或是环绕太阳的行星，也适用于任何时间——它适用于宇宙中任何物体在任何地方的相互间的引力。/ 牛顿使宇宙像个有秩序的地方，让不可捉摸的神没有立足之地。

4. 牛顿还提出了三条运动定律来描述物体的行为，依照推论，这三条定律必须被视为和万有定律一样，适用于任何时空。/ 牛顿第一运动定律说，任一物体都会保持静止或是以直线运动，除非受到外力作用。/ 第二运动定律告诉我们物体运动受到外力影响的程度：加速度的公式：F=ma，正是这个定律，加上重力定理，具体解释了行星环绕太阳的轨道。/ 第三运动定律说，作用于物体上的力都会产生大小一样的反作用力。/ 万有引力定律和牛顿的三个运动定律，支撑了三百年的科学。/ 几个世纪以来，牛顿理论的一些问题被忽视，今天我们所知的“轨道动力学”，是第一个促使现代科学正视混沌现象的领域。

5. 问题在于，虽然牛顿定律（包括重力定理）可以完美地计算出独立于宇宙中的两个物体互相环绕的轨道（月亮环绕地球或地球环绕太阳等等），但它们不能给出三个以上互相由重力吸引的物体运动的精确计算（例如地球、月亮和太阳共同在太空中的运行）。这就是所谓的“三体问题”，也存在于任何多于两个的“体”之间。/ “N体问题”，N大于2，描述这类系统的方程式可以被写出来，但无法解——它们无法被积分，没有解析解。......值得注意的是，三体运动无解并非因为人类的数学不够好，而是数学系统本身的问题。/ 这些问题往往可以利用“近似解”避开。拿三个互相环绕的物体来说，我们可以先将其中一个物体视为静止的，再计算出另两个物体在轨道中的些微移动，然后由这个新的初始位置，让另一个物体静止，计算出其他两个物体的位置，如此反复。......总会存在某种程度的误差。如果三个物体的质量相当，彼此间距离又差不多，则三体问题完全无解。缺乏解析解表示，大自然本身也“不知道”这些轨道会如何随着时间而变化，即使太阳系中的行星轨道，也未必一直会保持和现在一样，而且根本无法预测可能发生的改变。/ 牛顿察觉到这一点，但身为一名虔诚的教徒，他自行提出一个答案，认为如果行星偏离了现在的轨道（或一路向太阳回旋，或往外太空跑），上帝总会插手把它们放回正常路径。/ 莱布尼兹嘲讽牛顿的上帝一定是个差劲的钟表匠，因为他竟然做不出一个不需要修理就能正确运行的时钟！

6. 十八世纪末，法国数学家拉普拉斯计算，经过929年，木星轨道会扩张，土星轨道会收缩，而接下来的929年，木星轨道会收缩，土星轨道会扩张，以此类推，拉普拉斯认为他解释了上述谜团，恢复了太阳系的秩序。/ 我们接下来会看到，拉普拉斯并非完全是对的，但他证明了其他行星间也存在类似的稳定性，并由此推论整个太阳系也是稳定的。/ 虽然十九和二十世纪的科学家知道，在很多情况下，特定的方程式没有解析解，他们致力于在可决定的部分求出解，然后利用近似的方法处理其他部分。至于更难的谜题，通常就是置之不理了。

7. 想象一下撞球，桌上两颗静止的球彼此接触，而运动中的第三颗球从旁边同时撞击到他们，则牛顿定律无法告诉你这些球在撞击后如何运动。假使两颗静止的球其中之一被先撞到，哪怕只是0.01秒，牛顿定律都可以告诉你它们将如何运动，但对于真正同时的撞击，牛顿定律就无能为力了。/ 小到小钟摆的振荡，大到登月太空船的飞行运动，我们都能利用定理成功地提出解释，然而在撞球这么简单的情况下，竟无法预测其结果，实在让人很苦恼。/ 十九世纪时，没有人真正担心这件事，大家都在忙于利用牛顿定律以及各种科学方法，来描绘一个有秩序的、机械式的宇宙。拉普拉斯在1814年写的这段话，反应了当时普遍的看法：“想象有一个智慧，它在任何时间都知道所有控制大自然的力量，同时也知道每一项事物的运动状态。假设这智慧体可以将所有资料加以分析，它将能把宇宙中大大小小物体运动的状态用一个公式描述。对它而言，没有不确定的东西；它的眼中可以清楚地看到未来与过去。”/ 根据牛顿定律，一对物体的碰撞是完全可逆的，无论“时间箭头”的方向为何，这样，我们不但可预测每个粒子未来的运动方向，还可以推算出它们过去的历程。