微积分的诞生，是全部数学史上的一个伟大创举．它曾经历了两千多年的孕育和准备阶段；随着十六、十七世纪欧洲的文艺复兴、产业革命等一系列社会改革，社会生产得到了具大的发展，从而对数学的需求更加迫切，微积分也应运而生；经过十八、十九世纪数学家们的努力，使微积分逐步趋于完善，并发展成为今天具有广泛应用的庞大的基础数学分支学科——数学分析。
我们在本书中介绍的主要内容是：数学分析内容中体现的数学思想、蕴涵的哲学思想，数学分析内容中常用的数学思想、数学分析中的美学思想以及在创立微积分的过程中作出了卓越贡献的数学家所采用的思想和方法，


第一部分 数学分析内容中体现的数学思想


一、函数的思想
“用函数来思考”是大数学家克莱因领导的数学教育改革运动的口号。函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的研究对象。函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法。


1．函数概念的产生与发展


（1）函数概念的起源
函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。


（2）函数概念的产生
恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，第一次涉及到变量，他称为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。
一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。莱布尼兹又在1692年的论文中，称 幂的 、 、 等为 的幂数，把幂与函数看作同义语，以后又用“函数”表示依赖于一个变量的量。


（3）函数概念的扩张
函数概念被提出后，由于微积分学的发展，函数概念也不断进行扩张，日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中，大致经过了以下几个阶段的扩张。
第一次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的函数概念”。瑞士数学家约翰．伯努利于1698年给出了函数新的定义：由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫做 的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号 ，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。


函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了“几何的函数概念”。十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线)。达朗贝尔在1746年研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数，后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义，函数是：“ 平面上随手画出来的曲线所表示的 与 的关系”。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。